第四章熱傳導(dǎo)問題的數(shù)值解法

上節(jié)回顧穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱導(dǎo)熱微分方程邊界條件初始條件能量守恒方程傅里葉導(dǎo)熱定律典型一維穩(wěn)態(tài)肋片導(dǎo)熱有內(nèi)熱源的導(dǎo)熱集中參數(shù)法Bi數(shù)Fo數(shù)的影響數(shù)值解法1引述對于工程中遇到的許多幾何形狀或邊界條件復(fù)雜的導(dǎo)熱問題，由于數(shù)學(xué)上的困難目前仍為得到其分析解。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展，對物理問題進(jìn)行離散求解的數(shù)值方法發(fā)展十分迅速，在求解復(fù)雜導(dǎo)熱問題上得到了廣泛應(yīng)用。2引言數(shù)值方法主要有：有限差分法、有限元法及邊界元法。有限差分法具有物理概念明確、實(shí)施方法簡便的特點(diǎn)。本章以理論介紹為主，為今后數(shù)值計(jì)算（也稱數(shù)值模擬）做理論準(zhǔn)備。3第四章熱傳導(dǎo)問題的數(shù)值解法主講人：郭智群4目錄導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解5導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想4.1.1數(shù)值求解的基本思想基本思想：把原來在時間、空間坐標(biāo)系中連續(xù)的物理量的場，如導(dǎo)熱物體的溫度場，用有限個離散點(diǎn)上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，來獲得離散點(diǎn)上被求物理量的值。這些被求物理量的值的集合稱為該物理量的數(shù)值解。6導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想4.1.2導(dǎo)熱問題數(shù)值求解基本步驟建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程組是否收斂？解的分析否是改進(jìn)初場7導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想以下圖所示的二維矩形域內(nèi)的穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱問題為例，對數(shù)值求解過程的六個步驟進(jìn)一步說明。h2,tfWHh3,tft0h1,tfxy8導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程組是否收斂？解的分析否是改進(jìn)初場9導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想（1）建立控制方程及定解條件

控制方程：描寫物理問題的微分方程。導(dǎo)熱問題的控制方程即為導(dǎo)熱微分方程。二維、穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱問題的導(dǎo)熱微分方程為：請同學(xué)寫出邊界條件10導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想四個邊界條件：h2,tfWHh3,tft0h1,tfxy11導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程組是否收斂？解的分析否是改進(jìn)初場12導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想（2）區(qū)域離散化MNm,nnm△y△x需要掌握的概念：1、節(jié)點(diǎn)（結(jié)點(diǎn)，node）2、步長（steplength）3、均分網(wǎng)絡(luò)4、元體（element）或控制容積（controlvolume）13導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想（2）區(qū)域離散化MNm,nnm△y△x1、節(jié)點(diǎn)（結(jié)點(diǎn)）：用一系列與坐標(biāo)平行的網(wǎng)格線把求解區(qū)域劃分成許多子區(qū)域，以網(wǎng)格線的交點(diǎn)作為需要確定溫度值的空間位置，稱為節(jié)點(diǎn)（也稱為結(jié)點(diǎn)，node）節(jié)點(diǎn)位置以該點(diǎn)在兩個方向上的標(biāo)號m、n來表示。節(jié)點(diǎn)14導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想（2）區(qū)域離散化MNm,nnm△y△x2、步長（steplength）：相鄰兩節(jié)點(diǎn)之間的距離稱為步長。記為△x、△y。步長15導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想（2）區(qū)域離散化MNm,nnm△y△x3、均分網(wǎng)格x方向和y方向是各自均分的，稱為均分網(wǎng)格。根據(jù)實(shí)際問題的需要，網(wǎng)格的劃分常常是不均勻的。16導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想（2）區(qū)域離散化MNm,nnm△y△x4、元體（element）或控制容積（controlvolume）每個節(jié)點(diǎn)按都可以看做是以它為中心的一個小區(qū)域的代表，它由相鄰兩節(jié)點(diǎn)連線的中垂線構(gòu)成。這樣節(jié)點(diǎn)所代表的小區(qū)域稱為元體或控制容積。17導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程組是否收斂？解的分析否是改進(jìn)初場18導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想設(shè)立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程節(jié)點(diǎn)上物理量的代數(shù)方程成為離散方程（discretizationequation）。當(dāng)△x=△y時，有MNm,nnm△y△x上式即為△x=△y時位于計(jì)算區(qū)域內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)（內(nèi)節(jié)點(diǎn)）的代數(shù)方程。19導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程組是否收斂？解的分析否是改進(jìn)初場20導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想設(shè)立迭代初場直接解法迭代解法代數(shù)方程組的解法有限差分法預(yù)設(shè)初場（initialfield）21導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程組是否收斂？解的分析否是改進(jìn)初場22導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想求解代數(shù)方程組左圖中，除m=1的左邊界上各節(jié)點(diǎn)的溫度為已知外，其余（M-1）×N個節(jié)點(diǎn)都需要建立離散方程，一共（M-1）×N個代數(shù)方程，構(gòu)成了一個封閉的代數(shù)方程組。MNm,nnm△y△xh2,tfWHh3,tft0h1,tfxy23導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程組是否收斂解的分析否是改進(jìn)初場24導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想討論是否收斂是否收斂的判斷是指判斷本次迭代計(jì)算所得之解與上一次迭代計(jì)算所得之解的偏差時候小于允許值。代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中各項(xiàng)的系數(shù)在整個求解過程中不再變化，稱為線性問題。如果物性為溫度系數(shù)，在迭代過程中系數(shù)要相應(yīng)地不斷更新。這種問題稱為非線性問題。25導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程組是否收斂？解的分析否是改進(jìn)初場26導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想解的分析獲得溫度分布有時并不是工程問題的最終目的，溫度場進(jìn)一步用于計(jì)算熱流量或計(jì)算設(shè)備、零部件的熱應(yīng)力及熱形變等。因此，對于數(shù)值計(jì)算所獲得的溫度場及所需的一些其他物理量應(yīng)作仔細(xì)分析，以獲得定性或定量上的一些新的結(jié)論。27導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想學(xué)習(xí)數(shù)值求解需要注意：1、對于規(guī)則區(qū)域，網(wǎng)格的劃分與節(jié)點(diǎn)的生成容易進(jìn)行，不規(guī)則區(qū)域較難生成；2、對數(shù)值解的分析是解決實(shí)際問題過程中的重要一步，但不涉及數(shù)值解本身的技術(shù)；3、本章重點(diǎn)放在如何建立離散方程組，以及如何求解離散方程組上。28目錄導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解29內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法m-1,nm,n+1m,n-1m+1,n△x△y取均勻網(wǎng)格內(nèi)節(jié)點(diǎn)（m,n）及其鄰點(diǎn)放大如上圖所示。建立內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的方法有：泰勒級數(shù)展開法熱平衡法30以節(jié)點(diǎn)（m,n）處的二階偏導(dǎo)為例，用泰勒法來導(dǎo)出其差分表達(dá)式。對節(jié)點(diǎn)（m+1,n）（m-1,n）分別寫出函數(shù)t對（m,n）點(diǎn)泰勒級數(shù)展開式：內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法4.2.1泰勒級數(shù)展開法31內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法兩式相加得：將上式改寫成二階偏導(dǎo)的表示式有：式中：O(△x2)稱為截?cái)嗾`差，表示未寫出的級數(shù)余項(xiàng)中△x的最低階數(shù)為2。32內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法在進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時，希望得出用三個鄰節(jié)點(diǎn)上的值表示的二階導(dǎo)數(shù)的近似的代數(shù)表達(dá)式，為此略去其截?cái)嗾`差O(△x2)，可得：這就是二階導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式，稱為中心差分（centraldiffererce）。同理可得：33內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法將內(nèi)節(jié)點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式代入控制方程得：（4-2）當(dāng)△x=△y時，有34內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法在均分網(wǎng)格中，一、二階導(dǎo)數(shù)的常見的離散（差分）表達(dá)式i點(diǎn)的中心差分i點(diǎn)的中心差分i點(diǎn)的向后差分i點(diǎn)的向前差分備注截?cái)嗾`差差分表達(dá)式導(dǎo)數(shù)35內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法當(dāng)給出一個導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式時必須明確是對哪一點(diǎn)建立的；上面的分析對柱坐標(biāo)與極坐標(biāo)都適用；對于非均分網(wǎng)格，其中心差分表達(dá)式較復(fù)雜，適用于熱平衡法。36內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法4.2.2熱平衡法采用熱平衡法時，對每個節(jié)點(diǎn)所代表的元體用傅里葉導(dǎo)熱定律直接寫出其能量守恒表達(dá)式。此時把節(jié)點(diǎn)看成是元體的代表。節(jié)點(diǎn)（m-1,n）通過界面w傳導(dǎo)到節(jié)點(diǎn)（m,n）的熱流量可表示為：m-1,nm,n+1m,n-1m+1,n△x△ynwes37將傅里葉定律表達(dá)式代入可得：內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法同理可得其他三個相鄰節(jié)點(diǎn)傳導(dǎo)給節(jié)點(diǎn)（m,n）的熱量。對于元體（m,n）的能量守恒方程為：m-1,nm,n+1m,n-1m+1,n△x△ynwes38內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法在熱平衡法中直接將能量守恒定律和傅里葉定律應(yīng)用于節(jié)點(diǎn)所代表的控制容積。物理概念清晰，推導(dǎo)過程簡潔。對于非均分網(wǎng)格上述結(jié)果同樣適用。只需將節(jié)點(diǎn)間間距的不同反映到離散方程中。參考例題4-239目錄導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解40邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解4.3.1邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立對于含有第二、三類邊界條件的導(dǎo)熱問題，由內(nèi)節(jié)點(diǎn)的離散方程組成的方程組不封閉，因?yàn)槠渲泻形粗倪吔鐪囟?，因而必須對位于這類邊界上的節(jié)點(diǎn)補(bǔ)充相應(yīng)的代數(shù)方程，才能使方程組封閉。假設(shè)物體具有內(nèi)熱源，用熱平衡法導(dǎo)出三類典型邊界節(jié)點(diǎn)的離散方程。 1）位于平直邊界上的節(jié)點(diǎn)； 2）外部角點(diǎn)； 3）內(nèi)部角點(diǎn)；41邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解1）位于平直邊界上的節(jié)點(diǎn):陰影區(qū)域所示，設(shè)邊界上有向該元體傳遞的熱流密度qw,于是該元體的能量守恒定律可表示為：qwnmm-1,n42邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解當(dāng)△x=△y時，上式簡化為：qwnmm-1,n43邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解2）位于外部角點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn):

陰影區(qū)域所示，節(jié)點(diǎn)（m,n）僅代表1/4以△x、△y為邊長的元體，設(shè)邊界上有向該元體傳遞的熱流密度qw,于是該元體的能量守恒定律可表示為：qwnmm,n△y△xm,n-1m,n△y△xm,n-1m+1,n44邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解qwnmm,n△y△xm,n-1m,n△y△xm,n-1m+1,n當(dāng)△x=△y時，上式簡化為：45邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解qwnmm,n-1m,n△y△xm,n+1m-1,nm+1,n3）位于內(nèi)部角點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn):

陰影區(qū)域所示，節(jié)點(diǎn)（m,n）僅代表3/4個元體，設(shè)邊界上有向該元體傳遞的熱流密度qw,于是該元體的能量守恒定律可表示為：46邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解討論關(guān)于邊界熱流密度的三種情況：

1）絕熱邊界：qw=0

2）qw值不為0：以給定熱流密度值代入，需注意傳入計(jì)算區(qū)域的熱量為正。

3）對流邊界：將熱流密度表達(dá)式qw=h(tf-tm,n)代入離散方程即可。47邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解4.3.3求解代數(shù)方程的迭代法1、高斯-賽德爾迭代法以三元方程為例說明實(shí)施步驟其中ai,j(i=1,2,3,j=1,2,3)及bi(i=1,2,3)是已知的非零系數(shù)及常數(shù)。48邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解(1)將三元方程組改寫成關(guān)于t1、