芝諾斷言阿基里斯與龜賽跑培訓(xùn)講學(xué)

芝諾斷言阿基里斯與龜賽跑

讓我們再看一看烏龜所走過的路程:設(shè)阿基里斯的速度是烏龜?shù)氖?，龜在前?00米。當(dāng)阿基里斯跑了100米時，龜已前進了10米；當(dāng)阿基里斯再追10米時，龜又前進了1米，阿再追1米，龜又進了0.1米所以阿基里斯追上烏龜所必須跑過的路程為右端顯然為一無窮遞縮等比數(shù)列的和，根據(jù)以前學(xué)過的公式及極限定義有所以，阿基里斯只要堅持不到112米的路程就可以追上烏龜！S=牛刀小試之熟練公式篇：如何把0.化成分數(shù)形式？0.=0.3+0.03+0.003+==分析：實戰(zhàn)演練篇：解：正方形的面積組成一個無窮遞縮等比數(shù)列，首項為a1=a2，由于相鄰的兩個正方形中小正方形與大正方形的邊長比為,所以面積比即公比q=，因此所有正方形的面積之和為S=BaDCA1—（1）

例1、在邊長為a的正方形ABCD內(nèi)依次作內(nèi)接正方形AiBiCiDi（ｉ=1，2，3）如圖1—（1）使內(nèi)接正方形的四個頂點恰為相鄰前一個正方形邊的中點，求所有正方形的面積之和；變式：如果使內(nèi)接正方形與相鄰前一正方形的一邊的夾角為，如圖1—（2）求所有正方形的面積之和。DCBAA1B1C1D11—（2）分析：正方形的面積仍然組成一個無窮遞縮等比數(shù)列，首項為a1=a2,先求相鄰的兩個正方形中小正方形與大正方形的邊長比——如圖令A(yù)1D1=x,則a所以邊長比為面積比即公比q為從而所有正方形的面積和為經(jīng)驗積累：與實際問題結(jié)合的無窮遞縮等比數(shù)列的求和問題，關(guān)鍵是求出首項及公比，求公比時，要特別注意相鄰兩個圖形之間的聯(lián)系。解：設(shè)第n次被剪去的半圓面積為an（n=1，2，3）,則a1=

a2=a3=它們組成一個無窮遞縮等比數(shù)列,故所有這些被剪掉部分的面積和為則例2.如圖所示，Ｐ是一塊半徑為１的半圓形紙板，在Ｐ的左下端剪去一個半徑為的半圓后得圖形P1，然后依次剪去更小半圓（其半徑為前一被剪掉半圓的半徑一半）得圖形記被剪剩下的紙板Pn的面積為Sn，求Sn。探索創(chuàng)新篇如圖，封閉圖形P表示拋物線弧y=x2（）與x軸及直線x=2圍成的圖形,如何求封閉圖形的面積?PAiBi分析：把區(qū)間[0,2]n等分,分別過分點Ai(ｉ=1，2，3???n-1)作x軸的垂線,交拋物線于Bi,如圖作n-1個矩形。我們可以先求：(1)求這n-1個矩形的面積和;再求(2)求小結(jié)：

1、理解無窮遞縮等比數(shù)列（公比|q|<1)，盡管項數(shù)無限，但它的和是一個確定的數(shù).2、與實際問題結(jié)合的無窮遞縮等比數(shù)列的求和問題，關(guān)鍵是求出首項及公比，求公比時，要特別注意相鄰兩個圖形之間的聯(lián)系。謝謝大家，請各位老師指正！一艘太空飛船飛往地球，第一次觀測時發(fā)現(xiàn)一個正三角形（邊長為1個單位）的軍事建筑物如圖（1），第二次觀測時如圖（2）發(fā)現(xiàn)它每邊中央1/3處還有一個正三角形，第三次觀測時如圖（3）還發(fā)現(xiàn)原先每一小邊的中央1/3處又有一向外突出的正三角形…把第1、2、3…n次觀測到的軍事建筑物的面積分別記為a1、a2、a3…an，求