廣東省梅州市湯坑中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

廣東省梅州市湯坑中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.現(xiàn)安排甲乙丙丁戊5名學(xué)生分別擔(dān)任語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)學(xué)科的科代表，要求甲不當(dāng)語(yǔ)文課代表，乙不當(dāng)數(shù)學(xué)課代表，若丙當(dāng)物理課代表則丁必須當(dāng)化學(xué)課代表，則不同的選法共有多少種（

）A、53

B、67

C、85

D、91參考答案：B2.設(shè)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－3+3i，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，實(shí)軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（）A. B. C. D.參考答案：A分析：先求出點(diǎn)P的直角坐標(biāo)，P到原點(diǎn)的距離r，根據(jù)點(diǎn)P的位置和極角的定義求出極角，從而得到點(diǎn)P的極坐標(biāo)．詳解：點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為，點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離，且點(diǎn)P第二象限的平分線上，故極角等于，故點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，故選：A．點(diǎn)睛：本題考查把直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的方法，復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的關(guān)系，求點(diǎn)P的極角是解題的難點(diǎn)．3.設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若，則的最小值為A.1 B. C. D.參考答案：D【分析】先利用等差數(shù)列的求和公式得出，再利用等差數(shù)列的基本性質(zhì)得出，再將代數(shù)式和相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求出的最小值.【詳解】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得，所以，，由等差數(shù)列的基本性質(zhì)可得，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查的等差數(shù)列求和公式以及等差數(shù)列下標(biāo)性質(zhì)的應(yīng)用，考查利用基本不等式求最值，解題時(shí)要充分利用定值條件，并對(duì)所求代數(shù)式進(jìn)行配湊，考查計(jì)算能力，屬于中等題。4.2014年巴西世界杯某項(xiàng)目參賽領(lǐng)導(dǎo)小組要從甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同工作，若其中甲、乙只能從事前三項(xiàng)工作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有

(

) A．18種

B．36種

C．48種

D．72種參考答案：D略5..某一數(shù)學(xué)問(wèn)題可用綜合法和分析法兩種方法證明，有5位同學(xué)只會(huì)用綜合法證明，有3位同學(xué)只會(huì)用分析法證明，現(xiàn)任選1名同學(xué)證明這個(gè)問(wèn)題，不同的選法種數(shù)有（）種．A.8 B.15 C.18 D.30參考答案：A【分析】本題是一個(gè)分類(lèi)計(jì)數(shù)問(wèn)題，解決問(wèn)題分成兩個(gè)種類(lèi)，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知共有3+5＝8種結(jié)果．詳解】由題意知本題是一個(gè)分類(lèi)計(jì)數(shù)問(wèn)題，解決問(wèn)題分成兩個(gè)種類(lèi)，一是可以用綜合法證明，有5種方法，一是可以用分析法來(lái)證明，有3種方法，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知共有3+5＝8種結(jié)果，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查分類(lèi)計(jì)數(shù)問(wèn)題，本題解題的關(guān)鍵是看清楚完成這個(gè)過(guò)程包含兩種方法，看出每一種方法所包含的基本事件數(shù)，相加得到結(jié)果．6.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足bcosC=a，則△ABC的形狀是（）A．等邊三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形參考答案：C【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；解三角形．【分析】已知等式利用余弦定理化簡(jiǎn)，整理可得：a2+c2=b2，利用勾股定理即可判斷出△ABC的形狀．【解答】解：在△ABC中，∵bcosC=a，∴由余弦定理可得：cosC==，整理可得：a2+c2=b2，∴利用勾股定理可得△ABC的形狀是直角三角形．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形形狀的判斷，考查了余弦定理以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．7.已知直線平面，直線平面，下面有三個(gè)命題：①，②，③，則其正確命題的個(gè)數(shù)為

（

）A、0

B、1

C、2

D、3參考答案：C略8.已知方程ax2+by2=ab和ax+by+c=0（其中ab≠0，a≠b，c＞0，它們所表示的曲線可能是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意，本題可通過(guò)各個(gè)選項(xiàng)中所給曲線的形狀，對(duì)方程中的符合作出判斷，找出正確選項(xiàng)【解答】解：由題意ax2+by2=ab可變?yōu)榭疾霢選項(xiàng)，由雙曲線的特征知，b＞0，a＜0，由直線的特征知a，b同號(hào)，故A不是要選項(xiàng)；考察B選項(xiàng)，由圖中雙曲線的特征知，a＞0，b＜0，由直線的特征結(jié)合c＞0知，a＞0，b＜0，B選項(xiàng)符合條件；考察C選項(xiàng)，由圖中橢圓知，a，b同號(hào)，由直線的特征知，a，b異號(hào)，故C不符合條件；考察D選項(xiàng)，由圖中的橢圓知，a，b同為正，由直線的特征知，a，b異號(hào)故D不符合條件；綜上，B選項(xiàng)符合要求故選B9.設(shè)命題，則為（）A. B.C. D.參考答案：C試題分析：根據(jù)否命題的定義，即既否定原命題的條件，又否定原命題的結(jié)論，存在的否定為任意，所以命題P的否命題應(yīng)該為，即本題的正確選項(xiàng)為C.考點(diǎn)：原命題與否命題.10.已知直線l1：3x+2ay﹣5=0，l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣2=0，若l1∥l2，則a的值為（）A．﹣ B．6 C．0 D．0或﹣參考答案：D【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．【分析】根據(jù)兩直線平行的條件可知，3（﹣a）﹣2a（3a﹣1）=0．從而可求出a的值．【解答】解：∵l1∥l2，∴3（﹣a）﹣2a（3a﹣1）=0．即6a2+a=0．解得，a=0或a=．故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，設(shè)D是圖中邊長(zhǎng)為4的正方形區(qū)域，E是D內(nèi)函數(shù)y=圖象下方的點(diǎn)構(gòu)成的陰影區(qū)域．向D中隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落入中E的概率為

。參考答案：12.若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是_______.參考答案：有13項(xiàng)略13.已知、分別為雙曲線:的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，0)，為的平分線．則

.參考答案：614.若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為，則m= 參考答案：15.一個(gè)四棱錐的底面為矩形，其正視圖和俯視圖如圖所示，則該四棱錐的體積為

▲

，側(cè)視圖的面積為

▲

．參考答案：略16.已知函數(shù)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．參考答案：【分析】易知時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)性和極值，從而可得函數(shù)的圖象；將問(wèn)題變?yōu)榕c有三個(gè)交點(diǎn)，利用圖象可得到所求范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，，在上是減函數(shù)時(shí)，，在上是增函數(shù)時(shí)，取極小值，又時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，據(jù)此作出函數(shù)的圖象如下圖所示：函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于與有三個(gè)交點(diǎn)由圖象可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的問(wèn)題，關(guān)鍵是能將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為曲線與直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，從而可確定函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合求得結(jié)果．17.設(shè)P是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)（0，1）的距離與點(diǎn)P到軸的距離之和的最小值是___參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知a＞0，設(shè)命題p：函數(shù)y=ax在R上單調(diào)遞增；命題q：不等式ax2﹣ax+1＞0對(duì)?x∈R恒成立．若p且q為假，p或q為真，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題；復(fù)合命題的真假；指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)．【專(zhuān)題】計(jì)算題；分類(lèi)討論．【分析】先解命題，再研究命題的關(guān)系，函數(shù)y=ax在R上單調(diào)遞增，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解決；等式ax2﹣ax+1＞0對(duì)?x∈R恒成立，用函數(shù)思想，又因?yàn)槭菍?duì)全體實(shí)數(shù)成立，可用判斷式法解決，若p且q為假，p或q為真，兩者是一真一假，計(jì)算可得答案．【解答】解：∵y=ax在R上單調(diào)遞增，∴a＞1；又不等式ax2﹣ax+1＞0對(duì)?x∈R恒成立，∴△＜0，即a2﹣4a＜0，∴0＜a＜4，∴q：0＜a＜4．而命題p且q為假，p或q為真，那么p、q中有且只有一個(gè)為真，一個(gè)為假．①若p真，q假，則a≥4；②若p假，q真，則0＜a≤1．所以a的取值范圍為（0，1]∪19.已知n是給定的正整數(shù)且n≥3，若數(shù)列滿足：對(duì)任意，都有成立，其中，則稱數(shù)列A為“M數(shù)列”。（1）若數(shù)列A：是“M數(shù)列”，求的取值范圍；（2）若等差數(shù)列是“M數(shù)列”，且，求其公差d的取值范圍；（3）若數(shù)列是“M數(shù)列”，求證：對(duì)于任意不相等的，都有。參考答案：（1）；（2）；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）分別以為數(shù)列A：中最大和最小的數(shù)時(shí)，列出不等式，即可求解的取值范圍；（2）以和，分類(lèi)討論，列出關(guān)于的不等式關(guān)系式，即可求解公差的取值范圍；（3）利用反證法，假設(shè)存在不相等的，有，得到矛盾，即可得到判定．【詳解】（1）當(dāng)為數(shù)列A：中最大的數(shù)時(shí)，則，解得，當(dāng)為數(shù)列A：中最小的數(shù)時(shí)，則，解得，所以的取值范圍是．（2）當(dāng)時(shí)，數(shù)列中的最大項(xiàng)為，則，即，解得，做；當(dāng)時(shí)，數(shù)列中的最大項(xiàng)為，則，即，解得；故；綜上所述，數(shù)列A的公差的取值范圍為．（3）證明：反證法，假設(shè)存在不相等的，有，在數(shù)列中，除外，其他所有數(shù)之和，因此，矛盾，假設(shè)不成立，因此，對(duì)于任意互不相等的，均有．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的綜合應(yīng)用問(wèn)題，其中解答中認(rèn)真審題，準(zhǔn)確利用數(shù)列的新定義，列出相應(yīng)的不等式，以及合理利用反證法證明是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題．20.已知數(shù)列an的各項(xiàng)為正數(shù)，前n和為Sn，且．（1）求證：數(shù)列an是等差數(shù)列；（2）設(shè)，求Tn．參考答案：【考點(diǎn)】等差關(guān)系的確定；數(shù)列的求和．【分析】（1）先根據(jù)a1=求出a1的值，再由2an=2（Sn﹣Sn﹣1）可得，將其代入整理可得到（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，再由an+an﹣1＞0可得到an﹣an﹣1=1，從而可證明{an}是等差數(shù)列．（2）先根據(jù)（1）中的{an}是等差數(shù)列求出其前n項(xiàng)和Sn，進(jìn)而可表示出數(shù)列bn的通項(xiàng)公式，最后根據(jù)數(shù)列求和的裂項(xiàng)法進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1），n=1時(shí)，，∴所以（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，∵an+an﹣1＞0∴an﹣an﹣1=1，n≥2，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列（2）由（1），所以∴=21.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.參考答案：（Ⅱ）由（Ⅰ）有，所以.考點(diǎn)：1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；2、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式；3、等比數(shù)列的前項(xiàng)和為；4、數(shù)列分組求和.

略22.已知橢圓E：+=1（a＞b＞0），其短軸為2，離心率為．（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）設(shè)橢圓E的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)G（2，0）作斜率不為0的直線交橢圓E于M，N兩點(diǎn)，設(shè)直線FM和FN的斜率為k1，k2，試判斷k1+k2是否為定值，若是定值，求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】KL：直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）由橢圓的性質(zhì)2b=2，離心率e===，求得a，求得橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及直