廣東省廣州市信孚教育集團(tuán)黃石中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

廣東省廣州市信孚教育集團(tuán)黃石中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知α為第四象限的角，且=

A．

B．

C．一

D．參考答案：A2.已知拋物線與雙曲線有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A是兩曲線的交點(diǎn)，且AF⊥x軸，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．參考答案：A3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有金簪，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問(wèn)次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下1尺，重4斤，在細(xì)的一端截下1尺，重2斤；問(wèn)依次每一尺各重多少斤？”根據(jù)上題的已知條件，若金杖由粗到細(xì)是均勻變化的，則中間3尺重量為（

）A．9斤

B．9.5斤

C．6斤

D．12斤參考答案：A由等差數(shù)列性質(zhì)得中間3尺重量為,選A.

4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入k的值為2，則輸出的i值為(

)A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：C【考點(diǎn)】程序框圖．【專題】圖表型；算法和程序框圖．【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的i，S的值，當(dāng)，S=時(shí)不滿足條件S≤2，退出循環(huán)，輸出i的值為4．解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得k=2，i=1，S=1滿足條件S≤2，i=2，S=滿足條件S≤2，i=3，S=滿足條件S≤2，i=4，S=＞2不滿足條件S≤2，退出循環(huán)，輸出i的值為4．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，正確判斷退出循環(huán)的條件是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．5.已知集合，則

A.

B

C．

D.參考答案：B略6.在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)．甲：我的成績(jī)比乙高．乙：丙的成績(jī)比我和甲的都高．丙：我的成績(jī)比乙高．成績(jī)公布后，三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確，那么三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)锳．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙 C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙參考答案：A根據(jù)已知邏輯關(guān)系可知，甲的預(yù)測(cè)正確，乙丙的預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，從而可得結(jié)果.

7.在區(qū)間[0,1]內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，則這兩個(gè)實(shí)數(shù)的和大于的概率為A、

B、

C、

D、參考答案：D略8.已知雙曲線Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距為2c，直線l：y=kx﹣kc．若k=，則l與Γ的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)；若k=，則l與Γ的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則Γ的離心率的取值范圍為（）A．（1，2） B．（1，4） C．（2，4） D．（4，16）參考答案：C【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意可知雙曲線的漸近線斜率＜＜，根據(jù)e==，即可求得Γ的離心率的取值范圍．【解答】解：由題意可知：直線l：y=k（x﹣c）過(guò)焦點(diǎn)F（c，0）．雙曲線的漸近線方程y=x，可得雙曲線的漸近線斜率＜＜，∵e==，由3＜＜15，4＜1+＜16，∴2＜e＜4，∴雙曲線離心率的取值范圍為（2，4）．故選C．9.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，而函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，若的值是A. B. C. D.參考答案：A10.設(shè)直線l過(guò)雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且與C的一條對(duì)稱軸垂直，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則C的離心率為（）A． B． C．2 D．3參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】不妨設(shè)雙曲線C：，焦點(diǎn)F（﹣c，0），由題設(shè)知，，由此能夠推導(dǎo)出C的離心率．【解答】解：不妨設(shè)雙曲線C：，焦點(diǎn)F（﹣c，0），對(duì)稱軸y=0，由題設(shè)知，，∴，b2=2a2，c2﹣a2=2a2，c2=3a2，∴e=．故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列：中，令，表示集合中元素的個(gè)數(shù)．（1）若，則

；（2）若（為常數(shù)，且，）則

．參考答案：（1）7

（2）根據(jù)題中集合表示的含義，可知中元素為數(shù)列中前后不同兩項(xiàng)的和，所以，則集合中元素為4，6，8，10，12，14，16，元素個(gè)數(shù)為7.（2）易知，數(shù)列數(shù)列為首項(xiàng)為，公差為（）的等差數(shù)列，所以，，可以取遍從3到中每個(gè)整數(shù)，共有個(gè)不同的整數(shù)，故。12.設(shè)直線，與圓交于A，B，且，則a的值是______．參考答案：10或－30因?yàn)?，圓心為，半徑為，，由垂徑定理得，所以圓心到直線的距離為4．，，故填10或－30．13.在中，，，，則面積等于

．參考答案：略14.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)a=_______.參考答案：－115.函數(shù)y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，則ω=．參考答案：2【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的周期性及其求法即可求值．【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），∴T==π，∴ω=2．故答案是：2．16.已知函數(shù)在區(qū)間[1,e]上取得最小值4，則

▲

．參考答案：－3e17.執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入a=4，那么輸出的n的值為

．參考答案：3考點(diǎn)：程序框圖．專題：算法和程序框圖．分析：執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的P，Q，n的值，當(dāng)P=21，Q=15，n=3時(shí)不滿足條件P≤Q，輸出n的值為3．解答： 解：執(zhí)行程序框圖，有a=4P=0，Q=1，n=0滿足條件P≤Q，有P=1，Q=3，n=1；滿足條件P≤Q，有P=5，Q=7，n=2；滿足條件P≤Q，有P=21，Q=15，n=3；不滿足條件P≤Q，輸出n的值為3．故答案為：3．點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了程序框圖和算法，屬于基本知識(shí)的考查．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線與曲線（為參數(shù)，）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）寫出曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程；（2）在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A是射線與C1的公共點(diǎn)，點(diǎn)B是與C2的公共點(diǎn)，當(dāng)在區(qū)間上變化時(shí)，求的最大值．參考答案：（1）曲線的極坐標(biāo)方程為，即．曲線的普通方程為，即，所以曲線的極坐標(biāo)方程為．……4分（2）由（1）知，…由知，當(dāng)，即時(shí)，有最大值．…………10分

19.（本題滿分10分）《選修4-5：不等式選講》已知函數(shù)(1)證明:(2)求不等式:的解集參考答案：解：（1）

當(dāng)

所以

（2）由（1）可知，當(dāng)?shù)慕饧癁榭占?/p>

當(dāng)；當(dāng)綜上，不等式

20.（本小題滿分14分）已知圓C的圓心C與點(diǎn)A（2,1）關(guān)于直線4x＋2y－5＝0對(duì)稱，圓C與直線x＋y＋2＝0相切。（I）設(shè)Q為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P（1,1），M（－2，－2），求的最小值；（II）過(guò)點(diǎn)P（1,1）作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線OP和AB是否平行？請(qǐng)說(shuō)明理由。參考答案：（Ⅰ）設(shè)圓心C(a，b)，則A，C中點(diǎn)坐標(biāo)為，

……1分∵圓心C與點(diǎn)A（2,1）關(guān)于直線4x＋2y－5＝0對(duì)稱，∴，解得，

……3分∴圓心C(0，0)到直線x＋y＋2＝0的距離，

……4分∴求圓C的方程為x2＋y2＝2．

……5分設(shè)Q(x，y)，則x2＋y2＝2，∴·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2， ……6分作直線l：x＋y＝0，向下平移此直線，當(dāng)與圓C相切時(shí)x＋y取得最小值，這時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為（－1,－1），所以·的最小值為－4．

……8分（Ⅱ）由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，故可設(shè)PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝－k(x－1)，由，得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0．因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)x＝1一定是該方程的解，故可得，同理，，則．所以，直線AB和OP一定平行．

……14分21.（本小題滿分10分）選修4——5；不等式選講設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，證明：（Ⅰ）（Ⅱ）參考答案：22.（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù).（1）若函數(shù)在處有極值，求函數(shù)的最大值；（2）①是否存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由；②證明：不等式