第二章自然數(shù)

第二章自然數(shù)上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其它都是人為的德國數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克1823-1891用集合語言解釋自然數(shù)關(guān)于自然數(shù)1和0以及自然數(shù)的運(yùn)算自然數(shù)的位置計(jì)數(shù)制自然數(shù)的佩亞諾公理系統(tǒng)關(guān)于自然數(shù)教學(xué)的若干問題自然數(shù)的屬性基數(shù)屬性序數(shù)屬性第一節(jié)用集合的語言解釋自然數(shù)1。1自然數(shù)的產(chǎn)生對(duì)物件的計(jì)量逐漸形成倉頡造字一、二、三印度創(chuàng)造1，2，3....自然數(shù)的形成及其運(yùn)算,建立在集合的基礎(chǔ)上集合是不能邏輯定義的原始概念一些對(duì)象的匯合是一個(gè)集合每個(gè)集合的集合仍是一個(gè)集合存在空集集合的基數(shù)和序數(shù)兩個(gè)集合能夠一一對(duì)應(yīng)為彼此等價(jià)基數(shù)表示集合中元素的個(gè)數(shù)凡是能夠彼此一一對(duì)應(yīng)的有限集,構(gòu)成一個(gè)等價(jià)類序數(shù)表示某個(gè)有序集合中每個(gè)元素所占的位置,是記順序的數(shù)20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一馮·諾伊曼(1906-1957)用集合的語言,特別是集合的集合和存在空集這兩個(gè)約定,簡(jiǎn)約、清晰、準(zhǔn)確地構(gòu)建了自然數(shù)體系依次構(gòu)造地產(chǎn)生的自然數(shù)，稱為序數(shù)第二節(jié)關(guān)于自然數(shù)1和0以及自然數(shù)的運(yùn)算“1”是一個(gè)特殊的自然數(shù)1是自然數(shù)的單位，任何一個(gè)非零自然數(shù)第二節(jié)關(guān)于自然數(shù)1和0以及自然數(shù)的運(yùn)算2.1“1”是一個(gè)特殊的自然數(shù)1是自然數(shù)的單位1是乘法的單位元為除法奠定了基礎(chǔ)2.20是作為自然數(shù)歷史上了認(rèn)識(shí)自然數(shù)是從1開始.0大約在公元6-7世紀(jì)由印度首先使用1993年〖中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)〗量和單位,規(guī)定自然數(shù)包括0自然數(shù)包含零的理由自然數(shù)包含零的理由“”“”2.3關(guān)于自然數(shù)的加法,減法,乘法,除法的定義加法自然數(shù)相加a,b相加得到a＋b是指a,b所代表的集合A,B是互不相交的，而a＋b則是并集A∪B的基數(shù)2.減法如果b≧a,即b所代表的集合B，與a所代表的集合A，有關(guān)系A(chǔ)B即A是B的子集B和A的差集3.乘法集合A,B的笛卡爾積自然數(shù)a乘以b得到a×b是指a所代表A，與b所打賭集合B所成的笛卡爾積A×B的基數(shù)4.除法從集合論的角度,0與空集的基數(shù)相對(duì)應(yīng)自然數(shù)系包括0,加法就有了單位.豐富了代數(shù)結(jié)構(gòu)0對(duì)于數(shù)的擴(kuò)展十分重要有利于對(duì)自然數(shù)的理解除法是指一個(gè)有限集合C,能夠恰好分解成為a個(gè)具有相同基數(shù)b的子集B，那么a=c÷b第二節(jié)自然數(shù)的位置計(jì)數(shù)制3.1十進(jìn)位制從商代陶文和甲骨文中能夠用一、二、三、四、五、六七、八、九、十、百、千、萬等十三個(gè)數(shù)字，記十萬以內(nèi)的自然數(shù)古巴比倫六十進(jìn)位歐洲各國的命名制度不是四位一級(jí)，面是三位一級(jí)大數(shù)的三種讀法中國讀法數(shù)字讀法英語讀法3.2算盤與位置進(jìn)制珠算是中華文化的瑰寶，曾為人類文明作出過巨大貢獻(xiàn)，至今仍有強(qiáng)大的生命力。數(shù)學(xué)課程提倡“數(shù)學(xué)文化”，珠算文化是一種重要中華文化算盤是極好的學(xué)具，打算盤是學(xué)生十分喜歡的數(shù)學(xué)活動(dòng)。新課程強(qiáng)調(diào)動(dòng)手操作，珠算是很好的工具。珠算是學(xué)習(xí)位置記數(shù)法的最佳模型。學(xué)習(xí)珠算也是在學(xué)習(xí)算法無論從傳統(tǒng)文化的意義上，還是現(xiàn)代教育理念上，以及教學(xué)實(shí)踐上，珠算都有益于小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)算盤的認(rèn)識(shí)算盤的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及其數(shù)學(xué)教育的五升十進(jìn)位制是算盤的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)上珠五，算珠不超過五。心理學(xué)實(shí)驗(yàn)“黑豆實(shí)驗(yàn)”用豆子來測(cè)試人目測(cè)數(shù)群的能力算盤直觀形象，能體現(xiàn)算理用算盤來認(rèn)數(shù)、計(jì)算，形數(shù)結(jié)合，珠動(dòng)數(shù)出。合乎兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理將算盤學(xué)會(huì)了，小學(xué)數(shù)學(xué)的一切教學(xué)目標(biāo)都可實(shí)現(xiàn)算盤是整體和辯證的統(tǒng)一算盤從整體上看，它還是一個(gè)矛盾對(duì)立的統(tǒng)一體。體現(xiàn)古代文化思考方式的整體性和辯證性河圖洛書珠算口決四.珠算算法的符號(hào)化、程序化、算法化是機(jī)械化思想的典型代表珠算算法的程序化、機(jī)械化、算法化是機(jī)械化思想的典型代表世界科學(xué)史上，天文和數(shù)學(xué)，以我們中國的最為古老。“希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派從一個(gè)算子的積累運(yùn)動(dòng)演化出了無窮的宇宙，算盤則是把無窮的宇宙濃縮成袖里乾坤”珠心算---珠算文化的重大創(chuàng)新發(fā)展在腦子里打算盤，用腦子的虛擬的算盤進(jìn)行遲延，具有開發(fā)兒童智力潛能的功能和作用記憶力提高；思維能力強(qiáng)；獨(dú)創(chuàng)性好；閱讀速度快；智商提高；對(duì)弱智兒童有智障補(bǔ)償?shù)淖饔玫谒墓?jié)自然數(shù)的佩亞諾公理系統(tǒng)1889年，意大利數(shù)學(xué)家佩亞諾（G.Peano,1858-1932）建立了自然數(shù)的公理系統(tǒng)：使用兩個(gè)形式符號(hào)：1和‘，它們要滿足以下5條公理1是自然數(shù)；每一個(gè)自然數(shù)a都有一個(gè)后繼a';1不是任何自然數(shù)的后繼；若a'=b'則a=b；（歸納公理）自然數(shù)的某個(gè)集合若含1，而且如果含有一個(gè)自然數(shù)a就一定含a‘，那么這個(gè)集合含全體自然數(shù)滿足這5條公理的對(duì)象稱為自然數(shù)，記為N關(guān)于自然數(shù)（peano）公理的諾干認(rèn)識(shí)凡能滿足上述對(duì)象就是自然數(shù)自然數(shù)是一個(gè)無限集，“潛無限”“實(shí)無限”，公理（5）是第一數(shù)學(xué)歸納法的邏輯依據(jù)定理P（n）是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果P（n）滿足下面的條件：P（1）成立；假設(shè)從P（k）成立可以推出P（k＋1）也成立，那么命題P（n）對(duì)所有的自然數(shù)n都成立4.2自然數(shù)公理系統(tǒng)中的加法定義1（自然數(shù)的加法）在數(shù)集N中,滿足下列條件的二元運(yùn)算“＋”,叫做加法對(duì)任意的a,有a＋1=a‘對(duì)任意的a,b∈N＋，都有a＋b∈N＋，且a＋b’=（a＋b）‘，其中a＋b叫做a與b的和，a，b分別