中南大學(xué)微積分II下復(fù)習(xí)資料 曲線(xiàn)積分及曲面積分 常微分方程及差分方程

AdvancedMathmaticIIProf.LiubiyuWellcomeyou§5.2Lineintegralofthesecondtype§5.3Green’sformula

§5.1Lineintegralofthefirsttype§5.4Surfaceintegralofthefirsttype§5.6Gauss’sformulaanddivergence§5.7Stokes’sformulaandthecurlofavector§5.5SurfaceintegralofthesecondtypeChapter5曲線(xiàn)積分與曲面積分曲線(xiàn)積分與曲面積分是多元函數(shù)積分學(xué)中的兩個(gè)不同的概念.與重積分類(lèi)似,它們都是定積分中“分割、求和、取極限”的基本分析方法在二維和三維空間中的推廣，它們的計(jì)算都要?dú)w結(jié)為定積分的計(jì)算.本章主要研究曲線(xiàn)積分與曲面積分的計(jì)算方法,以及剃度、散度和旋度的概念及其計(jì)算§5.1Lineintegralofthefirsttype

一、引例及第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的定義二、第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的計(jì)算三、第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的應(yīng)用一、引例及第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的定義1.引例Solution.

分割求和

取極限近似值精確值Solution.分割求和

取極限近似值精確值2.第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的統(tǒng)一定義（形式上的定義）記為也稱(chēng)其為平面上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分也稱(chēng)其為空間上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分弧長(zhǎng)f(x,y)定義在L上IntegralsumintegrandPathofintegration說(shuō)明:對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分與路徑的走向無(wú)關(guān)!3.第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的性質(zhì)對(duì)路徑的可加性

與路徑方向無(wú)關(guān)二、第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的計(jì)算(只講方法不作證明)1.基本計(jì)算法基本思想是:根據(jù)路徑L的參數(shù)表達(dá)式化為定積分.

定理1.“一代二換三定限”=ds弧微分公式！說(shuō)明:概括為“一代二換三定限”幾種特殊情形:x為參數(shù)y為參數(shù)直角坐標(biāo)下的弧微分公式極坐標(biāo)下的弧微分公式奇函數(shù)Example1Solutiony為參數(shù)從而化為y的定積分Example2Solutionx為參數(shù)y為參數(shù)Example3SolutionExample4Solution宜采用極坐標(biāo)計(jì)算Example5Solution(2)不難看出:所給曲線(xiàn)是一半徑為2的圓周,其周長(zhǎng)為4,故注意:被積函數(shù)是定義在上.所以2.利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化

(3)輪換對(duì)稱(chēng)性Example6Method1.Method2.

由于L關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),被積函數(shù)是關(guān)于y的奇函數(shù).Example7Solution由輪換對(duì)稱(chēng)性得:球面大圓周長(zhǎng)三、第一類(lèi)曲線(xiàn)積分的應(yīng)用對(duì)空間曲線(xiàn)構(gòu)件也有結(jié)論!Example8SolutionExample9Solution(1)求A的元素dA(2)元素dA的積分得面積A§5.2Lineintegralofthesecondtype

一、Theconceptoffield(場(chǎng)論的基本概念)二、變力沿曲線(xiàn)作功與第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的概念三、第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的計(jì)算四、第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的應(yīng)用五、第一、二類(lèi)曲線(xiàn)積分的關(guān)系一、Theconceptoffield(場(chǎng)論的基本概念)Itiswellknownthattherearedifferentkindsoffieldinphysics,forinstance,temperaturefields,potentialfields,forcefieldsandelectricforcefields.Ingeneral,adomainintheplaneorinspaceonwhichsomekindofphysicalquantityisdistributediscalledafield.Inmathematics,afieldisadomainonwhichascalarorvector-valuedfunctiondefined.Ifthisfunctionisascalarfunctionthenthefieldiscalledascalarfield;ifitisavector-valuedfunctionthenthefieldiscalledavectorfield.IfthephysicalquantityinthefielddependsonlyonthelocationofthepointMandisindependentofthetimet,thenthefieldiscalledastationaryfieldorstablefield.IfthefielddependsnotonlyonthelocationofthepointMbutalsoonthetimet,thenitiscalledanon-stationaryfieldortime-varyingfield.二、變力沿曲線(xiàn)作功與第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的概念1、變力沿曲線(xiàn)作功(1)分割(2)求和(3)取極限近似值精確值2、第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的定義定義1也稱(chēng)為第二類(lèi)曲線(xiàn)積分或II型曲線(xiàn)積分!記為！說(shuō)明:(3)物理意義:變力沿曲線(xiàn)作功.可分可合其中可分可合3、第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的性質(zhì)即對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分與曲線(xiàn)的方向有關(guān).三、第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的計(jì)算定理.

1.基本計(jì)算法

“一代二換三定限”.！說(shuō)明:x為參數(shù)y為參數(shù)“一代二換三定限”.Example1Solution.

Method1(化為x的定積分)Example2Method2(化為y的定積分)Example3Method1.Method2.Example4Solution(1)上半個(gè)圓的參數(shù)方程:結(jié)論表明:此積分值與積分路徑有關(guān),即,即使具有相同起點(diǎn)與終點(diǎn)的積分路徑,如果其路徑軌跡不同,曲線(xiàn)積分值是不同的.Example5Solution結(jié)論表明:此積分值與路徑無(wú)關(guān),即,具有相同起點(diǎn)與終點(diǎn)的積分路徑,即使是沿不同的路徑軌跡,曲線(xiàn)積分值是相同的.Thisisaveryimportantandinterestingpropertyoflineintegralsofthesecondtypewhichwewilldiscussfurtherlater.Example6Solution.Example7SolutionExample8Solution

2.利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化計(jì)算

注意:無(wú)輪換對(duì)稱(chēng)性

四、第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的應(yīng)用Example9Solution由II型曲線(xiàn)積分的物理意義知:Example10Solution.五、第一、二類(lèi)曲線(xiàn)積分的關(guān)系一方面——單位切向量.第二類(lèi)曲線(xiàn)積分定積分另一方面同樣可得,

第一類(lèi)曲線(xiàn)積分定積分第一、二類(lèi)曲線(xiàn)積分之間的關(guān)系Example11Solution§5.3Green’sformula一、Green公式二、曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件三、微分形式Green公式建立了平面區(qū)域D的邊界曲線(xiàn)L上的曲線(xiàn)積分與D內(nèi)的二重積分之間的聯(lián)系，提供了計(jì)算沿閉曲線(xiàn)上的曲線(xiàn)積分的一種有效方法。一、Green公式1.單連通區(qū)域設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線(xiàn)所圍成的部分都屬于D,則稱(chēng)D為平面單連通區(qū)域,否則稱(chēng)為復(fù)連通區(qū)域.復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域DD單連通區(qū)域——不含有“洞”或“點(diǎn)洞”;

復(fù)連通區(qū)域——含有“洞”或“點(diǎn)洞”;

2.D的邊界曲線(xiàn)L的正向規(guī)定

當(dāng)觀(guān)察者沿L的正向行走時(shí),區(qū)域D內(nèi)離他近處的那一部分總在他的左邊.DD3.Green公式

定理

Proof.

根據(jù)D的不同形狀,分三種情況進(jìn)行討論.yxoabDcdABCE同理可證兩式相加得Green公式DGDFCEAB由(2)知！說(shuō)明:(1)便于記憶形式:(2)當(dāng)邊界曲線(xiàn)取反方向時(shí),Green公式中二重積分符號(hào)前添“”號(hào)!(3)應(yīng)用Green公式時(shí),特別要注意以下條件:

注意:L為區(qū)域D的正向邊界.

4.Green公式的應(yīng)用

(1)利用Green公式計(jì)算曲線(xiàn)積分

Example1Solutionxyo由Green公式得Example2Solution由于L不封閉,不能直接用Green公式,為此由Green公式得Example3Solution曲線(xiàn)L為星形線(xiàn),包含原點(diǎn)O(0,0)在內(nèi),取以O(shè)為中心,充分小的為半徑作圓周l:x=cos,y=sin,使其全部包含在L內(nèi),l的方向取順時(shí)針?lè)较?設(shè)D是由L與l所圍成的區(qū)域.由Green公式得Example4Solution(1)若原點(diǎn)不在L所圍區(qū)域的內(nèi)部xyoL(2)若原點(diǎn)在L所圍區(qū)域的內(nèi)部yxo為此,取r>0足夠小,以原點(diǎn)O為中心,r為半徑作一小圓,且使小圓位于L所圍區(qū)域內(nèi).由Green公式得:Example5Solution由Green公式得:(2)利用Green公式計(jì)算二重積分

Example6Solutionxyo二、曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件1.曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的定義

GyxoBA如果在區(qū)域G內(nèi)有與路徑無(wú)關(guān).2.與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)條件定理:

恰當(dāng)條件此時(shí),也稱(chēng)u(x,y)為微分形式Pdx+Qdy的原函數(shù).Proof.如圖所示積分中值公式由Green公式得證畢.！說(shuō)明:(1)曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)要求在單連通區(qū)域內(nèi)考慮,而Green公式只要求封閉路徑；具體求法為：積分上限函數(shù)與路徑無(wú)關(guān),故可走特殊路徑.或者3.利用路徑無(wú)關(guān)條件計(jì)算曲線(xiàn)積分Example7Solution所以,此曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān).Example8SolutionExample9SolutionExample10Solution由Green公式有,(3)如圖,

由積分與路徑無(wú)關(guān)，Example11Solution.

由積分與路徑無(wú)關(guān),得

三、微分形式定義根據(jù)與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)條件可知:Example12Solution有三種方法可以求這樣的u(x,y).Method1(曲線(xiàn)積分法)Method2(不定積分法)Method3(湊微分法)Example13Solution§5.4Surfaceintegralofthefirsttype一、第一類(lèi)曲面積分的概念二、第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算三、第一類(lèi)曲面積分的應(yīng)用一、第一類(lèi)曲面積分的概念1.引例

Solution.分割

求和

取極限近似值精確值Definition1(光滑曲面)如果曲面S上的每一點(diǎn)都有切平面且切平面隨點(diǎn)連續(xù)變動(dòng),則稱(chēng)曲面S為光滑曲面.2.定義

Definition2(第一類(lèi)曲面積分或?qū)γ娣e的曲面積分)表示面積記為或第I型曲面積分,或?qū)γ娣e的曲面積分.！說(shuō)明:(4)第一類(lèi)曲面積分與曲面的方向無(wú)關(guān)!

Property1Property23.性質(zhì)

其他性質(zhì)與第一類(lèi)曲線(xiàn)積分類(lèi)似.二、第一類(lèi)曲面積分的計(jì)算1.基本計(jì)算法(“

一投二代三替換”)第一類(lèi)曲面積分亦即對(duì)面積的曲面積分,其基本計(jì)算方法是轉(zhuǎn)化為二重積分來(lái)計(jì)算.證明大意:

故結(jié)論成立.一般地,向投影區(qū)域易找且面積非0的坐標(biāo)面投影.Example1Solution向xoy面投影較易.采用極坐標(biāo).Example2Solution.Solution.Example3只能向yoz面投影.Example4Solution.只能向yoz面或xoz面投影,因在xoy面上的投影為0.2.對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化計(jì)算

(4)輪換對(duì)稱(chēng)性Example5Solution.球面關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng),

Example6Solution.Example7Solution.關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面對(duì)稱(chēng),

其中1表示第一卦限部分曲面,即

1:x+y+z=a,即z=a-x-y

Example8Solution.由輪換對(duì)稱(chēng)性得球面面積三、第一類(lèi)曲面積分的應(yīng)用類(lèi)似于平面、立體、曲線(xiàn)構(gòu)件可得：Example9Solution坐標(biāo)軸即為球面構(gòu)件的直徑，所以輪換對(duì)稱(chēng)性§5.5Surfaceintegralofthesecondtype一、第二類(lèi)曲面積分的概念二、第二類(lèi)曲面積分的計(jì)算四、第二類(lèi)曲面積分的應(yīng)用三、第一、二類(lèi)曲面積分的關(guān)系一、第二類(lèi)曲面積分的概念1.有向曲面(雙側(cè)曲面,單側(cè)曲面)觀(guān)察以下曲面的側(cè)(假設(shè)曲面是光滑的)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面有雙側(cè)曲面和單側(cè)曲面.假設(shè)曲面是光滑的,則當(dāng)點(diǎn)P在曲面上連續(xù)變動(dòng)時(shí),相應(yīng)的法向量也隨之連續(xù)變動(dòng).如果點(diǎn)P在曲面上沿任一路徑連續(xù)變動(dòng)后且不跨越曲面的邊界回到原來(lái)的位置時(shí),相應(yīng)的法向量的方向與原來(lái)的方向相同,則稱(chēng)曲面為雙側(cè)曲面.典型的雙側(cè)曲面

如果點(diǎn)P在曲面上沿任一路徑連續(xù)變動(dòng)后回到原來(lái)的位置時(shí),相應(yīng)的法向量的方向與原來(lái)的方向相反,則稱(chēng)曲面為單側(cè)曲面.典型的單側(cè)曲面

莫比烏斯(Mobius)帶通常我們所遇到的曲面都是雙側(cè)的,如球面、旋轉(zhuǎn)拋物面等如果把一長(zhǎng)方形紙條的一端扭轉(zhuǎn)1800，再與另一端粘合起來(lái)可得到莫比烏斯(Mobius)帶。麥比烏斯的地鐵系統(tǒng)在科學(xué)幻想故事“一列名叫麥比烏斯的地鐵”中，故事情節(jié)圍繞一列從波士頓地鐵系統(tǒng)中神秘消逝的第86號(hào)列車(chē)而展開(kāi).這個(gè)地鐵系統(tǒng)前一天才舉行通車(chē)儀式,但是現(xiàn)在第86號(hào)卻消失了,什么痕跡也沒(méi)有留下.事實(shí)上,很多人都報(bào)告說(shuō)他們聽(tīng)到了列車(chē)在它們的正上方或正下方飛馳的聲音,但是誰(shuí)也沒(méi)有真正地看到過(guò)它.當(dāng)確定這列火車(chē)為止的所有努力都失敗之后,哈佛的數(shù)學(xué)家羅杰.圖佩羅給交通中心打電話(huà),并且提出了一個(gè)驚人的理論:這個(gè)地鐵系統(tǒng)非常復(fù)雜,以至于它可能變成了一個(gè)單側(cè)曲面(麥比烏斯帶)的一部分,而那列在當(dāng)時(shí)丟失的火車(chē)可能正在這條帶子的“另一個(gè)”面上跑它的正常路線(xiàn).面對(duì)極度驚愕的市政官員,他耐心地解釋了這種系統(tǒng)的拓?fù)淦娈愋?在經(jīng)過(guò)一段時(shí)間——確切地說(shuō)是十星期之后——這列丟失的列車(chē)又重新出現(xiàn)了，它的乘客都安然無(wú)恙，只是有一點(diǎn)累.

曲面的側(cè)是利用曲面上法向量的指向來(lái)確定的.取定了法向量或選定了側(cè)的曲面叫做有向曲面.2.有向曲面在坐標(biāo)面上的投影設(shè)為有向曲面,S為上一小塊曲面.S在xoy面上的投影定義如下:類(lèi)似地S在yoz面上的投影S在xoz面上的投影3.流量問(wèn)題Solution.3.第二類(lèi)曲面積分的定義定義1(第二類(lèi)曲面積分或第II型面積分或?qū)ψ鴺?biāo)的曲面積分)其中——對(duì)坐標(biāo)x,y

的曲面積分——對(duì)坐標(biāo)y,z

的曲面積分——對(duì)坐標(biāo)z,x

的曲面積分！說(shuō)明:(4)當(dāng)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)

在有向光滑曲面上連續(xù)時(shí),對(duì)坐標(biāo)的曲面積分一定存在.4.第二類(lèi)曲面積分的性質(zhì)二、第二類(lèi)曲面積分的計(jì)算第二類(lèi)曲面積分的計(jì)算方法有:1.基本計(jì)算法;2.對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化;3.類(lèi)型轉(zhuǎn)換法;4.投影轉(zhuǎn)換法;5.利用高斯公式.1.基本計(jì)算法(“一投二代三定向”)計(jì)算第二類(lèi)曲面積分的基本方法是通過(guò)投影轉(zhuǎn)化為二重積分的計(jì)算;轉(zhuǎn)化過(guò)程可概括為”一投二代三定向”.三定向根據(jù)題中給定的曲面的方向確定上述等號(hào)右邊的符號(hào).如果取上側(cè),應(yīng)取正號(hào);如果取下側(cè),應(yīng)取負(fù)號(hào).此外,如果曲面上的法向量垂直于z軸,即曲面在xoy坐標(biāo)面上的投影為0,則曲面積分值為0.類(lèi)似可得:注意:將曲面投影到y(tǒng)oz坐標(biāo)面上注意:將曲面投影到xoz坐標(biāo)面上注意(1)計(jì)算過(guò)程為“一投影二代三正向”;Example1Solution由于兩曲面在xoy坐標(biāo)面上的投影域均為:用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分Example2Solution.如圖所示,取下側(cè)；取上側(cè)；取下側(cè).Example3Solution2.對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化計(jì)算法

Example4Solution.Example5Solution.如圖所示,取下側(cè);取上側(cè);三、第一、二類(lèi)曲面積分的關(guān)系由第二類(lèi)曲面積分的定義可得:兩類(lèi)曲面積分的關(guān)系式.3.第二類(lèi)曲面積分計(jì)算的類(lèi)型轉(zhuǎn)換法

計(jì)算第二類(lèi)曲面積分,有時(shí)利用基本計(jì)算方法時(shí),若投影工作量較大,則可根據(jù)兩類(lèi)曲面積分的關(guān)系轉(zhuǎn)換為第一類(lèi)曲面積分計(jì)算.Example6Solution.如圖所示,Example7Solution因?yàn)樗o球面上任意點(diǎn)(x,y,z)處的單位外法向量4.第二類(lèi)曲面積分計(jì)算的投影轉(zhuǎn)換法

因此投影之間可相互轉(zhuǎn)換,從而使計(jì)算簡(jiǎn)便,例如:Example8Solution.由對(duì)稱(chēng)性及奇偶性得

四、第二類(lèi)曲面積分的應(yīng)用根據(jù)前面的流量問(wèn)題的解決可知:

故,求流體的流量問(wèn)題可用第二類(lèi)曲面積分來(lái)計(jì)算.Example9Solution所求流體的流量為:下側(cè)上側(cè)§5.6Gauss’sformulaanddivergence一、Gauss公式三、通量與散度四、綜合應(yīng)用二、沿閉曲面的曲面積分為零的條件一、Gauss公式Gauss公式建立了沿空間區(qū)域的邊界曲面上的曲面積分與內(nèi)的三重積分之間的聯(lián)系,因此提供了計(jì)算沿封閉曲面上的曲面積分的一種有效方法.定理:(高斯公式或奧氏公式或奧高公式)Proof.(1)設(shè)平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)與邊界曲面的交點(diǎn)不多于兩個(gè)，如圖xy-型根據(jù)三重積分的計(jì)算法根據(jù)曲面積分的計(jì)算法同理,

三式相加得,(2)當(dāng)平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)與邊界曲面的交點(diǎn)多于兩個(gè)時(shí),引進(jìn)輔助曲面分成多個(gè)(1)中的區(qū)域，可得結(jié)論.三式可單獨(dú)用,也可以合并用.！說(shuō)明:(1)Gauss公式的實(shí)質(zhì)：表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.(2)Gauss公式主要用來(lái)簡(jiǎn)化某些曲面積分的計(jì)算.(3)不是封閉曲面時(shí),添加輔助面后可用Gauss公式.(4)使用Gauss公式時(shí)應(yīng)考慮:P,Q,R是對(duì)什么變量求偏導(dǎo),是否有連續(xù)偏導(dǎo),是否是閉曲面的外側(cè).如果是閉曲面的內(nèi)側(cè),則在三重積分號(hào)前添“”號(hào)!Example1其中是第一卦限內(nèi)邊長(zhǎng)為a的正方體表面并取外側(cè).Solution.利用Gauss公式，有Example2Solution.利用Gauss公式,得利用柱面坐標(biāo)Example3Solution(1)記(S)所圍的區(qū)域?yàn)?利用Gauss公式,得利用球面坐標(biāo)(2)曲面(S)不封閉,故補(bǔ)充:利用Gauss公式,得利用球面坐標(biāo)Example4Solution(1)不含原點(diǎn),由Gauss公式,得(2)包含原點(diǎn),在內(nèi)作一球面1:1內(nèi)側(cè)二、沿閉曲面的曲面積分為零的條件定理則有結(jié)論:

三、通量與散度定義.！說(shuō)明:(1)利用上述概念,Gauss公式可寫(xiě)成在上述公式中,如果向量場(chǎng)v表示一不可壓縮流體的穩(wěn)定流速場(chǎng),則公式的右端可解釋為單位時(shí)間內(nèi)離開(kāi)閉區(qū)域的流體的總質(zhì)量.由于假定流體是不可壓縮的和穩(wěn)定的,因此流體在離開(kāi)的同時(shí),內(nèi)部必須有產(chǎn)生流體的”源”產(chǎn)生出同樣多的流體進(jìn)行補(bǔ)充.所以,公式的左端可解釋為單位時(shí)間內(nèi)在內(nèi)的”源”所產(chǎn)生的流體的總質(zhì)量.如果divv(M)>0,則表明點(diǎn)M是”源”,直觀(guān)上表示有流體經(jīng)由點(diǎn)M處的一個(gè)小洞流入?yún)^(qū)域,見(jiàn)圖,其值表示源的強(qiáng)度.如果divv(M)<0,則表明點(diǎn)M是”匯”,直觀(guān)上表示有流體經(jīng)由點(diǎn)M處的一個(gè)小洞流入?yún)^(qū)域,見(jiàn)圖,其值表示匯的強(qiáng)度.如果divv(M)=0,則表明點(diǎn)M即不是”源”也不是”匯”.(2)由三重積分的中值定理可得即散度=源頭強(qiáng)度(單位體積內(nèi)流體的流量).散度有如下性質(zhì):Example5Solution.四、綜合應(yīng)用Example6Solution.所給曲面如圖，取上側(cè)由Gauss公式有Example7Solution.如圖所示，取后側(cè)取左側(cè)取上側(cè)由Gauss公式有Example8其中a為正常數(shù),記Ω表面的外側(cè)為∑,Ω的體積為V,Proof.xyz§5.7Stokes’sformulaandthecurlofavector一、Stokes公式三、環(huán)流量與旋度二、空間曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件其中的側(cè)與的方向按右手法則確定.Stokes’公式.Stokes公式建立了沿空間曲面的曲面積分與沿的邊界曲線(xiàn)的曲線(xiàn)積分之間的關(guān)系.與Green公式,Gauss公式一起,是多元函數(shù)積分學(xué)的三個(gè)重要公式.

一、Stokes公式曲面的側(cè)與邊界曲線(xiàn)的方向作如下規(guī)定(右手法則):當(dāng)右手四指依的繞行方向時(shí)，大拇指所指的方向與上法向量的指向相同，這時(shí)稱(chēng)是有向曲面的正向邊界曲線(xiàn).定理1.其中的側(cè)與的方向按右手法則確定.Stokes’formula.Stokespublishedhistheoremin1854(withoutproof,foritappearedasaquestiononaCambridgeUniversityexamination).By1870itwasincommonuse.Proof思路:曲面積分二重積分曲線(xiàn)積分12(1)設(shè)平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)與∑的交點(diǎn)不多于一個(gè)，則設(shè)當(dāng)∑為z=z(x,y)上側(cè),在xoy面上投影區(qū)域?yàn)镈xy,Г在xoy面上的投影曲線(xiàn)為C時(shí),如圖所示.三式相加即得結(jié)論.(2)若平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)與∑的交點(diǎn)多于一個(gè)時(shí)，作輔助線(xiàn)可得結(jié)論成立.！說(shuō)明:(1)便于記憶,Stokes公式可用行列式表示為(2)利用兩類(lèi)曲面積分的關(guān)系,得Stokes公式的另一形式(3)Stokes公式的實(shí)質(zhì):表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線(xiàn)上的曲線(xiàn)積分之間的關(guān)系.Stokes公式Green公式特殊情形也稱(chēng)Stokes公式為空間的Green公式.(4)當(dāng)是xoy面的平面閉區(qū)域時(shí),利用Stokes公式,既可將曲線(xiàn)積分轉(zhuǎn)化為曲面積分來(lái)計(jì)算,也可將曲面積分轉(zhuǎn)化為曲線(xiàn)積分來(lái)計(jì)算.但Stokes公式主要還是提供了一種求空間曲線(xiàn)積分的有效方法.SolutionExample1利用Stokes公式計(jì)算較簡(jiǎn)便.取上側(cè)Example2Solution1(ByStokesformula)Solution2(基本計(jì)算法)Example3Solution1(化為定積分—5.2節(jié)中已講)

Solution(利用Stokes公式)

Example4Solution.如圖所示oxyz利用Stokes公式！說(shuō)明:(1)截面圓的半徑為(2)選用兩種類(lèi)型的曲面積分都可以，就本題來(lái)說(shuō)，積分號(hào)下出現(xiàn)常數(shù)，故選對(duì)面積的曲面積分為宜.(3)積分曲面∑是選平面還是選球面被平面割下的那一部分，從理論上講，都是可以的，以計(jì)算簡(jiǎn)單為宜.(4)也可化為參數(shù)方程直接計(jì)算.二、空間曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件定理2.

設(shè)空間開(kāi)區(qū)域G是單連通區(qū)域;由于曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)，所以可選擇特殊路徑得上述公式，如圖所示.oxyzExample5Proof三、環(huán)流量與旋度定義.旋度滿(mǎn)足以下規(guī)律:！說(shuō)明:Example6Solution.第5章練習(xí)冊(cè)題解Chapter6常微分方程§6.2-6.3一階微分方程及其解法§6.4可降階的高階微分方程§6.1微分方程的基本概念§6.5線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)§6.7微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用§6.6二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程與Euler方程對(duì)自然界的深刻研究是數(shù)學(xué)最富饒的源泉……傅立葉微分方程以方程的形式描述了未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)以及自變量之間的依賴(lài)關(guān)系.微分方程理論的基本問(wèn)題是研究滿(mǎn)足這個(gè)方程的函數(shù),即所謂的解.這一章主要研究幾類(lèi)特殊微分方程的解法.§6.1微分方程的基本概念一、引例二、微分方程的基本概念一、引例1.一曲線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)(1,2),且在該曲線(xiàn)上任一點(diǎn)M(x,y)處的切線(xiàn)的斜率為2x,求此曲線(xiàn)方程.Solution:0yxy=x2+C(1.1)式兩邊積分得:0yxy=x2+12.假設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn),以初始速度vo從高為H的高空自由下落,若不計(jì)空氣阻力,求質(zhì)點(diǎn)在下落過(guò)程中高度s與時(shí)間t的關(guān)系?.Solution:s(t)SHFig.5-1-2.(1.5)式積分二次的得:將條件(1.6)代入(1.7)與(1.8)得:c1=v0,c2=H.3.(Malthas人口模型)英國(guó)人Malthas(1766~1834)根據(jù)百余年的統(tǒng)計(jì)資料,于1798年提出了聞名于世的所謂Malthas人口模型:他假設(shè)人口的增長(zhǎng)率與該時(shí)刻的人口數(shù)成正比,求人口數(shù)與時(shí)間的關(guān)系?Solution:可見(jiàn):若r>0,人口將以等比級(jí)數(shù)指數(shù)增長(zhǎng),出現(xiàn)人口爆炸在所難免.二、微分方程的基本概念1.微分方程含有未知函數(shù)及其未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱(chēng)為微分方程.

注意:(1)在微分方程中，未知函數(shù)和自變量可以不出現(xiàn)但其導(dǎo)數(shù)必須有，否則不是微分方程.(2)微分方程中,若未知函數(shù)是一元函數(shù),稱(chēng)為常微分方程,若未知函數(shù)是二元或以上的函數(shù),稱(chēng)為偏微分方程.(2x+y)dx+xdy=0(1.11)以上都是常微分方程.是偏微分方程.微分方程舉例2.微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱(chēng)為微分方程的階.且稱(chēng)為一階、二階，…，n階微分方程.分別記為(2x+y)dx+xdy=0(1.11)(1.12)(1.14)為二階微分方程.(1.13)為三階微分方程(1.10),(1.11)為一階微分方程.3.微分方程的解使得微分方程成為恒等式的函數(shù).即

Example1Solution微分y得:故,y=c1sin2x+c2cos2x是該微分方程的解.由微分方程的解的定義4.微分方程的通解與特解：(1)通解:微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.(2)特解:運(yùn)用已知條件確定了通解中任意常數(shù)以后的解.注意:(1)通解中任意常數(shù)互相獨(dú)立，不能合并.應(yīng)為一個(gè)任意常數(shù).(2)通解、特解的幾何意義：5.初始條件確定通解中任意常數(shù)的已知條件稱(chēng)為定解條件,求微分方程滿(mǎn)足定解條件的解的問(wèn)題稱(chēng)為定解問(wèn)題.最常見(jiàn)的定解條件是初始條件.一般地:Example2Solution:所求特解為Example3.Solution.對(duì)所給方程求導(dǎo)得再求導(dǎo)得，一、可分離變量微分方程二、齊次微分方程§6.2-6.3一階微分方程及其解法三、一階線(xiàn)性微分方程四、Bernoulli方程五、全微分方程這一節(jié),主要討論幾種典型的一階微分方程的解法.其一般原則是,根據(jù)方程的類(lèi)型確定相應(yīng)的解法.由于不同類(lèi)型的微分方程采用不同的解法,因此最為重要的是認(rèn)清方程類(lèi)型并記住其解法(2.1)可分離變量微分方程齊次微分方程一階微分方程Bernoulli方程全微分方程主要類(lèi)型:一、可分離變量微分方程解法

兩邊積分分離變量得通解它是一階方程中最重要而且最簡(jiǎn)單的類(lèi)型.求解步驟:(1)分離變量;(2)等式兩邊積分Example1解微分方程

Solution:分離變量得:這個(gè)解可以化簡(jiǎn)!y=0

也是方程的解,故所求通解為:Example2Solution:分離變量得:兩邊積分得:從而通解為:此外,y=1也是原方程的解,但他們不包括在通解中.稱(chēng)其為奇異解(singularsolutions).Example3Solution:Example4Solution:稱(chēng)這樣的方程為積分方程.解法的基本思想為:通過(guò)求導(dǎo)化為微分方程后再求解.Example5Solution:有些方程雖然本身不是可分離變量方程,但根據(jù)方程的特點(diǎn),可通過(guò)適當(dāng)變換化為可分離變量方程,從而可以求解.Example6Solution:Example7Solution:二、齊次方程解法:

可分離變量的方程求解步驟:(1)作變量替換;(2)化為可分離變量方程Example8Solution:為齊次方程為可分離變量方程Example9Solution:為齊次方程故通解為:兩邊積分得:即,Example10Solution:原方程兩邊求導(dǎo)得代入并化簡(jiǎn)得為積分方程,注意:一般求的是特解.有些方程雖然本身不是齊次方程,但根據(jù)方程的特點(diǎn),可通過(guò)適當(dāng)變換化為齊次方程,從而可以求解.為齊次方程,否則為非齊次方程.解法:Example11Solution:代入原方程得方程變?yōu)槿?、一階線(xiàn)性微分方程上方程稱(chēng)為一階線(xiàn)性齊次方程上方程稱(chēng)為一階線(xiàn)性非齊次方程特點(diǎn)“一階”：未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為一階.“線(xiàn)性”：未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是一次.解法:

齊次方程的通解為(1)對(duì)于一階齊次線(xiàn)性方程(利用分離變量法)為可分離變量方程(2)對(duì)于一階非齊次線(xiàn)性方程方法1(常數(shù)變易法)先求出對(duì)應(yīng)齊次方程的通解然后變易常數(shù)，設(shè)非齊次方程的通解為求出C(x)便可得通解.積分得得一階線(xiàn)性非齊次微分方程的通解為:對(duì)應(yīng)齊次方程通解非齊次方程的一個(gè)特解常數(shù)變易公式

方法2(公式法):直接用下述常數(shù)變易公式

！說(shuō)明:線(xiàn)性非齊次微分方程的通解=對(duì)應(yīng)齊次方程的通解與其自身的一個(gè)特解之和.(2)類(lèi)似地，對(duì)于以x為函數(shù)的一階非齊次線(xiàn)性方程Example12Solution:用常數(shù)變易法Example13Solution用常數(shù)變易公式Example14Solution:關(guān)于x是線(xiàn)性的關(guān)于y不是一階線(xiàn)性微分方程四、Bernoulli方程為一階線(xiàn)性微分方程.

為非線(xiàn)性微分方程.解法:

代入上式該方程為一階線(xiàn)性微分方程.具體通解公式:Example15Solution:Bernoulli方程,n=1/2Example16Solution:Example17.Solution:Bernoulli方程,n=2Example18.Solution:有些方程雖然本身不是上述典型方程,但根據(jù)方程的特點(diǎn),可通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q、求積分因子等技巧化為典型方程,從而求解.Example19Solution:Solution:可分離變量方程五、全微分方程(Totaldifferentialequations)1.定義2.判別方法3.求解方法chapter5線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)條件

！說(shuō)明:Example20Solution:Method1(曲線(xiàn)積分法)Method2(不定積分法)Method3(湊全微分法)有些方程雖然本身不是全微分方程,但可通過(guò)方程兩邊乘一個(gè)積分因子的技巧化為全微分方程,從而求解----積分因子法.積分因子的求法(1)觀(guān)察法Example21利用觀(guān)察法求積分因子，并求解方程

Solution:將方程重新組合得為全微分方程Example22Solution:結(jié)論這里主要討論了幾種典型的一階微分方程的解法.其一般原則是,根據(jù)方程的類(lèi)型確定相應(yīng)的解法.如果所遇到的方程不是典型方程，則必須根據(jù)方程的特點(diǎn)，充分利用變量替換、求積分因子等技巧，把方程化為典型方程，從而求解.由于不同類(lèi)型的微分方程采用不同的解法,因此最為重要的是認(rèn)清方程類(lèi)型并記住其解法§6.4

可降階的高階微分方程

接下來(lái)我們討論高階微分方程的解法.高階微分方程的求解問(wèn)題實(shí)際上是一個(gè)比較困難的問(wèn)題.本節(jié)先討論幾種特殊類(lèi)型的高階微分方程的求解問(wèn)題,然后再介紹高階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)以及高階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程的解法.這里討論的幾種特殊類(lèi)型的高階微分方程,其求解思想相同,即利用變量替換將方程降階----稱(chēng)為可降階的高階微分方程,主要考慮二階微分方程.連續(xù)積分n次得含有n個(gè)互相獨(dú)立任意常數(shù)的通解.…即得通解注意:每積一次加一個(gè)任意常數(shù)解法:

Example1.Solution.(不顯含未知函數(shù)y的微分方程)方程變形為

解此一階微分方程可得即

兩邊積分得

p=(x,C1)解法:

方程降為一階即得通解Example2Solution:分離變量得:兩邊積分得:Solution.代入原方程解線(xiàn)性方程,得兩端積分,得原方程通解為Example3.(不顯含自變量的微分方程)解法:

令y'=p(y),則方程變?yōu)榻獯艘浑A微分方程得p=(y,C1)即分離變量并兩邊積分得方程降為一階Example4.

求解微分方程

2yy''+y'2=0Solution.分離變量得即令y'=p(y),則即分離變量得兩邊積分得或即Example5.Solution.Example6Solution:方程兩邊求導(dǎo)得:方程兩邊再求導(dǎo)得:由y(x),y‘(x)的表達(dá)式可得:

y(0)=–1,y'(0)=1因此問(wèn)題變?yōu)橄铝谐踔祮?wèn)題的解:

y''=2yy',y(0)=–1,y'(0)=1解此方程得:由y(0)=–1,y‘(0)=1,得C1=0分離變量且兩邊積分得:由y(0)=–1,得C2=1一、二階線(xiàn)性微分方程的概念二、函數(shù)的線(xiàn)性相關(guān)性§6.4線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)三、二階齊次線(xiàn)性方程解的結(jié)構(gòu)四、二階非齊次線(xiàn)性方程解的結(jié)構(gòu)五、n階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)六、二階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程的常數(shù)變易法一、二階線(xiàn)性微分方程的概念二階線(xiàn)性微分方程.稱(chēng)二階齊次線(xiàn)性微分方程.稱(chēng)二階非齊次線(xiàn)性微分方程.特點(diǎn)“二階”：未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)是二階.“線(xiàn)性”：未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是一次.二、函數(shù)的線(xiàn)性相關(guān)性否則稱(chēng)為線(xiàn)性無(wú)關(guān).顯然:Example1.Proof.Example2.Solution.三、二階齊次線(xiàn)性方程解的結(jié)構(gòu)Theorem1(解的疊加原理)問(wèn)題:Theorem2(齊次方程通解結(jié)構(gòu))例如四、二階非齊次線(xiàn)性方程解的結(jié)構(gòu)Theorem3(非齊次方程通解結(jié)構(gòu))

Forexample:Theorem4(疊加原理)

Theorem5Example3.Solution.五、n階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)六、二階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程的常數(shù)變易法Proof:

(1)令y2(x)=u(x)y1(x)是此方程的一個(gè)與y1(x)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解,則

y'2(x)=u'(x)y1(x)+u(x)y'1(x)

y''2(x)=u''(x)y1(x)+2u'

(x)y'1(x)+u(x)y''1(x)上兩式代入方程得:結(jié)論:解此線(xiàn)性方程得:關(guān)于u是可降階的二階微分方程

LiouvilleFormulaExample4.Solution:因y1(x)=x是此方程的一個(gè)特解,利用Liouville公式得:故方程的通解為:結(jié)論2.Proof:二階非齊次線(xiàn)性微分方程的常數(shù)變易公式y(tǒng)'(x)=C'1(x)y1(x)+C'2(x)y2(x)+C1(x)y'1(x)+C2(x)y'2(x)

y''(x)=C'1(x)y'1(x)+C1(x)y''1(x)+C'2(x)y'2(x)+C2(x)y''2(x)令C'1(x)y1(x)+C'2(x)y2(x)=0(3)將y(x),y'(

x),y''(x)代入方程得:則y'(x)=C1(x)y'1(x)+C2(x)y'2(x),故因一個(gè)方程,兩個(gè)未知函數(shù),故

二階非齊次線(xiàn)性微分方程的常數(shù)變易公式Example5Solution由Liouville公式得對(duì)應(yīng)齊次方程的另一個(gè)特解故對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為Y

(x)=C1ex+C2x.由常數(shù)變易公式得原方程的通解為§6.5二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程與Euler方程一、二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程二、n階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程三、二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程四、Enler方程一、二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程將其代入原方程,得特征方程特征根(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)根得兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解故齊次方程的通解為特征根為(2)有兩個(gè)相等的實(shí)根一特解為得齊次方程的通解為特征根為(3)有一對(duì)共軛復(fù)根重新組合得齊次方程的通解為特征根為得兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解Euler公式Example1.求解下列微分方程Solution.(1)特征方程為故所求通解為(2)特征方程為故所求通解為(3)特征方程為故所求通解為(4)特征方程為故所求通解為(5)特征方程為故所求通解為二、n階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程特征方程為特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)Example2.求解下列微分方程Solution.(1)特征方程為故所求通解為(2)特征方程為故所求通解為特征根為故所求通解為(3)特征方程為三、二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程設(shè)非齊次方程的特解為代入原方程綜上討論得試解形式Example3.Solution.Example4.Solution.關(guān)于f(x)是線(xiàn)性方程利用Euler公式是所求方程的特解形式.Example5.Solution.比較系數(shù)得由定理知定理Example6.Solution.Example7.Solution.對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為或作輔助方程代入上式所求非齊次方程的特解為原方程通解為（取虛部）Example8.Solution.對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為作輔助方程代入輔助方程四、Euler(歐拉)方程形如的方程稱(chēng)為Euler方程,其中P1,P2,…Pn是常數(shù).解法：歐拉方程