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PAGE必修二綜合測試卷(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖①所示(上面是一個圓,下面是個正方形),則下面四個圖中可以作為該幾何體的俯視圖的是()圖①(1)(2)(3)(4)A.(1)(3) B.(1)(4)C.(2)(4) D.(1)(2)(3)(4)解析:由該幾何體的正視圖和側(cè)視圖,可知該幾何體可以為一個正方體上面放著一個球,也可以是一個圓柱上面放著一個球,則其俯視圖可以為(1)(3).答案:A2.已知直線l的傾斜角為45°,直線l1經(jīng)過點A(3,2),B(-a,1),且l1與l垂直,直線l2:2x+by+1=0與直線l1平行,則a+b=()A.-4 B.-2C.0 D.2解析:由題意知,直線l的斜率為1,則直線l1的斜率為-1,所以eq\f(2-1,3+a)=-1,所以a=-4,又l1∥l2,所以-eq\f(2,b)=-1,所以b=2,所以a+b=-4+2=-2.答案:B3.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.16+8π B.8+8πC.16+16π D.8+16π解析:由三視圖可知,該幾何體是一個長方體和一個半圓柱組成的幾何體,所以體積為eq\f(1,2)π×22×4+2×2×4=16+8π.答案:A4.已知點Q是點P(3,4,5)在平面xOy上的射影,則線段PQ的長等于()A.2 B.3C.4 D.5解析:由題意,得Q(3,4,0),故線段PQ的長為5.答案:D5.如圖①所示,在正方形ABCD中,E、F分別是BC、CD的中點,G是EF的中點,現(xiàn)在沿AE、AF及EF把這個正方形折成一個四面體,使B、C、D三點重合,重合后的點記為H,如圖②所示,那么,在四面體A-EFH中必有()圖①圖②A.AH⊥△EFH所在平面B.AG⊥△EFH所在平面C.HF⊥△AEF所在平面D.HG⊥△AEF所在平面解析:折成的四面體中有AH⊥EH,AH⊥FH,所以AH⊥面HEF.答案:A6.已知直線l:x+ay-1=0(a∈R)是圓C:x2+y2-4x-2y+1=0的對稱軸.過點A(-4,a)作圓C的一條切線,切點為B,則|AB|=()A.2 B.4eq\r(2)C.6 D.2eq\r(10)解析:由題設(shè)得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1)2=4,知圓C的圓心為(2,1),半徑為2,因為直線l為圓C的對稱軸,所以圓心在直線l上,則2+a-1=0,解得a=-1,所以|AB|2=|AC|2-|BC|2=[(-4-2)2+(-1-1)2]-4=36,所以|AB|=6.答案:C7.一個球的內(nèi)接正方體的表面積為54,則球的表面積為()A.27π B.18πC.9π D.54π解析:設(shè)正方體的棱長為a,球的半徑為r,則6a2=54,所以a=3.又因為2r=eq\r(3)a所以r=eq\f(\r(3),2)a=eq\f(3\r(3),2),所以S表=4πr2=4π×eq\f(27,4)=27π.答案:A8.已知高為3的直棱柱ABC-A′B′C′的底面是邊長為1的正三角形(如圖所示),則三棱錐B′-ABC的體積為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),6) D.eq\f(\r(3),4)解析:VB′-ABC=eq\f(1,3)·S△ABC·h=eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×3=eq\f(\r(3),4).答案:D9.若圓(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有兩個點到直線4x-3y=2的距離為1,則半徑r的取值范圍是()A.(4,6) B.[4,6)C.(4,6] D.[4,6]解析:因為圓心到直線的距離為eq\f(|12+15-2|,\r(42+(-3)2))=5,所以半徑r的取值范圍是(4,6).答案:A10.直線x+ky=0,2x+3y+8=0和x-y-1=0交于一點,則k的值是()A.eq\f(1,2) B.-eq\f(1,2)C.2 D.-2解析:解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x+3y+8=0,,x-y-1=0,))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=-1,,y=-2,))則點(-1,-2)在直線x+ky=0上,得k=-eq\f(1,2).答案:B11.在四面體A-BCD中,棱AB,AC,AD兩兩互相垂直,則頂點A在底面BCD上的投影H為△BCD的()A.垂心 B.重心C.外心 D.內(nèi)心解析:因為AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A,因為AB⊥平面ACD,所以AB⊥CD.因為AH⊥平面BCD,所以AH⊥CD,AB∩AH=A,所以CD⊥平面ABH,所以CD⊥BH.同理可證CH⊥BD,DH⊥BC,則H是△BCD的垂心.答案:A12.如圖所示,點P在正方形ABCD所在平面外,PA⊥平面ABCD,PA=AB,則PB與AC所成的角=()A.90°B.60°C.45°D.30°解析:將其還原成正方體ABCD-PQRS,連接SC,AS,則PB∥SC,所以∠ACS(或其補角)是PB與AC所成的角.因為△ACS為正三角形,所以∠ACS=60°,所以PB與AC所成的角是60°.答案:B二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中橫線上)13.若點P在直線x+y-4=0上,O為原點,則|OP|的最小值是________.解析:|OP|的最小值即為點O到直線x+y-4=0的距離,d=eq\f(|0+0-4|,\r(1+1))=2eq\r(2).答案:2eq\r(2)14.若函數(shù)y=ax+8與y=-eq\f(1,2)x+b的圖象關(guān)于直線y=x對稱,則a+b=________.解析:直線y=ax+8關(guān)于y=x對稱的直線方程為x=ay+8,所以x=ay+8與y=-eq\f(1,2)x+b為同一直線,故得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=-2,,b=4,))所以a+b=2.答案:215.圓x2+(y+1)2=3繞直線kx-y-1=0旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的表面積為________.解析:由題意,圓心為(0,-1),又直線kx-y-1=0恒過點(0,-1),所以旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為球,球心即為圓心,球的半徑即是圓的半徑,所以S=4π(eq\r(3))2=12π.答案:12π16.設(shè)a,b,c是空間的三條直線,下面給出四個命題:①若a⊥b,b⊥c,則a∥c;②若a、b是異面直線,b、c是異面直線,則a、c也是異面直線;③若a和b相交,b和c相交,則a和c也相交;④若a和b共面,b和c共面,則a和c也共面.其中真命題的個數(shù)是________________.解析:因為a⊥b,b⊥c,所以a與c可以相交、平行、異面,故①錯.因為a、b異面,b、c異面.則a、c可能導(dǎo)面、相交、平行,故②錯.由a、b相交,b、c相交,則a、c可以異面、平行,故③錯.同理④錯,故真命題個數(shù)為0.答案:0三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)如圖所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=6,異面直線BC1與AA1所成角的大小為30°,求該三棱柱的體積.解:因為CC1∥AA1.所以∠BC1C為異面直線BC1與AA1所成的角,即∠BC1C=30°.在Rt△BCC1中,BC=CC1·tan∠BC1C=6×eq\f(\r(3),3)=2eq\r(3),從而S△ABC=eq\f(\r(3),4)BC2=3eq\r(3),因此該三棱柱的體積V=S△ABC·AA1=3eq\r(3)×6=18eq\r(3).18.(本小題滿分12分)已知一個幾何體的三視圖如圖所示.(1)求此幾何體的表面積;(2)如果點P,Q在正視圖中所處的位置為:P為三角形的頂點,Q為四邊形的頂點,求在該幾何體的側(cè)面上,從點P到點Q的最短路徑的長.解:(1)由三視圖可知,此幾何體是一個圓錐和一個圓柱的組合體,其表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積與圓柱的一個底面積之和.S圓錐側(cè)=eq\f(1,2)(2πa)·(eq\r(2)a)=eq\r(2)πa2,S圓柱側(cè)=(2πa)·(2a)=4πa2,S圓柱底=πa2,所以此幾何體的表面積S表=S圓錐側(cè)+S圓柱側(cè)+S圓柱底=eq\r(2)πa2+4πa2+πa2=(eq\r(2)+5)πa2.(2)分別沿點P與點Q所在的母線剪開圓柱的側(cè)面,并展開鋪平,如圖所示,則|PQ|=eq\r(|AP|2+|AQ|2)=eq\r((2a)2+(πa)2)=aeq\r(4+π2).所以P,Q兩點在該幾何體的側(cè)面上的最短路徑的長為aeq\r(4+π2).19.(本小題滿分12分)如圖,已知在平行四邊形ABCD中,邊AB所在直線方程為2x-y-2=0,點C(2,0).求:(1)直線CD的方程;(2)AB邊上的高CE所在直線的方程.解:(1)因為四邊形ABCD為平行四邊形,所以AB∥CD,所以kCD=kAB=2.故CD的方程為y=2(x-2),即2x-y-4=0.(2)因為CE⊥AB,所以kCE=-eq\f(1,kAB)=-eq\f(1,2).所以直線CE的方程為y=-eq\f(1,2)(x-2),即x+2y-2=0.20.(本小題滿分12分)已知圓x2+y2=4上一定點A(2,0),B(1,1)為圓內(nèi)一點,P,Q為圓上的動點.(1)求線段AP中點的軌跡方程;(2)若∠PBQ=90°,求線段PQ中點的軌跡方程.解:(1)設(shè)AP中點為M(x,y),由中點坐標(biāo)公式可知,P點坐標(biāo)(2x-2,2y).因為P點在圓x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4.故線段AP中點的軌跡方程為(x-1)2+y2=1.(2)設(shè)PQ的中點為N(x,y).在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|,設(shè)O為坐標(biāo)原點,連接ON(圖略),則ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故線段PQ中點的軌跡方程為x2+y2-x-y-1=0.21.(本小題滿分12分)(2015·北京卷)如圖所示,在三棱錐V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB為等邊三角形,AC⊥BC且AC=BC=eq\r(2),O,M分別為AB,VA的中點.(1)求證:VB∥平面MOC;(2)求證:平面MOC⊥平面VAB;(3)求三棱錐V-ABC的體積.(1)證明:因為O,M分別AB,VA的中點,所以O(shè)M∥VB.又因為VB?平面MOC.所以VB∥平面MOC(2)證明:因為AC=BC,O為AB的中點,所以O(shè)C⊥AB.又因為平面VAB⊥平面ABC,且OC?平面ABC,所以O(shè)C⊥平面VAB.又OC?平面MOC.所以平面MOC⊥平面VAB.(3)解:在等腰直角三角形ACB中,AC=BC=eq\r(2),所以AB=2,OC=1.所以等邊三角形VAB的面積S△VAB=eq\r(3).又因為OC⊥平面VAB,所以三棱錐C-VAB的體積等于eq\f(1,3)OC·S△VAB=eq\f(\r(3),3).又因為三棱錐V-ABC的體積與三棱錐C-VAB的體積相等,所以三棱錐V-ABC的體積為eq\f(\r(3),3).22.(本小題滿分12分)已知圓C過點A(1,2)和B(1,10),且與直線x-2y-1=0相切.(1)求圓C的方程;(2)設(shè)P為圓C上的任意一點,定點Q(-3,-6),當(dāng)點P在圓C上運動時,求線段PQ中點M的軌跡方程.解:(1)圓心顯然在線段AB的垂直平分線y=6上,設(shè)圓心為(a,6),半徑為r,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-6)2=r2,由點B在圓上得:(1-a)2+(10-6)2=r2,又圓C與直線x-2y-1=0相切,則r=eq\f(|a-13|,\r(5)).于是(a-1)2+16=eq\f((a-13)2,5),解得:a=3,r=2eq\r(5)或a=-7,r=4eq\r(5).所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+(y-6)2=20或(x+7)2+(y-6)2=80.(2)設(shè)點M的坐標(biāo)為(x,y),點P的坐標(biāo)為(x0,y0),由M為PQ的中點,則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x=\f(x0-3,2),,y=\f(y0-6,2),))即:eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(
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