第五章場和電子軌跡求解

電子光學(xué)1.

緒論2.

第一章幾何光學(xué)基礎(chǔ)

3.

第二章電子在均勻場中的運(yùn)動4.

第三章電子光學(xué)系統(tǒng)中的場5.

第四章

電子軌跡方程6.

第五章場和電子軌跡的求解7.

第六章強(qiáng)流電子光學(xué)教師：劉迎輝電子科技大學(xué)物電學(xué)院第五章場和電子軌跡求解方法本章組織5.1有限差分法求解軸對稱電場5.2有限元法求解軸對稱電場5.3電荷密度法求解軸對稱電場5.4電子軌跡的數(shù)值求解方法5.5有限差分法求解軸對稱磁場5.6測量磁場的實(shí)驗(yàn)方法。電子光學(xué)系統(tǒng)定義：將一個(gè)給定的場（包括電場、磁場）看做一個(gè)電子光學(xué)系統(tǒng)。研究方法：根據(jù)電子在場中的運(yùn)動，確定電子光學(xué)系統(tǒng)的光學(xué)性質(zhì)和光學(xué)參量。（常用的物理方法：引力場、太陽系、黑洞） 確定電場和磁場的具體分布成為研究、了解和設(shè)計(jì)電子光學(xué)系統(tǒng)必不可少的重要步驟。

靜電場和恒定電場的邊值問題（物理），可歸結(jié)為在給定邊界條件下求解拉普拉斯方程或泊松方程（數(shù)學(xué)）。

常用的方法直接法間接法解析法數(shù)值法有限差分法（FDM）有限元方法（FEM）有限積分法（FIM）實(shí)驗(yàn)法場的求解方法邊界積分法（BIM）場的求解方法1、實(shí)驗(yàn)法——求解精度低，如電解槽法、電阻網(wǎng)法——電解槽法利用導(dǎo)電介質(zhì)中的電流線模擬真空中的電力線達(dá)到求解場分布2、解析法——求解精度最高，適用簡單、規(guī)則邊界結(jié)構(gòu)——利用邊界條件直接求解偏微分方程3、數(shù)值法——求解精度較高，計(jì)算量大，適用范圍廣——如有限差分法，將偏微分方程利用差分近似，通過數(shù)值計(jì)算方法求得一系列關(guān)于場的離散值。電真空器件的研制涉及到電子光學(xué)、磁學(xué)、陰極電子學(xué)、微波電子學(xué)、電磁場理論、材料學(xué)、機(jī)械與熱分析諸多學(xué)科，工藝過程十分復(fù)雜。計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展與應(yīng)用，極大的促進(jìn)了微波管技術(shù)的進(jìn)步。它對提高微波管的設(shè)計(jì)能力，縮短開發(fā)周期，減少整管硬件實(shí)驗(yàn)，改善微波管性能，固化已有經(jīng)驗(yàn)上發(fā)揮著越來越重要的作用，計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)CAD技術(shù)已經(jīng)成為微波管設(shè)計(jì)的重要手段國際部分常用大型電磁分析軟件CAD技術(shù)已經(jīng)成為研制新型微波管不可或缺的手段，其總體目標(biāo)是：通過模擬，一次裝管成功。微波電子學(xué)數(shù)值模擬的實(shí)質(zhì)是在給定邊界條件和初始條件下，對Maxwell方程組和Lorentz方程進(jìn)行求解。求解Maxwell方程組的關(guān)鍵問題是在含有任意實(shí)際結(jié)構(gòu)形狀、任意媒質(zhì)分布的二維和三維空間內(nèi)尋找方程的數(shù)值計(jì)算方法。該算法適用于各種電磁現(xiàn)象，解決這些問題的方法是直接求解電磁場或電磁通量密度，或直接引入矢量位、標(biāo)量位等中間函數(shù)，通過有限差分法（FDM）、有限元法（FEM）、有限積分法（FIM）、邊界積分法（BIM）或其他數(shù)值計(jì)算方法得到各類電磁問題的數(shù)值近似解。對于帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動，采用粒子模擬法（PIC）能獲得精確的結(jié)果。由于粒子模擬技術(shù)不再采用近似等效方法，而是根據(jù)微波器件的邊界條件和初始條件直接求解有源Maxwell方程組和Lorentz運(yùn)動方程，因此可以獲得精確的計(jì)算結(jié)果。目前粒子模擬技術(shù)用于注波互作用計(jì)算多出現(xiàn)在大型通用電磁分析軟件中，如MAGIC,MAFIA，ARGUS等。如前表所示，目前國際上已有多個(gè)大型電磁分析軟件。除表中列出的大型電磁分析軟件外，具有權(quán)威性的大信號模擬程序還有美國的MAGY模擬軟件和針對回旋速調(diào)管計(jì)算的專業(yè)軟件MAGYKL，但目前這兩款程序都對我國禁運(yùn)。國際部分常用大型電磁分析軟件數(shù)值法的比較1）、有限差分法——從電磁場方程的微分方程出發(fā)，在整個(gè)邊界包含的面積（二維）或體積（三維）區(qū)域里劃分網(wǎng)格，用差分方程代替微分方程，形成一個(gè)線性方程組。2）、有限元法——從電磁場的變分原理出發(fā)，在整個(gè)區(qū)域內(nèi)剖分，形成一個(gè)線性方程組。 兩種方法特點(diǎn)（局限）: 1、都需要在一個(gè)較為規(guī)則的封閉邊界內(nèi)進(jìn)行網(wǎng)格劃分. 2、無論感興趣的區(qū)域大小，都必須在整個(gè)區(qū)域內(nèi)計(jì)算電磁場.3）、邊界元法——從庫侖定律出發(fā)，只對邊界進(jìn)行離散，最適于求解開放性邊界問題，而且可以降低方程維數(shù)，使問題簡單化。5.1有限差分法求解軸對稱電場真空中，不考慮空間電荷，給定封閉邊界上電位值，在封閉邊界包圍的區(qū)域內(nèi)，電位分布滿足：（5-1）邊值問題存在邊界面的電磁場問題（物理）。根據(jù)給定邊界條件對邊值問題分類：

第一類邊值問題－狄里赫利(Dirichlet)問題：已知電位函數(shù)整個(gè)邊界面上的分布值。

第二類邊值問題－紐曼（Neumann

）問題：已知函數(shù)在整個(gè)邊界面上的法向?qū)?shù)。第三類邊值問題（混合邊值問題）：已知一部分邊界面上的函數(shù)值，和另一部分邊界面上函數(shù)的法向?qū)?shù)。邊值問題5.1有限差分法求解軸對稱電場⑴采用一定的網(wǎng)格分割方式離散化場域。⑵進(jìn)行差分離散化處理偏微分方程。用離散的、只含有限個(gè)未知數(shù)的差分方程組，來近似代替場域內(nèi)具有連續(xù)變量的偏微分方程以及邊界上的邊界條件（也包括場域內(nèi)不同媒質(zhì)分界面上的銜接條件）。⑶結(jié)合選定的代數(shù)方程組的數(shù)值算法，編制計(jì)算機(jī)程序，求解由上面所得對應(yīng)于待求邊值問題的差分方程組，所得解答即為該邊值問題的數(shù)值解。主要求解步驟:有限差分法求解場一、邊界內(nèi)部處理——五點(diǎn)差分二、軸上電位處理三、邊界處理

注意（關(guān)鍵點(diǎn)）：離散方法：數(shù)值計(jì)算中主要的離散方法是泰勒級數(shù)法，即用差分來代替微商，忽略高次項(xiàng)，把微分方程離散成差分方程。一般采用正方形或矩形網(wǎng)格，網(wǎng)格形狀規(guī)則簡單，宜于求解邊界比較規(guī)則的電磁場問題。5.1.1軸對稱電場一、邊界內(nèi)部不等距五點(diǎn)差分：U1U0U2U3U4Z0R0h1h2h3h4邊界內(nèi)五點(diǎn)差分法U0為待求電位，設(shè)其余的電位為已知值。將U1、U2、U3、U4，各點(diǎn)按泰勒級數(shù)展開并精確到二階偏微分。五點(diǎn)差分法解得：五點(diǎn)差分法將以上方程組代入柱坐標(biāo)系下的拉普拉斯方程得五點(diǎn)差分方程對稱軸上軸上電位處r=0得對稱軸上的拉普拉斯方程為：且，U3=U4，h3=h4，得對稱軸上的拉普拉斯差分方程的系數(shù)為：h2h3h4U1U0U2U3U4Z0R0h1等距五點(diǎn)差分采用等間距的五點(diǎn)差分法，其差分方程的系數(shù)為：在軸上的差分系數(shù)：得內(nèi)部和軸上差分拉普拉斯方程：邊界處理邊界封閉問題：拉普拉斯方程和泊松方程必須在封閉邊界內(nèi)求解，否則可能得到不穩(wěn)定的解，而在實(shí)際電子光學(xué)系統(tǒng)中，有些邊界是敞開的，這些開放式邊界處的函數(shù)值是不知道。因此必須人為封閉這些邊界。常用的方法有：線性插值和對數(shù)插值線性插值對數(shù)插值差分方程求解如圖電極系統(tǒng)，求網(wǎng)格m*(n-1)個(gè)節(jié)點(diǎn)的電位電極系統(tǒng)差分方程求解迭代法：通過上述的處理，對于計(jì)算區(qū)域內(nèi)的每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，都可以建立一個(gè)差分方程。如果計(jì)算區(qū)域內(nèi)有N個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，就形成了N個(gè)線性方程構(gòu)成的大型方程組。解這樣的方程組采用直接法求解是比較困難的，又由于線性方程組的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)大型的稀疏陣，因而可以采用迭代法進(jìn)行電位求解。目前，解偏微分方程的迭代法常用如下的四種方法：一：同步迭代法；二：逐次超松弛迭代法（SOR）；三：Chebyshev加速超松弛迭代法（SCA）；四：交替方向隱式迭代法（ADI）;其中，第一種方法需要先求出所有網(wǎng)格點(diǎn)上的k次近似值，代入差分方程再求出所有網(wǎng)格點(diǎn)上的第k+1次近似值，因而計(jì)算所需的計(jì)算機(jī)的內(nèi)存量大，同時(shí)收斂速度慢。對于最后一種迭代法而言，它比超松弛迭代法收斂快，也更有效，但是其程序編制較為困難且有時(shí)不收斂，因而，在編制程序時(shí)可以采用了Chebyshev加速超松弛迭代法。同步迭代法首先任意給定節(jié)點(diǎn)（i，j）上電位的第0次數(shù)值作為解的零次近似，然后依次將近似值帶入方程右端，獲得點(diǎn)（i，j）上第一次近似解，重復(fù)這樣的過程，當(dāng)計(jì)算次數(shù)趨向于無窮的時(shí)候，就可以無限靠近所考察的微分方程的真實(shí)解。2000個(gè)節(jié)點(diǎn)，誤差為1*e-5，迭代次數(shù)2000~3000次異步迭代法也稱為賽德爾迭代法，是在計(jì)算第k+1次近似值時(shí)，位于此點(diǎn)左方和下方的點(diǎn)一般已經(jīng)計(jì)算出了第k+1次值，則將此近似值代入到方程式右端，這種計(jì)算方式可以比同步迭代法節(jié)省一半的迭代次數(shù)。超松弛迭代法其中，w是一個(gè)介于1和2之間的常數(shù)，稱為超松弛因子，當(dāng)w取1的時(shí)候就是異步迭代方式，但是要注意到w的選取也是非常重要的工作，一般會有各種近似公式或者經(jīng)驗(yàn)公式選取w可以將迭代次數(shù)2000~3000次減小到100次左右誤差分析差分法的誤差主要有兩種：（1）截?cái)嗾`差，由差分方程代替微分方程所引起，兩者的解之間的差別稱為截?cái)嗾`差。截?cái)嗾`差來源于采用五點(diǎn)差分方程代替微分方程時(shí)舍去的h的三次方以上的項(xiàng)。顯然，截?cái)嗾`差和網(wǎng)格間距大小以及電極結(jié)構(gòu)本身有關(guān)。（2）迭代誤差，決定于迭代計(jì)算中誤差控制值，必須選擇適當(dāng)?shù)墓?jié)點(diǎn)及合適的迭代誤差控制值，以保證工程精度的要求。計(jì)算框圖5.1.2平面對稱電場平面對稱系統(tǒng)：如靜電偏轉(zhuǎn)板，不考慮邊緣場效應(yīng)，將y方向看做無限長。選擇xoz面為對稱面，則場滿足微分方程：及相應(yīng)的邊界條件。5.1.2平面對稱電場通過劃分網(wǎng)格，利用泰勒級數(shù)，在區(qū)域內(nèi)任選一個(gè)節(jié)點(diǎn)O和它相鄰的四個(gè)節(jié)點(diǎn)，截去高于三階的項(xiàng)，獲得五點(diǎn)差分格式：5.1.3尖端發(fā)射場導(dǎo)體尖端的電荷特別密集，尖端附近的電場特別強(qiáng)，就會發(fā)生尖端放電

5.1.3尖端發(fā)射場場致發(fā)射陰極，在研究這種陰極區(qū)的電場分布時(shí)，一般將鎢尖看成是球狀或者球錐狀，采用球坐標(biāo)。由于系統(tǒng)軸對稱，在方向角φ方向的場是均勻的，故而：尖端場區(qū)網(wǎng)格劃分利用泰勒級數(shù)將相鄰四個(gè)節(jié)點(diǎn)的電位在O點(diǎn)展開，去掉高次項(xiàng)，得到方程的五點(diǎn)差分格式：尖端場區(qū)軸上當(dāng)中心節(jié)點(diǎn)在z軸上時(shí)：并且，該球?qū)ΨQ場相對于z軸而言，也可以看成軸對稱場，利用近軸場區(qū)特點(diǎn)亦可得出上式。則z軸上方程：軸上差分格式簡化：注意一般電子光學(xué)系統(tǒng)里，會有電子注通過，特別是在強(qiáng)流電子光學(xué)系統(tǒng)里，必須考慮電子注的影響，此時(shí)必須求解泊松方程。5.2有限元法基本思想：在有限元方法中，場域被分割成許多很小的子區(qū)域，通常稱為“單元”或“有限元”。對所有子區(qū)域進(jìn)行獨(dú)立的處理和運(yùn)算，便于對一個(gè)整體問題進(jìn)行局部化處理。通過選取恰當(dāng)?shù)膰L試函數(shù)，使每個(gè)單元的計(jì)算都變得非常簡單，經(jīng)過對每個(gè)單元重復(fù)而簡單的計(jì)算，再將其結(jié)果總和起來，便可以得到用整體矩陣表達(dá)的整個(gè)區(qū)域的解。這一整體矩陣又常常是稀疏矩陣，可以更進(jìn)一步簡化和加快求解過程。由于計(jì)算機(jī)非常適合于重復(fù)性的計(jì)算和處理過程，所以整體矩陣的形成過程很容易使用計(jì)算機(jī)來實(shí)現(xiàn)。5.2.1變分原理軸對稱靜電場的能量積分：積分取極值的條件是變分為0拉氏方程經(jīng)過變換：在鄰域內(nèi)電位變分取任何值的情況下，使得能量變分為0的條件是：5.2.1變分原理5.2.2有限元剖分應(yīng)用變分原理，構(gòu)造函數(shù)U（r，z）以使得能量積分取極值。但是在整個(gè)域內(nèi)構(gòu)造電位函數(shù)太過困難，因而采用剖分方法。步驟：區(qū)域劃分構(gòu)造函數(shù)單元分析（能量積分）一個(gè)靜電場例子，講二維有限元：二維有限元法同軸傳輸線，兩個(gè)同芯長方形導(dǎo)體之間充滿線性介質(zhì)，兩導(dǎo)體間加有直流電壓10v，導(dǎo)體間貯有電荷，傳輸線的長度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其截面，可認(rèn)為電場在傳輸線各個(gè)截面上的分布都相同，只需求解電場在某個(gè)截面的分布。場域剖分二維有限元法原則上講，二維有限元可以取為各種多邊形，如三角形、四邊形等等。與其它多邊形相比，三角形具有以下兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：(1)描述二維三角形的多項(xiàng)式有3項(xiàng)，該數(shù)目與三角形的頂點(diǎn)數(shù)以及節(jié)點(diǎn)上未知量的個(gè)數(shù)恰好相同，因而使得多項(xiàng)式形函數(shù)的利用率最高。(2)三角形形狀簡單，能十分便利地表示復(fù)雜的幾何結(jié)構(gòu)。把兩個(gè)要求解的量聯(lián)系起來，有限元中令待定系數(shù)就是節(jié)點(diǎn)電位，當(dāng)然嘗試函數(shù)要重新確定任意單元內(nèi)節(jié)點(diǎn)嘗試函數(shù)的選?。憾S有限元法任意三角形單元由節(jié)點(diǎn)i，j，k構(gòu)成，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的嘗試函數(shù)（三角形平面）選擇的規(guī)律一樣.注意：不能將一個(gè)三角形的頂點(diǎn)取為另一個(gè)相鄰三角形邊的內(nèi)點(diǎn) 每個(gè)單元和節(jié)點(diǎn)都要按逆時(shí)針編號。節(jié)點(diǎn)嘗試函數(shù)的表達(dá)式：3.二維有限元法代入平面方程確定平面參數(shù)：（用矩陣形式作規(guī)范化求解）應(yīng)用克萊姆法則求節(jié)點(diǎn)嘗試函數(shù)（平面方程）表達(dá)式：二維有限元法S為三角形單元面積，為使其為正，ijk要逆時(shí)針編號。平面方程系數(shù)有嚴(yán)格的規(guī)律，且只與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)二元有限元令：得我們構(gòu)造了電位函數(shù)，它由節(jié)點(diǎn)參數(shù)（坐標(biāo)，電位值）來描述，這個(gè)步驟稱為構(gòu)造函數(shù)二維有限元法在小單元內(nèi)進(jìn)行能量積分：令則：單元數(shù)共有N個(gè)，則總的能量積分：單元分析時(shí)，我們僅用了m單元的節(jié)點(diǎn)i，j，k，但是m單元是和四周有聯(lián)系的，每個(gè)單元和相鄰單元有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)共有，而且單元節(jié)點(diǎn)編號是按順序排列。對于每個(gè)節(jié)點(diǎn)，他們的b，c系數(shù)不同，但是電位積是相同的，因此當(dāng)某節(jié)點(diǎn)與其它幾個(gè)單元相聯(lián)系，則有幾組系數(shù)相加作為它的系數(shù)。故：注意此時(shí)，我們將能量積分用多元函數(shù)來描述，能量積分取極值的問題轉(zhuǎn)化成多元函數(shù)取極值的問題。多元函數(shù)取極值即是對多元函數(shù)微分等于0：同軸矩形電場分布在大力推廣CAD技術(shù)的今天，從自行車到航天飛機(jī)，所有的設(shè)計(jì)制造都離不開有限元分析計(jì)算，F(xiàn)EM在工程設(shè)計(jì)和分析中將得到越來越廣泛的重視。國際上早在20世紀(jì)50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力開發(fā)具有強(qiáng)大功能的有限元分析程序。其中最為著名的是由美國國家宇航局（NASA）在1965年委托美國計(jì)算科學(xué)公司和貝爾航空系統(tǒng)公司開發(fā)的NASTRAN有限元分析系統(tǒng)。該系統(tǒng)發(fā)展至今已有幾十個(gè)版本，是目前世界上規(guī)模最大、功能最強(qiáng)的有限元分析系統(tǒng)。目前，世界各地的研究機(jī)構(gòu)和大學(xué)發(fā)展了一批規(guī)模較小但使用靈活、價(jià)格較低的專用或通用有限元分析軟件:主要有德國的ASKA、英國的PAFEC、法國的SYSTUS、美國的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的產(chǎn)品。隨著數(shù)值分析方法的逐步完善，尤其是計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度的飛速發(fā)展，整個(gè)計(jì)算系統(tǒng)用于求解運(yùn)算的時(shí)間越來越少，而數(shù)據(jù)準(zhǔn)備和運(yùn)算結(jié)果的表現(xiàn)問題卻日益突出。在現(xiàn)在的工程工作站上，求解一個(gè)包含10萬個(gè)方程的有限元模型只需要用幾十分鐘。工程師在分析計(jì)算一個(gè)工程問題時(shí)有80%以上的精力都花在數(shù)據(jù)準(zhǔn)備和結(jié)果分析上。增強(qiáng)可視化的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理功能增強(qiáng)可視化的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理功能目前幾乎所有的商業(yè)化有限元程序系統(tǒng)都有功能很強(qiáng)的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理模塊。使用戶能以可視圖形方式直觀快速地進(jìn)行網(wǎng)格自動劃分，生成有限元分析所需數(shù)據(jù)，并按要求將大量的計(jì)算結(jié)果整理成變形圖、等值分布云圖，便于極值搜索和所需數(shù)據(jù)的列表輸出。與CAD軟件的無縫集成當(dāng)今有限元分析系統(tǒng)的另一個(gè)特點(diǎn)是與通用CAD軟件的集成使用，即：在用CAD軟件完成部件和零件的造型設(shè)計(jì)后，自動生成有限元網(wǎng)格并進(jìn)行計(jì)算，如果分析的結(jié)果不符合設(shè)計(jì)要求則重新進(jìn)行造型和計(jì)算，直到滿意為止，從而極大地提高了設(shè)計(jì)水平和效率。當(dāng)今所有的商業(yè)化有限元系統(tǒng)商都開發(fā)了和著名的CAD軟件（例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等）的接口。

復(fù)合材料加工傳熱媒質(zhì)問題不同加熱燈絲位置情況下陰極的溫度分布云圖微觀尺度材料設(shè)計(jì)

有限元方法半導(dǎo)體芯片溫度場的數(shù)值仿真宏觀尺度材料設(shè)計(jì)

有限元方法水輪機(jī)葉輪的受力分析模擬5.3電荷密度法求解軸對稱電場許多物理問題可通過不同的途徑歸結(jié)為不同的數(shù)學(xué)模型（大多數(shù)沒有解析解）：a·偏微分方程的邊值問題－－有限差分法b·區(qū)域上的變分問題－－有限元法C·邊界上的積分問題－－邊界元法方法對比有限差分與有限元法異同點(diǎn)：原理上：有限差分法——從電磁場的微分方程出發(fā)，在整個(gè)區(qū)域里劃分網(wǎng)格，用差分方程代替微分方程，形成線性方程組有限元法——從電磁場的變分原理出發(fā)，在整個(gè)區(qū)域里剖分，形成線性方程組共同的弱點(diǎn)：1。都需要一個(gè)較為規(guī)則的封閉邊界。2。不論感興趣的區(qū)域大小，都必須在整個(gè)區(qū)域內(nèi)求解電場分布。邊界元法——從庫侖定律出發(fā)，只對邊界進(jìn)行離散，最適于求解開放性邊界問題，而且可以降低方程維數(shù)，使問題簡單化。邊界元法boundaryelementmethod——又稱邊界積分方程-邊界元法。邊界元法是一種繼有限元法之后發(fā)展起來的新型數(shù)值方法,與有限元法在連續(xù)體域內(nèi)劃分單元的基本思想不同,邊界元法僅在定義域的邊界上劃分單元,用滿足控制函數(shù)去逼近邊界條件.它以定義在邊界上的邊界積分方程為控制方程，通過對邊界分元插值離散，化為代數(shù)方程組求解。它與基于偏微分方程的區(qū)域解法相比，由于降低了問題的維數(shù)，而顯著降低了自由度數(shù)，邊界的離散也比區(qū)域的離散方便得多，可用較簡單的單元準(zhǔn)確地模擬邊界形狀，最終得到階數(shù)較低的線性代數(shù)方程組。邊界元法又由于它利用微分算子的解析的基本解作為邊界積分方程的核函數(shù)，而具有解析與數(shù)值相結(jié)合的特點(diǎn)，通常具有較高的精度。特別是對于邊界變量變化梯度較大的問題，如應(yīng)力集中問題，或邊界變量出現(xiàn)奇異性的裂紋問題，邊界元法被公認(rèn)為比有限元法更加精確高效。由于邊界元法所利用的微分算子基本解能自動滿足無限遠(yuǎn)處的條件，因而邊界元法特別便于處理無限域以及半無限域問題。邊界元法邊界元法的基礎(chǔ)：邊界元法是基于控制微分方程的基本解來建立相應(yīng)的邊界積分方程，再結(jié)合邊界的剖分而得到的離散算式。Jaswon和Symm于1963年用間接邊界元法求解了位勢問題；Rizzo于1967年用直接邊界元法求解了二維線彈性問題；Cruse于1969年將此法推廣到三維彈性力學(xué)問題。1978年，Brebbia用加權(quán)余量法推導(dǎo)出了邊界積分方程，他指出加權(quán)余量法是最普遍的數(shù)值方法，如果以Kelvin解作為加權(quán)函數(shù)，從加權(quán)余量法中導(dǎo)出的將是邊界積分方程——邊界元法，從而初步形成了邊界元法的理論體系，標(biāo)志著邊界元法進(jìn)入系統(tǒng)性研究時(shí)期。邊界元法的發(fā)展經(jīng)過近40年的研究和發(fā)展，邊界元法已經(jīng)成為一種精確高效的工程數(shù)值分析方法。在數(shù)學(xué)方面，不僅在一定程度上克服了由于積分奇異性造成的困難，同時(shí)又對收斂性、誤差分析以及各種不同的邊界元法形式進(jìn)行了統(tǒng)一的數(shù)學(xué)分析，為邊界元法的可行性和可靠性提供了理論基礎(chǔ)。在方法與應(yīng)用方面，現(xiàn)在，邊界元法已應(yīng)用到工程和科學(xué)的很多領(lǐng)域，對線性問題，邊界元法的應(yīng)用已經(jīng)規(guī)范化；對非線性問題，其方法亦趨于成熟。在軟件應(yīng)用方面，邊界元法應(yīng)用軟件已由原來的解決單一問題的計(jì)算程序向具有前后處理功能、可以解決多種問題的邊界元法程序包發(fā)展。我國約在1978年開始進(jìn)行邊界元法的研究，目前，我國的學(xué)者在求解各種問題的邊界元法的研究方面做了很多的工作，并且發(fā)展了相應(yīng)的計(jì)算軟件，有些已經(jīng)應(yīng)用于工程實(shí)際問題，并收到了良好的效果。邊界元法是將區(qū)域內(nèi)微分方程通過積分定理變?yōu)檫吔缟系姆e分方程再將積分方程在邊界上離散為代數(shù)方程。電荷密度法從庫侖定律出發(fā)，最適于求解開發(fā)性邊界問題對邊界進(jìn)行離散化處理電荷密度法也是一種邊界元法點(diǎn)電荷可以簡化為點(diǎn)電荷的條件:Q1rddr<<觀察點(diǎn)P庫侖定律庫侖定律：在真空中，兩個(gè)靜止點(diǎn)電荷之間相互作用力與這兩個(gè)點(diǎn)電荷的電荷量q1和q2的乘積成正比，而與這兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的距離r12（或r21）的平方成反比，作用力的方向沿著這兩個(gè)點(diǎn)電荷的連線，同電相斥，異電相吸。1785年，法國庫侖（C.A.Coulomb)適用于點(diǎn)電荷疊加性q0q1q2r02F2r01F1F庫侖將無窮遠(yuǎn)處看作電位零點(diǎn)，則點(diǎn)電荷在空間中任意一點(diǎn)產(chǎn)生的電位為：庫侖定律不僅對點(diǎn)電荷適用，對線電荷，面電荷和體電荷同樣適用。在空間中，同時(shí)存在N個(gè)充滿電荷的源，則他們在空中任意一點(diǎn)P產(chǎn)生的電位滿足電位疊加定理：在有限的區(qū)域內(nèi)，忽略自由電荷，則區(qū)域內(nèi)的電場是由加以一定電壓的電極形成的。整個(gè)區(qū)域的電位分布由電極表面電荷產(chǎn)生——如何求電極上的表面電荷分布？充分利用電極電位已知的條件，將場點(diǎn)設(shè)在電極面上，則每個(gè)電極的電位都滿足：本式表明:電極表面的電荷分布確定了各個(gè)電極的電位，還確定了區(qū)域內(nèi)的電位分布；同時(shí)也表示為了使電極表面有這樣的電荷分布，必須使各個(gè)電極的電位為給定值。電荷密度法步驟：利用上式左端電位已知，采用數(shù)值法求解方程，求出電極表面電荷密度分布;然后將電荷密度代入上式，求解空間任意一點(diǎn)的電位，則給定區(qū)域內(nèi)的電位分布就唯一確定了5.3.2積分方程離散化上式的關(guān)鍵就是確定空間電荷分布，解析法難以完成任務(wù)，而采用數(shù)值法，就必須進(jìn)行離散化處理。將電荷存在的區(qū)域分成小區(qū)域，當(dāng)區(qū)域足夠小的時(shí)候，電荷密度分布可以解析解，如最簡單的認(rèn)為：電荷分布是均勻的。Ci,p與小區(qū)域形狀有關(guān)，與P點(diǎn)到小區(qū)域距離有關(guān)，但與小區(qū)域的電位和電荷無關(guān)簡寫為：全部電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的電位：將電極表面分成許多小區(qū)域，如N塊，就可以寫成N個(gè)線性方程：5.3.3用電荷密度法求軸對稱電場真空中2個(gè)加上電壓的半徑不等，長短不一，忽略厚度的圓筒電極組成的軸對稱電極系統(tǒng)，求其內(nèi)的電場分布。第i個(gè)環(huán)帶在P點(diǎn)產(chǎn)生的電位為：上式中Di是第i個(gè)環(huán)帶的半寬度。令故：其中，Cij表示第i個(gè)環(huán)上所有的面電荷在第j個(gè)環(huán)上P點(diǎn)處產(chǎn)生電位的系數(shù)。是第一類橢圓積分當(dāng)i從1到N表示N個(gè)小環(huán)在第j個(gè)環(huán)上P點(diǎn)處產(chǎn)生的電位；當(dāng)j從1到N表示第i個(gè)環(huán)上所有的面電荷在每個(gè)環(huán)上產(chǎn)生的電位；合起來就形成了一個(gè)方程組或一個(gè)矩陣。實(shí)質(zhì)上只要求得Cij系數(shù),就可以求出我們所要的電位分布了。檢視上面的公式，需要注意：當(dāng)半徑相等，角度相同，Z向坐標(biāo)也一致的時(shí)候（場點(diǎn)和源點(diǎn)重合），出現(xiàn)被積函數(shù)分母為零，積分值為無窮大的現(xiàn)象。而實(shí)際上，該點(diǎn)的電位和表面電荷都是有限的。這樣的點(diǎn)稱為奇異點(diǎn)。邊界元法的主要缺點(diǎn)邊界元法的主要缺點(diǎn)是它的應(yīng)用范圍以存在相應(yīng)微分算子的基本解為前提，對于非均勻介質(zhì)等問題難以應(yīng)用，故其適用范圍遠(yuǎn)不如有限元法廣泛，而且通常由它建立的求解代數(shù)方程組的系數(shù)陣是非對稱滿陣，對解題規(guī)模產(chǎn)生較大限制。對一般的非線性問題，由于在方程中會出現(xiàn)域內(nèi)積分項(xiàng)，從而部分抵消了邊界元法只要離散邊界的優(yōu)點(diǎn)。即：邊界元法與有限元相比具有單元的未知數(shù)少,數(shù)據(jù)準(zhǔn)備簡單等優(yōu)點(diǎn).但用邊界元法解非線性問題時(shí),遇到同非線性項(xiàng)相對應(yīng)的區(qū)域積分,這種積分在奇異點(diǎn)附近有強(qiáng)烈的奇異性,使求解遇到困難。5.3.4奇異點(diǎn)的處理第一類：被積函數(shù)出現(xiàn)斷點(diǎn)（eg:當(dāng)場點(diǎn)和源點(diǎn)重合，被積函數(shù)值無窮大，而物理上說，該點(diǎn)的電位和電荷密度應(yīng)當(dāng)是有限的。）處理方法：1.將被積函數(shù)區(qū)域分成奇異區(qū)和非奇異區(qū)，通過改變積分參數(shù)消除奇異性；2.將被積函數(shù)作數(shù)學(xué)處理，使它變成可積函數(shù)；3.采用高斯型積分公式。另一類：奇異點(diǎn)出現(xiàn)在電極的兩端，即曲率半徑小的地方。由電磁學(xué)可知：在一個(gè)處于電場中的導(dǎo)體，內(nèi)部的E＝0，電位是常數(shù)，電荷分布在其表面，曲率半徑大的地方電荷分布少，曲率半徑小的地方，電荷分布多------極端表現(xiàn)：尖端放電5.3.4奇異點(diǎn)的處理在上節(jié)分析中，將電極表面分成一個(gè)個(gè)小區(qū)域，每個(gè)小區(qū)域的電荷密度被認(rèn)為是均勻的，可以看作是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)值往往是這個(gè)區(qū)域電荷密度的平均值，這樣的假設(shè)和許多實(shí)際情況很不相符。為了更精確求出電極上電荷分布情況，對這一類奇異點(diǎn)也作特殊考慮。例如：采用不均勻劃分子區(qū)域法——對數(shù)形式劃分，或者采用二進(jìn)制形式劃分，設(shè)每個(gè)子區(qū)域上的電荷密度是常數(shù)，電