第4章單相正弦交流電路

4.1正弦量的基本概念4.2正弦量的有效值和平?jīng)Q值4.3正弦量的相量表示法4.4電阻元件伏安關(guān)系的相量形式4.5電感元件伏安關(guān)系的相量形式4.6電容元件伏安關(guān)系的相量形式4.7基爾霍夫定律的相量形式4.8R、L、C串聯(lián)電路及復(fù)阻抗4.9R、L、C并聯(lián)電路及復(fù)阻抗4.10正弦交流電路中的分析計(jì)算4.11正弦交流電路中的功率4.12功率因素的提高4.13串聯(lián)諧振4.14并聯(lián)諧振第4章單相正弦交流電路正弦交流電：電壓、電流均隨時(shí)間按正弦函數(shù)規(guī)律變化1.最大值

正弦量瞬時(shí)值中的最大值,叫振幅值,也叫峰值。用大寫字母帶下標(biāo)“m”表示,如Um、Im等。4.1.1正弦量的三要素4.1正弦量的基本概念2.角頻率

角頻率ω表示正弦量在單位時(shí)間內(nèi)變化的弧度數(shù),即3.初相相位：ωt+θ

初相θ：

t=0時(shí)的相位

正弦量零值：負(fù)值向正值變化之間的零點(diǎn)

若零點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)左側(cè)，θ>0

若零點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)右側(cè)，θ<0

在選定的參考方向下,已知兩正弦量的解析式為u=200sin(1000t+200°)V,i=-5sin(314t+30°)A,試求兩個(gè)正弦量的三要素。解：1、u=200sin(1000t+200°)=200sin(1000t-160°)V所以電壓的振幅值Um=200V,角頻率ω=1000rad/s,初相θu=-160°。例12、i=－5sin(314t+30°)=5sin(314t+30°+180°)=5sin(314t-150°)A所以電流的振幅值Im=5A,角頻率ω=314rad/s,初相θi=-150°。

1、φ12=θ1-θ2>0且|φ12|≤π弧度U1達(dá)到振幅值后，U2需經(jīng)過一段時(shí)間才能到達(dá)，U1越前于U22、φ12=θ1-θ2<0且|φ12|≤π弧度U1滯后U23、φ12=θ1-θ2=0,稱這兩個(gè)正弦量同相4、φ12=θ1-θ2=π,稱這兩個(gè)正弦量反相5、φ12=θ1-θ2=,稱這兩個(gè)正弦量正交例2已知求u和i的初相及兩者間的相位關(guān)系。解：

所以電壓u的初相角為-125°,電流i的初相角為45°。表明電壓u滯后于電流i170°。分別寫出圖中各電流i1、

i2的相位差,并說明i1與i2的相位關(guān)系。1、由圖知θ1=0,θ2=90°,φ12=θ1-θ2=-90°,表明i1滯后于i290°。2、由圖知θ1=θ2,φ12=θ1-θ2=0,表明二者同相。3、由圖知θ1-θ2=π,表明二者反相。4、由圖知θ1=0,,表明i1越前于。

思考題1、已知?jiǎng)tIm=_____A，ω=_____rad/s，f=_____Hz，T=_____s，θi=_____弧度。

2、一個(gè)工頻正弦電壓的最大值為311V，在t=0時(shí)的值為－220V，試求它的解析式。

3、三個(gè)正弦量i1、i2和

i3的最大值分別為1A、2A和3A。若i3的初相角為60°，i1較i2超前30°，較i3滯后150°，試分別寫出這三個(gè)電流的解析式（設(shè)正弦量的角頻率為ω

）。4.2.1定義交流電的有效值是根據(jù)它的熱效應(yīng)確定的。交流電流i通過電阻R在一個(gè)周期內(nèi)所產(chǎn)生的熱量和直流電流I通過同一電阻R在相同時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生的熱量相等,則這個(gè)直流電流I的數(shù)值叫做交流電流i的有效值,用大寫字母表示,如I、

U等。1、測量交流電壓，交流電流的儀表所指示的數(shù)字，電氣設(shè)備銘牌上的額定值都指的有效值。

2、定義交流電流I通過電阻R在一個(gè)周期內(nèi)所產(chǎn)生的熱量和直流I通過同一電阻R在相同時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生的熱量相等，則這個(gè)直流電流I的數(shù)值叫做交流I的有效值4.2正弦量的有效值和平?jīng)Q值交流電通過同樣的電阻R，在一個(gè)周期內(nèi)所產(chǎn)生熱量：根據(jù)定義，這兩個(gè)電流所產(chǎn)生的熱量應(yīng)相等，即一個(gè)周期內(nèi)直流電通過電阻R所產(chǎn)生的熱量為：例1

電容器的耐壓值為250V,問能否用在220V的單相交流電源上？

解：因?yàn)?20V的單相交流電源為正弦電壓,其振幅值為311V,大于其耐壓值250V,電容可能被擊穿,所以不能接在220V的單相電源上。各種電器件和電氣設(shè)備的絕緣水平（耐壓值）,要按最大值考慮。一正弦電壓的初相為60°,有效值為100V,試求它的解析式。

解因?yàn)閁=100V,所以其最大值為則電壓的解析式為例2思考題

1、用電流表測得一正弦交流電路中的電流為10A，則其最大值Im=_____A。

2、一正弦電壓的初相為60°，在t=T/2時(shí)的值為－465.4V，試求它的有效值和解析式。4.3.1復(fù)數(shù)簡介1.復(fù)數(shù)表達(dá)式

4.3正弦量的相量表示法2.復(fù)數(shù)運(yùn)算法則復(fù)數(shù)的代數(shù)形式

(2)復(fù)數(shù)的三角形式(3)復(fù)數(shù)的指數(shù)形式(4)復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式解：A1的模（在第四象限）輻角

(在第二象限)則A2的極坐標(biāo)形式為A2的模例1A1=5-36.9°則A1的極坐標(biāo)形式為

輻角寫出復(fù)數(shù)A1=4-j3,A2=-3+j4的極坐標(biāo)形式。圖4.10正弦量的復(fù)數(shù)表示4.3.2正弦量的相量表示法例2

已知同頻率的正弦量的解析式分別為i=10sin(ωt+30°),,寫出電流和電壓的相量,并繪出相量圖。解：由解析式可得思考題寫出下列各正弦量對(duì)應(yīng)的向量，并繪出向量圖。2、已知如圖4.12所示，判斷下列表達(dá)式的正誤。1、電壓與電流的關(guān)系電阻元件上電流和電壓之間的瞬時(shí)關(guān)系2)電阻元件上電流和電壓之間的大小關(guān)系若4.4電阻元件伏安關(guān)系的相量形式3)電阻元件上電流和電壓之間的相位關(guān)系例1一電阻R=100Ω,R兩端的電壓求(1)通過電阻R的電流IR和iR。

(2)電阻R接受的功率PR。

(3)作的相量圖。所以

3、相量圖如圖所示。

解1、因?yàn)樗伎碱}

1、以知電阻R=10Ω，關(guān)聯(lián)參考方向下，通過電阻的電流i=1.41sin(t+60)A。求（1）uR及UR。（2）電阻接受的功率P。

2、一電阻R接到f=50Hz，的電源上，接受的功率為200W。求（1）電阻值R。（2）電流。（3）作電流、電壓向量圖。

1、瞬時(shí)關(guān)系XL稱為感抗,當(dāng)ω的單位為1/s，L的單位為H時(shí)，XC的單位為Ω。

4.5電感元件伏安關(guān)系的相量形式

電感元件上電壓較電流超前90°2.相位關(guān)系3、瞬時(shí)功率4、平均功率例1已知一個(gè)電感L=2H,接在的電源上,求XL。通過電感的電流iL。(3)電感上的無功功率QL。

（1）（2）（3）解：思考題1、判斷下列表達(dá)式的正（√）誤（×）：（選定電感元件的電流與電壓為關(guān)聯(lián)參考方向）（1）uL=ωLIL（）（2）UL=ωLIL（）（3）uL=ωLiL（）

（4）（）

2、已知L=0.1H。試求XL

和并繪出電壓、電流向量圖。1、瞬時(shí)關(guān)系2、大小關(guān)系4.6電容元件伏安關(guān)系的相量形式其中XC稱為容抗,當(dāng)ω的單位為1/s，C的單位為F時(shí)，XC的單位為Ω3、相位關(guān)系4、瞬時(shí)功率5、平均功率

已知一電容C=50μF,接到220V,50Hz的正弦交流電源上,求

(1)XC。

(2)電路中的電流IC和無功功率ＱＣ。

(3)電源頻率變?yōu)?000Hz時(shí)的容抗。例1解

(1）(2)(3)思考題1、一電容C=31.8F，外加電壓為在電壓和電流為關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，求XC、、iC、QC，并作出相量圖。2、一高壓電纜的電容C=10F，外加電壓為求在關(guān)聯(lián)參考方向下的電流及儲(chǔ)存的最大電場能量。4.7.1基爾霍夫定律的相量形式一、KCL定律

二、KVL定律

4.7基爾霍夫定律的相量形式

例1如圖4.27（a）、(b)所示電路中,已知電流表A1、A2、A3都是10A,求電路中電流表A的讀數(shù)。解：設(shè)端電壓(1)選定電流的參考方向如圖(a)所示,則(與電壓同相)（滯后于電壓90°）電流表A的讀數(shù)為。注意:這與直流電路是不同的,總電流并不是20A。(2)選定電流的參考方向如圖(b)所示,則電流表A的讀數(shù)為10A。由KVL所以電壓表V的讀數(shù)為

選定i、u1、u2

、u3的參考方向如圖(b)所示,則由KCL電流表A的讀數(shù)為50V。一、電壓與電流的關(guān)系4.8R、L、C串聯(lián)電路及復(fù)阻抗1.電感性電路:XL>XC

此時(shí)X>0,UL>UC。阻抗角φ>0。

2.電容性電路:XL<XC

此時(shí)X<0,UL<UC。阻抗角φ<0。

3.電阻性電路:XL=XC

此時(shí)X=0,UL=UC。阻抗角φ=0。二、電路的三種情況

有一RLC串聯(lián)電路,其中R=30Ω,L=382mH,C=39.8μF,外加電壓試求

(1)復(fù)阻抗Z,并確定電路的性質(zhì);(2);;

(3)繪出相量圖。例1所以此電路為電感性電路。解（1）(2)(3)相量圖如圖4.35所示。思考題如圖所示為RC串聯(lián)電路，已知R=10Ω，

求XC。一、RLC并聯(lián)電路的電壓、電流關(guān)系4.9R、L、C并聯(lián)電路及復(fù)導(dǎo)納Z的實(shí)部為R,稱為“電阻”,Z的虛部為X,稱為“電抗”,它們之間符合阻抗三角形。圖4.30阻抗三角形二、復(fù)導(dǎo)納復(fù)阻抗的倒數(shù)叫復(fù)導(dǎo)納,用大寫字母Y表示,即在國際單位制中,Y的單位是西門子,用“S”表示,簡稱“西”。由于Z=R+jX,所以

復(fù)導(dǎo)納Y的實(shí)部稱為電導(dǎo),用G表示;復(fù)導(dǎo)納的虛部稱為電納,用B表示,由上式可知復(fù)導(dǎo)納的極坐標(biāo)形式為|Y|為復(fù)導(dǎo)納的模,φ′為復(fù)導(dǎo)納的導(dǎo)納角,所以有已知加在電路上的端電壓為u=311sin(ωt+60°)V,通過電路中的電流為求|Z|、阻抗角φ和導(dǎo)納角φ′。解：電壓的相量為例1例2

圖4.45所示為RLC并聯(lián)電路,已知端電壓為并聯(lián)電路的復(fù)導(dǎo)納Y;(2)各支路的電流和總電流(3)繪出相量圖。

解選u、i、iR、iL、iC的參考方向如圖所示。

1、判斷下列敘述的正誤（1）電路中的電壓一定越前電流為φ角。

（2）同一電流中的阻抗角和導(dǎo)納角

相差180°。

（3）電路的導(dǎo)納角等于總電流的初相角與總電壓的初相角，即φ=θi-θu.

思考題一、網(wǎng)孔法4.10正弦交流電路的分析計(jì)算二、節(jié)點(diǎn)法

圖4.52所示電路中,已知解：選定各支路電流、、和網(wǎng)孔電流、的參考方向如圖所示,選定繞行方向和網(wǎng)孔電流的參考方向一致。列出網(wǎng)孔方程為例1

圖所示電路中已知數(shù)據(jù)同例4.30,試用節(jié)點(diǎn)法求各支路電流。

解以b點(diǎn)為參考節(jié)點(diǎn),各支路電流參考方向如圖所示例2一、電路基本元件的功率1、電阻元件的功率

2、電感元件的功率

4.11正弦交流電路的功率3、電容元件的功率二、二端網(wǎng)絡(luò)功率1、瞬時(shí)功率

我們把一個(gè)周期內(nèi)瞬時(shí)功率的平均值稱為“平均功率”,或稱為“有功功率”，用字母“P”表示,即瞬時(shí)功率波形圖2、有功功率3、無功功率4、視在功率功率三角形5、功率三角形已知40W的日光燈電路如圖4.56所示,在=220V的電壓之下,電流值為I=0.36A,求該日光燈的功率因數(shù)cosφ及所需的無功功率Q。例1解：由于是電感性電路,所以φ=60°電路中的無功功率為思考題下圖所示為兩阻抗串聯(lián)電路，已知Z１＝60+j30Ω，測得

U=220V,I=1A，電路的總功率為P=200W，求Z0功率因數(shù)低引起的不良后果如下：(1)電源設(shè)備的容量不能得到充分的利用。(2)增加了線路上的功率損耗和電壓降。1、提高功率因數(shù)的意義2、提高功率因數(shù)的方法4.12功率因數(shù)的提高并聯(lián)電容前后公式變化由圖可以看出又因代入上式可得即得解得如圖所示為一日光燈裝置等效電路,已知P=40W,U