第三章測(cè)量誤差基本知識(shí)

第三章 測(cè)量誤差的基本知識(shí)3.1測(cè)量誤差概述3.2精度估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)

3.3觀測(cè)值的算術(shù)平均值及其中誤差3.4誤差傳播3.5非等精度觀測(cè)值的最或然值及其中誤差3.1測(cè)量誤差概述一真值和真誤差觀測(cè)觀測(cè)值真值真誤差

真誤差＝觀測(cè)值－真值

△=l-X二測(cè)量誤差的來源3.1測(cè)量誤差概述觀測(cè)者：測(cè)量儀器：例如經(jīng)緯儀三軸之間關(guān)系。外界條件：溫度、風(fēng)力、大氣折光等三觀測(cè)的分類等精度觀測(cè)和非等精度觀測(cè)直接觀測(cè)和間接觀測(cè)獨(dú)立觀測(cè)和非獨(dú)立觀測(cè)多余觀測(cè)3.1測(cè)量誤差概述四測(cè)量誤差分類1、粗差由于觀測(cè)者使用儀器不正確或疏忽大意，如測(cè)錯(cuò)、讀錯(cuò)、記錯(cuò)、算錯(cuò)等，或因外界條件發(fā)生意外的顯著變化引起的差錯(cuò)。2、系統(tǒng)誤差測(cè)量條件中某些特定因素的系統(tǒng)性影響而產(chǎn)生的誤差。即在相同的觀測(cè)條件下，數(shù)值大小和正負(fù)號(hào)固定不變，或按一定規(guī)律變化。例如:鋼尺尺長誤差、鋼尺溫度誤差、水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差、經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差.3.1測(cè)量誤差概述3.1測(cè)量誤差概述在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一量進(jìn)行一系列觀測(cè)，誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值大小都不相同，從表面看沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為“偶然誤差”，是由許多無法精確估計(jì)的因素綜合造成(人的分辨能力,儀器的極限精度,天氣的無常變化,以及環(huán)境的干擾等)。偶然誤差不可避免，但在一定條件下的大量的偶然誤差，在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)具有統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律。偶然誤差舉例：儀器對(duì)中誤差,氣泡居中判斷、目標(biāo)瞄準(zhǔn)、度盤讀數(shù)等誤差,氣象變化等外界環(huán)境等影響。誤差區(qū)間dΔ"負(fù)誤差正誤差誤差絕對(duì)值KK/nKK/nKK/n0～3450.126460.128910.2543～6400.112410.115810.2266～9330.092330.092660.1849～12230.064210.059440.12312～15170.047160.045330.09215～18130.036130.036260.07318～2160.01750.014110.03121～2440.01120.00660.01724以上000000Σ1810．5051770．4953581.000五偶然誤差的特性+3+6+9+12+15+18+21+24X=Δ-24-21-18-15-12-9-6-30圖3-1直方圖一定觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限值；絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率大；絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的頻率相同；當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無限增大時(shí)，偶然誤差的理論平均值趨向于0。五偶然誤差的特性3.2精度估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)一、精度的含義所謂精度，是指誤差分布的集中與離散程度。如誤差分布集中（曲線a），則觀測(cè)精度高；若誤差分布離散（曲線b），則觀測(cè)精度就低。二、中誤差1.用真誤差計(jì)算中誤差的公式真誤差：標(biāo)準(zhǔn)差公式：中誤差公式為：3.2精度估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)

2.用改正數(shù)計(jì)算中誤差的公式當(dāng)觀測(cè)值的真值未知時(shí)：設(shè)某未知量的觀測(cè)值為：則該量的算術(shù)平均值為：

則該量的改正數(shù)：計(jì)算得：觀測(cè)值的中誤差按觀測(cè)值的改正值計(jì)算中誤差m1較小,誤差分布比較集中，觀測(cè)值精度較高；m2較大，誤差分布比較離散，觀測(cè)值精度較低。兩組觀測(cè)值誤差的正態(tài)分布曲線的比較：m1=

2.7m2=

3.6不同中誤差的正態(tài)分布曲線三、相對(duì)中誤差

對(duì)于評(píng)定精度來說，有時(shí)利用中誤差還不能反映測(cè)量的精度。例如丈量兩條直線，一條長100m，另一條長20m，它們的中誤差都是全10mm，那么，能不能說兩者測(cè)量精度相同呢？為此，利用中誤差與觀測(cè)值的比值，即mi／Li來評(píng)定精度，通常稱此比值為相對(duì)中誤差。相對(duì)中誤差都要求寫成分子為1的分式，即1／N。上例為即前者的精度比后者高。四、極限誤差由偶然誤差的第一個(gè)特性可知，在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限值。這個(gè)限值就是極限誤差。根據(jù)正態(tài)分布方程式可以表示誤差出現(xiàn)在微小區(qū)間dΔ的概率：由此可見，大于2倍中誤差出現(xiàn)的概率小于5％，大于3倍中誤差出現(xiàn)的概率小于0.3％。因此，測(cè)量工作中以2倍中誤差作為允許的誤差極限，稱為“允許誤差”或“限差”。四、極限誤差3.3觀測(cè)值的算術(shù)平均值及其中誤差一、算術(shù)平均值在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一量進(jìn)行n次觀測(cè)，觀測(cè)值為li

(i=1～n),取其算術(shù)平均值作為該量的最可靠的數(shù)值（故也稱“最或然值”）：算術(shù)平均值為何是該量最可靠的數(shù)值？可以用偶然誤差的特性來證明：證明算術(shù)平均值是最或然值按真值計(jì)算各個(gè)觀測(cè)值的真誤差：將上列等式相加，并除以n,得到：故算術(shù)平均值比較接近于真值，而成為最可靠的數(shù)值：二、觀測(cè)值的改正數(shù)最或然值與觀測(cè)值之差稱為“觀測(cè)值的改正值”(簡稱改正值)

v

:對(duì)［vv]求極小值：符合最小二乘法原理上列各式相加：說明：一組觀測(cè)值取算術(shù)平均值后，各個(gè)觀測(cè)值的改正值之和恒等于零，此可以作為計(jì)算的檢核。3.4誤差傳播在實(shí)際工作中，某些未知量不能直接觀測(cè)而求得，而是需要用觀測(cè)值間接求得，如三角形閉合差W=L1+L2+L3-180°，W是觀測(cè)值的函數(shù)，顯然由觀測(cè)值計(jì)算所得函數(shù)值的精確與否，主要取決于作為自變量的觀測(cè)值質(zhì)量的好壞。定義：闡述觀測(cè)值中誤差與觀測(cè)值函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律。

對(duì)于一般函數(shù)：式中xi為自變量(獨(dú)立觀測(cè)值)，設(shè)mi

為觀測(cè)值的中誤差，Z

為獨(dú)立變量的函數(shù)。則Z

的中誤差為：式中為各個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù)。一、誤差傳播定律

誤差傳播定的幾個(gè)主要公式：函數(shù)名稱函數(shù)式函數(shù)的中誤差倍數(shù)函數(shù)和差函數(shù)線性函數(shù)一般函數(shù)二、誤差傳播定律的應(yīng)用例1：在三角形ABC中，直接觀測(cè)了角A和角B，其中誤差分別為mA=±3″，mB=±4″，試求角C的中誤差mC

。解：①列函數(shù)式：C=180°-A-B應(yīng)用誤差傳播定律求mCABC?mc=±5″例2：量得比例尺為1∶500的地形圖上兩點(diǎn)間長度d

=134.7mm,圖上量距中誤差為

0.2mm,換算為實(shí)地距離D

和量距中誤差mD。函數(shù)式為D=500

d，實(shí)地距離和量距中誤差為：該距離及其中誤差可以寫成：例3DJ6級(jí)經(jīng)緯儀和6秒級(jí)全站儀一測(cè)回方向觀測(cè)值中誤差m

=±6″，水平角為兩個(gè)方向觀測(cè)值之差，故一測(cè)回水平角觀測(cè)的中誤差為：一測(cè)回水平角取盤左盤右角度的平均值，故半測(cè)回水平角值的中誤差為：盤左、盤右水平角值之差的中誤差為：以2倍中誤差作為極限誤差為±34″(一般規(guī)定40″)例4坐標(biāo)計(jì)算的精度兩點(diǎn)之間,如果已測(cè)定其水平距離D和方位角α,則可按下式計(jì)算其坐標(biāo)增量：對(duì)觀測(cè)值(自變量)D和α求偏導(dǎo)數(shù),得到函數(shù)式的全微分：按誤差傳播定律,將上式轉(zhuǎn)換為坐標(biāo)增量的中誤差表達(dá)式坐標(biāo)增量的中誤差:上式右邊根號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)為縱向誤差,是由距離誤差造成,第二項(xiàng)為橫向誤差,是由角度誤差造成。由縱橫坐標(biāo)增量誤差或縱橫向誤差，形成兩點(diǎn)間的相對(duì)點(diǎn)位誤差：3.5非等精度觀測(cè)值的最或然值及其中誤差一.權(quán)的概念同一量的一系列等精度觀測(cè)值可以取其算術(shù)平均值，而同一量的一系列不等精度觀測(cè)值則應(yīng)取其加權(quán)平均值?！皺?quán)”(P)─衡量輕重,觀測(cè)值的中誤差(m)小,則權(quán)大;反之則權(quán)小。定義權(quán)與中誤差的平方成反比：C為任意常數(shù)。等于1的權(quán)稱為“單位權(quán)”,權(quán)等于1的中誤差稱為“單位權(quán)中誤差”(

mo

)。因此,權(quán)和中誤差的另一種表達(dá)式為：為了使“權(quán)”的概念簡單明了，取一次觀測(cè)、一個(gè)測(cè)回或單位長度（例如1km）等的測(cè)量誤差作為單位權(quán)中誤差。例如，以一測(cè)回的水平角觀測(cè)中誤差mβ為測(cè)角的單位權(quán)中誤差,則n

測(cè)回取其算術(shù)平均值的角度中誤差及其權(quán)為:又例如水準(zhǔn)測(cè)量以一公里的高程測(cè)量中誤差mo作為單位權(quán)中誤差，則L(km)高差測(cè)量中誤差及其權(quán)為：由此可知，水準(zhǔn)測(cè)量的權(quán)是路線長度的倒數(shù)。對(duì)某一未知量進(jìn)行一組不等精度觀測(cè)：L1

,L2

,

…Ln

，其中誤差為m1

,m2

,…mn

，觀測(cè)值的權(quán)為p1

,p2

,…pn

。按照誤差理論，此時(shí)應(yīng)按下式取其加權(quán)平均值，作為該量的最或然值：二、加權(quán)平均值的中誤差加權(quán)平均值的計(jì)算式可以寫成線性函數(shù)的形式：按誤差傳播定律，得到：加權(quán)平均值中誤差及其權(quán)：三.單位權(quán)中誤差的計(jì)算根據(jù)：得到：取以上各式總和，并處以n，得到:以真誤差Δi

代替中誤差mi

,得到觀測(cè)值的真值已知時(shí)，用真誤差計(jì)算單位權(quán)中誤差的公式：在真值未知時(shí)，用觀測(cè)值的加權(quán)平均值x

代替真值X;用觀測(cè)值的改正值vi

代替真誤差Δi