定積分概念、性質教學提綱

定積分的概念(gàiniàn)

微積分基本公式第一頁，共44頁。

17世紀(shìjì)，從實際需要中人們提出許多問題，歸結起來有兩類：速度問題、切線問題。導數研究了事物變化的速度，定積分則研究相反的問題：事物變化的累積和。如面積、路程、電量多少、變量作功等等。本章將重點學習定積分的概念、幾何意義及微積分基本定理。

前言第二頁，共44頁。4.1定積分(jīfēn)概念一、定積分的引入—曲邊梯形(tīxíng)面積的求法注：此“面積(miànjī)”一定是以x軸為一邊的曲邊梯形；yxbaAy=f(x)第三頁，共44頁。例如：求曲線y=x2、直線(zhíxiàn)x=0、x=1和y=0所圍成的面積？如圖所示此問題(wèntí)的難點是圖形有一邊是曲的，如何求它的面積呢？研究此問題的基礎是已知矩形的面積公式S=長*寬=a*b，那么研究方法(fāngfǎ)是“無限細分，以直代曲”，將曲邊圖形分劃為若干個小矩形，用小矩形面積△Si矩近似代替小曲邊梯形面積△Si曲，即:xyy=x21A0如果右邊的和式有極限（n→∞），則極限值即為整個曲邊梯形的面積，即：第四頁，共44頁。如圖所示：1）將區(qū)間(qūjiān)[0,1]n等分。其分點分別(fēnbié)為：2）得n個小條形(tiáoxínɡ)，每個小條形(tiáoxínɡ)的寬均為高則分別取區(qū)間右端點xi(i=1,2,…,n)的函數值3）相乘為第i個小矩形面積：xy0x2x3xn=1xn-1y=x2x0x14）第i個小曲邊梯形面積近似：5）曲邊梯形面積S曲近似：第五頁，共44頁。xy010y=x2x01若取n=10容易發(fā)現(fāxiàn)n越大（即區(qū)間分得越細）則此面積誤差越小，6）直到用極限方法令n→∞，得曲邊梯形的精確值：第六頁，共44頁?？偨Y(zǒngjié)：求曲邊梯形面積的步驟引例1——曲邊梯形(tīxíng)的面積（演示）其中設物體的運動速度引例2——變速(biànsù)直線運動的路程分割區(qū)間取近似值作和取極限

（1）細分區(qū)間ti-1ti(2)取近似值

（3）作和（4）取極限

T1T2vt第七頁，共44頁。曲邊梯形(tīxíng)面積A：變速運動(biànsùyùndòng)的路程S：記為記為二、定積分(jīfēn)的概念（演示）第八頁，共44頁。定積分(jīfēn)定義如果當最大的子區(qū)間的長度時，此和式有極限(jíxiàn)，則此極限(jíxiàn)叫作f(x)在[a，b]上的定積分，

記為：即第九頁，共44頁。在定積分(jīfēn)中其中“∫”為積分號（把字母(zìmǔ)s拉長），a，b為積分下限和上限，即積分變量x的范圍：a≤x≤b，又叫積分區(qū)間；f(x)為被積函數，f(x)dx稱為被積表達式。上例曲邊圖形(túxíng)的面積用定積分表示注意：據定義有如下說明:(1)定積分是特殊和式極限,它是一個定數;(2)定積分的大小僅與區(qū)間[a,b]和被積函數f(x)有關；(3)規(guī)定：第十頁，共44頁。1.若函數在上連續(xù)，2.若函數在上有界，且只有有限個間斷點，三、定積分存在(cúnzài)的充分條件則在上可積。則在上可積。有界是函數在區(qū)間(qūjiān)[a,b]上可積的必要條件。第十一頁，共44頁。表示(biǎoshì)曲線與x軸圍成的圖形面積的代數和。表示曲線與x軸圍成的圖形(túxíng)面積。四、定積分的幾何(jǐhé)意義（演示）abA1A2A3（1）（2）第十二頁，共44頁。（2）若是奇函數，則（1）若是偶函數，則a-a五、定積分(jīfēn)的幾何性質-aa由定積分幾何(jǐhé)意義可得：第十三頁，共44頁。補充規(guī)定：abxx+dx第十四頁，共44頁。定積分(jīfēn)幾何意義的應用1428173第十五頁，共44頁。0xy-33第十六頁，共44頁。把區(qū)間分成n等份，每份長，各分點是：解

因為在上連續(xù)，所以存在例

用定義求定積分=第十七頁，共44頁。規(guī)定：abxx+dx六、定積分的基本(jīběn)性質第十八頁，共44頁。無論a,b,c的相對位置如何(rúhé)，（3）式均成立?？赏茝V至有限(yǒuxiàn)個函數的代數和的情形。bca···acb···◆定積分(jīfēn)的基本性質第十九頁，共44頁。..則有推論1設

，對任意òò≤babadxxgdxxf)()(（5）對任意)≥0，則有(xf第二十頁，共44頁。.性質(xìngzhì)6（介值定理）：設f(x)在[a,b]上可取得最大值M和最小值m，于是，由性質(xìngzhì)5有.幾何意義(yìyì)也很明顯再根據(gēnjù)閉區(qū)間上的聯系函數的介值定理可得第二十一頁，共44頁。如果變速(biànsù)直線運動物體的運動方程是S=S(t)，則在時間段[T1,T2]內所發(fā)生的位移變化為S(T2)-S(T1)如果物體的運動方程為V=V(t)，則由定積分(jīfēn)可知連續(xù)函數

在區(qū)間

上的定積分等于它的一個原函數

在積分區(qū)間上的增量◆微積分基本(jīběn)公式而？第二十二頁，共44頁。微積分基本公式（一）——變上限(shàngxiàn)的積分定理axb第二十三頁，共44頁。證明思路(sīlù)參見書第二十四頁，共44頁。例1例2

解：用分點0插分區(qū)間(qūjiān)[x,-2x]第二十五頁，共44頁。例3例4第二十六頁，共44頁。設

在區(qū)間

上連續(xù)，

是它的任意一個原函數，則有微積分基本公式(gōngshì)（二）——牛頓—萊布尼茲公式(gōngshì)證明(zhèngmíng)思路記作第二十七頁，共44頁。例2求下列(xiàliè)定積分解

因為

在

上連續(xù)，

是它的一個原函數

所以(suǒyǐ)第二十八頁，共44頁?；蚪庠?/p>

幾何(jǐhé)意義第二十九頁，共44頁。解原式

幾何(jǐhé)意義第三十頁，共44頁。解原式

解原式

合理應用(yìngyòng)對稱區(qū)間上奇偶函數的積分性質，簡化定積分的計算。第三十一頁，共44頁。解設，求分段函數的積分計算，應分區(qū)間(qūjiān)選取相應的函數函數(hánshù)在x=1處間斷第三十二頁，共44頁。exit引例曲邊梯形(tīxíng)的面積第三十三頁，共44頁。exit定積分(jīfēn)的定義第三十四頁，共44頁。exit定積分(jīfēn)的幾何意義第三十五頁，共44頁。exit估值定理(dìnglǐ)第三十六頁，共44頁。exit積分(jīfēn)中值定理第三十七頁，共44頁。牛頓(niúdùn)-萊布尼茲公式返回(fǎnhuí)第三十八頁，共44頁。若

是奇函數，則若

是偶函數，則a-a◆定積分(jīfēn)的幾何意義是偶函數，是奇函數。-aa偶函數奇函數第三十九頁，共44頁。廣義(guǎngyì)積分*定義假設對在[a,b]有定義且可積，(1)對于[a,+∞]上的無窮積分如果存在，我們稱收斂，且定義：

否則，稱發(fā)散。

(2)對于[-∞，b]的無窮積分

如果存在，我們稱收斂，且定義：

否則，稱發(fā)散。

第四十頁，共44頁。廣義(guǎngyì)積分*（3）對于區(qū)間（-∞，+∞）的無窮積分

如果=A+B.如果右邊每一個無窮積分都存在，我們稱收斂，如果其中之一不存在，則