經(jīng)濟(jì)4學(xué)分高等數(shù)學(xué)同濟(jì)版-第五章定積分反常

一、無(wú)窮限的反常積分二、無(wú)界函數(shù)的反常積分第四節(jié)反常積分上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)常義積分積分區(qū)間有限被積函數(shù)有界推廣反常積分(廣義積分)積分區(qū)間無(wú)限被積函數(shù)無(wú)界

第五章

積分區(qū)間無(wú)限積分區(qū)間有限轉(zhuǎn)化逼近方法：引例.

曲線和直線及

x軸所圍成的開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為:一、無(wú)窮限的反常積分一、無(wú)窮限的反常積分無(wú)窮限的反常積分的定義

在反常積分的定義式中,如果極限是存在的,

則稱此反常積分收斂,否則稱此反常積分發(fā)散.

連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

)上的反常積分定義為下頁(yè)

類似地,連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(,

b]上和在區(qū)間(,

)的反常積分定義為下頁(yè)一、無(wú)窮限的反常積分無(wú)窮限的反常積分的定義

連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

)上的反常積分定義為反常積分的計(jì)算

如果F(x)是f(x)的原函數(shù)則有可采用如下簡(jiǎn)記形式：一、無(wú)窮限的反常積分無(wú)窮限的反常積分的定義

連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

)上的反常積分定義為反常積分的計(jì)算

如果F(x)是f(x)的原函數(shù)則有

類似地有下頁(yè)

解

例1

下頁(yè)提示：

例2

下頁(yè)

解

解:

例3

當(dāng)p1時(shí)此反常積分發(fā)散

首頁(yè)有從而有從而

二、無(wú)界函數(shù)的反常積分注：

如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的任一鄰域內(nèi)都無(wú)界那么點(diǎn)x0稱為函數(shù)f(x)的瑕點(diǎn)(也稱為無(wú)界間斷點(diǎn))

無(wú)界函數(shù)的反常積分又稱為瑕積分

無(wú)界函數(shù)反常積分的定義

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,

b]上連續(xù),

點(diǎn)a為f(x)的瑕點(diǎn).

函數(shù)f(x)在(a,

b]上的反常積分定義為下頁(yè)

在反常積分的定義式中,如果極限是存在的,

則稱此反常積分收斂;

否則稱此反常積分發(fā)散.

函數(shù)f(x)在[a

c)(c

b]上(c為瑕點(diǎn))的反常積分定義為

二、無(wú)界函數(shù)的反常積分

類似地,函數(shù)f(x)在[a,

b)上(b為瑕點(diǎn))的反常積分定義為下頁(yè)無(wú)界函數(shù)反常積分的定義

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,

b]上連續(xù),

點(diǎn)a為f(x)的瑕點(diǎn).

函數(shù)f(x)在(a,

b]上的反常積分定義為

二、無(wú)界函數(shù)的反常積分無(wú)界函數(shù)反常積分的定義

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,

b]上連續(xù),

點(diǎn)a為f(x)的瑕點(diǎn).

函數(shù)f(x)在(a,

b]上的反常積分定義為反常積分的計(jì)算

如果F(x)為f(x)的原函數(shù)可采用簡(jiǎn)記形式

則f(x)在(a,

b]上的反常積分為下頁(yè)

二、無(wú)界函數(shù)的反常積分無(wú)界函數(shù)反常積分的定義

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,

b]上連續(xù),

點(diǎn)a為f(x)的瑕點(diǎn).

函數(shù)f(x)在(a,

b]上的反常積分定義為反常積分的計(jì)算

如果F(x)為f(x)的原函數(shù)則f(x)在(a,

b]上的反常積分為提問：

f(x)在[a,

b)上和在[a

c)(c

b]上的反常積分如何計(jì)算？如何判斷反常積分的斂散性？下頁(yè)所以點(diǎn)a為被積函數(shù)的瑕點(diǎn)

解

例4

下頁(yè)

解

例5

下頁(yè)當(dāng)c(acb)為瑕點(diǎn)時(shí)

解

例6

當(dāng)q1時(shí)此反常積分發(fā)散

結(jié)束三、Γ函數(shù)（GammaFunction）

可以證明它是收斂的。這里我們探討Γ函數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì)：

性質(zhì)1

性質(zhì)4

性質(zhì)5

（在概率論中常用的一個(gè)積分）

定義：含參變量的廣義積分稱為函數(shù)性質(zhì)3為正整數(shù)時(shí),有當(dāng)性質(zhì)2遞推公式（或Gamma函數(shù)）．例7計(jì)算下列積分：解:（2）令

則從而1.反常積分積分區(qū)間無(wú)限被積函數(shù)無(wú)界等于常義積分的極限2.兩個(gè)重要的反常積分內(nèi)容小結(jié):

例如：

是否收斂？思考1:分析:原積分發(fā)散!注意