2009年全國高考文科數(shù)學(xué)試題及答案

2009年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分．第卷12頁，第34頁．試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．注意事項：答題前，考生在答題卡上務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的、準(zhǔn)考證號、填寫清楚，并貼好條形碼．請認真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、和科目．每小題選出答案后，用2Ｂ鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．．．本卷12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是參考公式：如果事件A，B互斥，那 球的表面積公P(AB)P(A) S如果事件A，B相互獨立，那 其中R表示球的半如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是P，那

球的體V4πR3n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概 其中R表示球的半nPn(k)CkPk(1P)nk(k,2，n一、選擇題（1）sin585o2(A)22

2

23223

323【解析】本小題考查誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值，基礎(chǔ)題sin585osin(360o225osin(180o45o)sin45o

，故選擇A222｛59｛3789 B，則集合eU(的元素(A)3個（B）4個（C）5個（D）6

B)【解析】本小題考查集合的運算，基礎(chǔ)（同理解： B{3,4,5,7,8,9}，AB{4,7,9}eU(AB){3,5,8}故選A。也可定律Uxx不等xx

（A）x

（B）x0（C）x （D）x【解析】本小題考查解含有絕對值的不等式xxx解 1|x1||x1|(x1)(x 04x0x0故選D已知tana=4,cot

1,則tan(a37

(B)

(D)【解析】本小題考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系、正切的和角公式，基礎(chǔ)題。tan3tan(tantan43

，故B1tantan 1 y

離心率3 35 656

解：由題雙曲線 ，代入拋物線方 整理得ax2bxa0，因漸近線與拋物線相切，所 b24a20，即c25a2e，故選擇C 【解析】本小題考查反函數(shù)，基解：由題令12lgx1x1，即f(11g(11，所以f(1g(12故選C5名男同學(xué)、36名男同學(xué)、2名女同學(xué)，若從甲、乙兩組中各選出2名同學(xué)，則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選法共有（A）150 （B）180 （C）300 （D）345【解析】本小題考查分類計算原理、分步計數(shù)原理、組合等問題，基礎(chǔ)題。解：由題共有C2C1C1C1C1C2345，故選擇。 6 53a、b、c滿足|a||b||c|,abcab 【解析】本小題考查向量的幾何運算、考查數(shù)形結(jié)合的思想，基礎(chǔ)題。解：由向量加法的平行四邊形法則，知a、b可構(gòu)成菱形的兩條相鄰邊，且a、b為起點處B。已知三棱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相A1在底ABC上的射影的中點，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為(A) (A) 3544

4

774【解析】本小題考查棱柱的性質(zhì)、異面直線所成的角，基礎(chǔ)題。（同 解：設(shè)BC的中點為DA1D，AD，易知A1AB即為異面直AB與CC1AD 角,由三角余弦定理，易知coscosA1ADcosDAB .故選A1A (10)y3cos(2x的圖像關(guān)于點403

的最小值為6

4

3

2【解析】本小題考查三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，基礎(chǔ)題。解 函數(shù)y＝3cos2x＋的圖像關(guān)于點4，0中心對 24kk13(kZ)由此易得| .故選 已知二面角l600，動點P、Q分別在面內(nèi)，P的距離為3，Q到23，則P、Q兩點之間距離的最小值為【解析】本小題考查二面角、空間里的距離、最值問題，綜合題。（同 解:QA于AACl于CPB于PDl于D，連CQBD則ACQPBDAQ23,BP PQ AQ2PQ AQ212AP0，即點A與點PCx2已知橢圓C: y1的右焦點為F,右準(zhǔn)線l，點Al，線段AF交C于點B。AFFA3FB,AF(B) (D)3【解析】本小題考查橢圓的準(zhǔn)線、向量的運用、橢圓的定義，基礎(chǔ)題。3BBMlM,并設(shè)右準(zhǔn)線l與X軸的交點為NFN=1.FA3FB 故|BM .又由橢圓的第二定義,得|BF 2.故選 2009年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（必修選修Ⅰ）注意事項：答題前，考生先在答題卡上用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的、準(zhǔn)考證號填寫清楚，然后貼好條形碼．請認真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、和科目．第Ⅱ卷共70.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．（(xy)10的展開式中，x7y3的系數(shù)與x3y7的系數(shù)之和等 【解析】本小題考查二項展開式通項、基礎(chǔ)題。（同 解:因 (1)rCrx10ryr所以有C3(C7)2C3r 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn。若S972，則a2a4a9 【解析】本小題考查等差數(shù)列的性質(zhì)、前n項和，基礎(chǔ)題（同理14） an是等差數(shù)列,由S972,得S99a5,a58a2a4a9a2a9a4a5a6a43a524M的面積為3，則球O的表面積等 【解析】本小題考查球的截面圓性質(zhì)、球的表面積R，圓Mr，則r23r23R2R)232所以R244R216（16）ml1xy10與l2xy302，m的傾斜角可以是① ② ③ ④ ⑤其中正確答案的序號 .（寫出所有正確答案的序號|3|311解：兩平行線間的距離為d ，由圖知直線m與l的夾角為30o，l的傾 角為45om30o450750或45o300150。故填寫①或⑤三．解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.(17)(本小題滿分10分)(注意:設(shè)等差數(shù)列{an}nsn，公比是正數(shù)的等比數(shù)列bn}n項和為Tn，已a11,b13,a3b317,T3S312,求{an},{bn}的通項公式【解析】本小題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、前n項和，基礎(chǔ)題。解：設(shè)an的公差d，數(shù)列bn的公q0，由ab17得12d3q2 TS12得q2qd q0解得q2,da12(n1)2n1,b32n1 (18)(本小題滿分12分)（注意：在試用題卷上作答無效ABCA、C的對邊長分別為a、b、ca2c22bsinB4coA 【解析】本小題考查正弦定理、余弦定理。a2c2b22bccosA，又a2c22bb0，b22bccosA2b即b2ccosA 由正弦

bsin sin又由已知得sinBsinB4cosAsin所以b4ccos

coA②故由b(19)(本小題滿分12分)（注決：在試題卷上作答無效SABCDABCDSDABCD，AD ，DCSD2，點M在側(cè)棱SC上，ABMMSCSAMB（18）MECDSD于點E，MEABME平面SAD連接AE，ABME為直角梯形MFAB，垂足為F，則AFMEED2(2x)2設(shè)MExED2(2x)2MFAE (2x)22,FB2(2x)2MF(2x)2x

3(2ME1ME

12MSCBC2MB 2，又ABM60,AB2BC2又由（Ⅰ）M為SCSM 2,SA 6,AM2SA2SM2AM2SMA取AM中點G，連結(jié)BGSA中點H，連結(jié)GHSAMB的平面角BH，在BGH

, ,由BG 3AM 3,GH1SM 2,BH BG2GH2BH所以cosBGH 2BG 6二面角SAMB的大小為 63解法二:D為坐標(biāo)原點，射線DA為x軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系D-xyzA(2,00)B(220),C(0,20S(00（Ⅰ）SMMC(0)M(0,2

,21

1),MB(2,1

1AB0,2,0),MBABMBAB|MB||AB|cos(2)2 )2(2)2 )2(2111解得1SM所以M為側(cè)SC的中 由M(0,1,1),A(2,0,0)，得AM的中點G(1 , 2又GB( ,3,1),MS(0,1,1),AM( 所以GBAMMS因此GBMSSAMBcosGB,MS GB |GB||MS 6所以二面角SAMB的大小為arccos( 63(20)（本小題滿分12分（3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束。假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相互獨立。已知前2局中，甲、乙各勝1局。求再賽2題設(shè)“再賽2局結(jié)束這次比賽”為事件AAA3A4B3B4P(A)P(A3A4B3B4)P(A3A4)P(B3B4P(A3)P(A4)P(B3)P(B40.60.60.40.42BA3A4B3A4A5A3B4A5P(B)P(A3A4B3A4A5A3B4A5P(A3A4)P(B3A4A5)P(A3B4A5P(A3)P(A4)P(B3)P(A4)P(A5)P(A3)P(B4)P(A50.60.60.40.60.60.60.40.6（已知函數(shù)f(x)x43x26.f(xPyf(xP處的切線l通過坐標(biāo)原點，求l程【解析】本小題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的單調(diào)性，綜合題。（Ⅰ）f'()436x4(x 6)(x 6) 令f'(x)0得 x0或x6 f'(x0x

或0x 66 66

因此，fx在區(qū)間6)為減函數(shù)。62

,0)626

6,為增函數(shù)；在區(qū)間(2

62Px0fx0llyf'(x0x，因此f(x0x0f'(x0，x43x26x(4x36x)0 整理得x21x220 解得x0或x0ly2xy2(22)（本小題滿分12分（Ey2xMx4)2y2r2r0)A、B、C、D四r的取值范點P的坐標(biāo)。（Ⅰ）Ey2xMx4)2y2r2r0)的方程，消去y2，整理得x27x16r2 E與M有四個交點的充要條件是：方程①有兩個不相等的正根x1、(7)24(16r2)由此得xx7 xx16r 解得15r24rr的取值范圍是(152（II）設(shè)四個交點的坐標(biāo)分別為 x1)、B(x1,x1)、C(x2,x2)、D(x2 x2) 定理有xx7,xx16r2，r(15,1 1 1則S 2|xx| )|xx| 2S2

x)24xx](x 1

)(7216r2)(4r216 t，則S2(72t)2(7 下面求S216方法1：由三次均值S2(72t)2(72t)1(72t)(72t)(144t)1(72t72t144t)31

3(3 當(dāng)且僅當(dāng)72t144t，即t7時取最大值。經(jīng)檢驗此時r 15,4)滿足題意 方法2：設(shè)四個交點的坐標(biāo)分別為 x1)、B(x1,x1)、C(x2,x2)、D(x2 x2x2 則直線AC、x2 x2 x2

x2

(x

),y

x2

(xx1x1解得點P