第二節(jié)事件的概率

第二節(jié)概率1

研究隨機(jī)現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗(yàn)中會出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是事件的概率.概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量

事件發(fā)生的可能性越大，概率就越大！2現(xiàn)在，讓我們看一個的故事從死亡線上生還

本來，這位犯臣抽到“生”還是“死”是一個隨機(jī)事件，且抽到“生”和“死”的可能性各占一半，也就是各有1/2概率.但由于國王一伙“機(jī)關(guān)算盡”，通過偷換試驗(yàn)條件，想把這種概率只有1/2的“抽到死簽”的隨機(jī)事件，變?yōu)楦怕蕿?的必然事件，終于搬起石頭砸了自己的腳，反使犯臣得以死里逃生.3

了解事件發(fā)生的可能性即概率的大小，對人們的生活有什么意義呢？下面舉幾個例子.

例如，了解發(fā)生意外人身事故的可能性大小,確定保險(xiǎn)金額.4

了解來商場購物的顧客人數(shù)的各種可能性大小，合理配置服務(wù)人員.5

了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，合理確定堤壩高度.6

對一個隨機(jī)事件A，我們用一個數(shù)

P(A)來表示A發(fā)生的可能性大小，稱之為隨機(jī)事件A的概率。

那么，怎么來規(guī)定

P(A)的大小呢？

7定義在相同的條件下進(jìn)行n次試驗(yàn),其中事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為頻數(shù),比值nA/n稱為頻率,記為fn(A).

既然概率

P(A)度量了隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性大小，可以預(yù)料，在大量的重復(fù)試驗(yàn)中，若P(A)較大，則頻率也較大;反之，若P(A)較小，則頻率也較小，而且概率P(A)應(yīng)與頻率有許多相似的性質(zhì)。下面我們先對頻率的性質(zhì)進(jìn)行一番考察。一、頻率(概率與頻率的關(guān)系)8拋硬幣實(shí)驗(yàn)試驗(yàn)者德摩根蒲豐K．皮爾遜K．皮爾遜羅曼諾夫斯基2048404012000240008064010612048601912012396990.51810.50690.50160.50050.4923試驗(yàn)次數(shù)出現(xiàn)正面的次數(shù)出現(xiàn)正面的頻率當(dāng)常常會不一樣不同時，得到的)(Afnn9這表明頻率具有一定的隨機(jī)波動性 因此，可以用頻率來描述概率，定義概率為頻率的穩(wěn)定值．我們稱這一定義為概率的統(tǒng)計(jì)定義．這種“穩(wěn)定性”也就是通常所說的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性．10頻率具有如下性質(zhì)

1．非負(fù)性2．規(guī)范性3．有限可加性若是一組兩兩互不相容的事件則11根據(jù)上述頻率穩(wěn)定性的討論，似乎可以提出這樣的猜想，即當(dāng)n足夠大時，fn(A)與

P(A)應(yīng)充分接近.

在不少實(shí)際問題中，當(dāng)概率不易求出時，人們常取實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時事件的頻率作為概率的估計(jì)值.這種用頻率估計(jì)概率的方法稱為頻率方法.事件的頻率在一定程度上能反映事件發(fā)生的概率，下面根據(jù)頻率的基本特性，給出概率的公理化定義.12 設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，W是它的樣本空間，對E的每一個事件A，將其對應(yīng)于一個實(shí)數(shù)，記為P(A)，稱為事件A的概率，如果集合函數(shù)P(?)滿足下列條件：概率的公理化定義1．非負(fù)性2．規(guī)范性3．可列可加性13

數(shù)據(jù)引自L.Brillouin,ScienceandInformationTheory,NewYork,1956

例2

英文字母被使用的頻率相當(dāng)穩(wěn)定.

字母使用頻率的研究，對鍵盤設(shè)計(jì)、鉛字鑄造、信息編碼、密碼破譯等方面都是十分有用的。14三、概率的性質(zhì)

由概率的三條公理，我們可以推導(dǎo)出概率的若干性質(zhì).下面我們給出概率的一些重要性質(zhì).性質(zhì)1

證利用概率的可列可加性及規(guī)范性，有

再由概率的非負(fù)性，15性質(zhì)2(有限可加性)證由可列可加性及性質(zhì)1，得

16性質(zhì)3證特別地，對立事件的概率有事件組，則有17性質(zhì)3證特別地，對立事件的概率有事件組，則有Ａ18性質(zhì)4證由可加性知,移項(xiàng)即得結(jié)論.19推論2.對任意事件A,有注若沒有條件則公式應(yīng)改為性質(zhì)4證由可加性知,移項(xiàng)即得結(jié)論.20性質(zhì)5(加法公式)證明對任意兩個事件A,B,有由性質(zhì)4得

推論：一般地，21推廣：三個事件的加法公式證明留作練習(xí).一般地,22例3解23例4解(1)A發(fā)生但B不發(fā)生的概率為(2)B發(fā)生但A不發(fā)生的概率為(3)A與B至少有一個發(fā)生的概率為24例5解25四、古典概型假定某個試驗(yàn)有有限個可能的結(jié)果

假定從該試驗(yàn)的條件及實(shí)施方法上去分析，我們找不到任何理由認(rèn)為其中某一結(jié)果例如ei

比任一其他結(jié)果例如ej

更有優(yōu)勢，則我們只好認(rèn)為所有結(jié)果在試驗(yàn)中有同等可能的出現(xiàn)機(jī)會，即1/N的出現(xiàn)機(jī)會.e1,e2,…eN

,26常常把這樣的試驗(yàn)結(jié)果稱為“等可能的”.試驗(yàn)結(jié)果e1,e2,…，eN

你認(rèn)為哪個結(jié)果出現(xiàn)的可能性大？2723479108615

例如，一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球.將球編號為1～10.把球攪勻，閉上眼睛，從中任取一球.

因?yàn)槌槿r這些球是完全平等的，我們沒有理由認(rèn)為10個球中的某一個會比另一個更容易取得.也就是說，10個球中的任一個被取出的機(jī)會是相等的，均為1/10.

28稱這種試驗(yàn)為古典概型.

若隨機(jī)試驗(yàn)滿足下述兩個條件：

(1)它的樣本空間只有有限多個樣本點(diǎn)；

(2)每個樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同.稱此概率為古典概率.這種確定概率的方法稱為古典方法

.定義(概率的古典定義)在古典概型下，若所有基本事件總數(shù)為n，而事件A包含了其中的m個(稱為有利場合數(shù))，那么事件A的概率定義為

此公式由法國數(shù)學(xué)家Laplace于1812年給出，當(dāng)時作為概率的一般定義，事實(shí)上它只適合古典概型。29求概率問題轉(zhuǎn)化為計(jì)數(shù)問題

.排列組合是計(jì)算古典概率的重要工具.基本計(jì)數(shù)原理1.加法原理設(shè)完成一件事有m類方式，第一類方式有n1種方法，第二類方式有n2種方法,…；

第m類方式有nm種方法,則完成這件事總共有n1+n2+…+nm

種方法.特點(diǎn):一步完成30例如，某人要從甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火車,也可以乘輪船.火車有兩班輪船有三班乘坐不同班次的火車和輪船，共有幾種方法?3

+2

種方法回答是31基本計(jì)數(shù)原理則完成這件事共有種不同的方法.2.乘法原理設(shè)完成一件事有m個步驟，第一個步驟有n1種方法，第二個步驟有n2種方法,…；

第m個步驟有nm種方法,特點(diǎn)：多步完成例如,A地到B地有兩種走法,B地到C地有三種走法,C地到D地有四種走法,則A地到D地共有種走法.32特別,k=n時稱全排列排列、組合的定義及計(jì)算公式1、排列:從n個元素中取k個不同元素的排列數(shù)為：階乘若允許重復(fù),則從n個元素中取k個元素的排列數(shù)為：注意332、組合:從n個元素中取k個元素的組合數(shù)為：推廣:n個元素分為s組，各組元素?cái)?shù)目分別為r1,r2,…,rs的分法總數(shù)為34例1在11張卡片上分別寫上probability這11個字母，從中任取7張，求其恰好排列成ability的概率。

設(shè)A={抽取的7張卡片恰好排列成ability}，

解古典概率計(jì)算舉例35例2某城市的電話號碼由5個數(shù)字組成，每個數(shù)字可能是從0-9這十個數(shù)字中的任一個，求電話號碼由五個不同數(shù)字組成的概率.解問：錯在何處？計(jì)算樣本空間樣本點(diǎn)總數(shù)和所求事件所含樣本點(diǎn)數(shù)計(jì)數(shù)方法不同.從10個數(shù)字中取5個不同數(shù)字的排列允許重復(fù)的排列551010P=p551010C=p36例3設(shè)有N件產(chǎn)品,其中有M件次品,現(xiàn)從這N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.這是一種非還原抽樣,稱超幾何分布.次品正品M件次品N-M件正品解：設(shè)A={恰好取得k件次品}思考:若是還原抽樣呢?37例4全班有50個學(xué)生，問至少有2人生日相同的概率為多少？（設(shè)一年有365天）解：設(shè)A={至少有2人生日相同}基本事件總數(shù):事件A包含的基本事件總數(shù):概率之大有點(diǎn)出乎意料.從下表中看出,當(dāng)人數(shù)超過23時，打賭說至少有兩人同生日是有利的.38200.411210.444220.476230.507240.538300.706400.891500.970600.994有人同生日的概率人數(shù)39例5

一個家庭中，若有兩個孩子，問恰都是男孩的概率多大？假定男女出生率相同。

解以下解法是錯誤的:樣本空間取為{兩男,兩女,一男一女},所以p

=

1/3.注意：在古典概型中，樣本空間中的基本事件必須是等可能的。

錯誤在于樣本點(diǎn)不是等可能的.

正確的解法是:樣本空間取為{(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}.

所以p

=

1/4.40四只貓的性別M：很容易作出錯誤的概率計(jì)算。這兒有兩只貓已住在一起。貓先生：親愛的，我們的新房舍中有幾只小貓？貓?zhí)耗悴粫?shù)呀？四只，你這個笨蛋。貓先生：幾只雄貓？貓?zhí)汉茈y說，我也不知道呢。貓先生：四只貓都是雄的不太可能。貓?zhí)阂膊豢赡芩闹欢际谴曝?。貓先生：也許只有一只是雄貓。貓?zhí)夯蛟S只有一只是雌貓。課外讀物41M：貓先生的理由對不對？讓我們來檢驗(yàn)它的理論。用B表示雄貓，用G表示雌貓，這就很容易列出十六種同等可能的情況。M：在十六種中只有兩種是所有貓都具有同樣性別，所以，這種情況發(fā)生的概率是2/16，或1/8。貓先生認(rèn)為這種情況具有最低概率是對的。M：現(xiàn)在，讓我們檢驗(yàn)一下2~2分配，貓先生認(rèn)為這是可能性最大的一種。這種情況有六次，所以其概率是6/16，或3/8。這顯然比1/8高。貓先生也許是對的。

貓先生：這也不是很難想出來的,親愛的。每只貓是雄是雌的機(jī)會是一半對一半,所以很明顯,最有可能的結(jié)果是兩個雄的,兩個雌的。你還不能把它們算出來嗎？42M：可是，我們還有一個更大可能的情況要考慮：3~1分配，由于這種情況有8次，其概率是8/16，或1/2。這就比2—2分配高。我們大概是搞錯了吧？一家四個孩子最可能的情況是三個孩子是一種性別，另一孩子是另一種性別，而不是兩個男孩，兩個女孩，這一點(diǎn)使大多數(shù)學(xué)生感到驚訝。M：如果我們算出的概率是對的，它們相加應(yīng)等于l。加一加果然為1。這就向我們說明，三種情況都會發(fā)生，貓先生猜錯了，最可能的情況是3~1，而不是2~2。

在班級里，用4個硬幣反復(fù)拋擲很容易作出試驗(yàn)。將每次拋擲結(jié)果記錄下來。在拋了100次之后，差不多有50次是3~1組合，而2~2組合大約是33次。

43在做了這個練習(xí)之后，大家可以考慮在一個有五個孩子或六個孩子的家庭中不同性別組合的概率?！獋€類似的問題是關(guān)于一手橋牌中四種花色的最可能分布，其答案也同樣違反直覺。最不可能的情形自然是拿到同一花色的13張牌（你拿到這手牌的可能性是158753389899分之一）?？墒亲羁赡艹霈F(xiàn)的情況是什么呢？

即使是很有經(jīng)驗(yàn)的橋牌手也往往猜想答案是4，3，3，3。這就錯了。最可能的一手牌是4，4，3，2。你可以期望這類牌大約要五圈拿到一次；而4，3，3，3這種分布則大約要每九圈或十圈才能拿一次。就是5，3，3，2這種分布也可能是每六圈拿一次。44至少有兩張同號的情況比較復(fù)雜，但它的反面即沒有同號的概率比較容易求，例6

某一副撲克牌13張黑桃，有放回取3次，求至少有兩張同號的概率.分析解45例7

在12000的整數(shù)中任取一數(shù)，求取到的數(shù)（1）能被6或8整除的概率；（2）既不能被6也不能被8整除的概率；（3）能被6整除而不能被8整除的概率.設(shè)A—取到的數(shù)能被6整除；解B—取到的數(shù)能被8整除.46例7

在12000的整數(shù)中任取一數(shù)，求取到的數(shù)（1）能被6或8整除的概率；（2）既不能被6也不能被8整除的概率；（3）能被6整除而不能被8整除的概率.47例8假設(shè)電話號碼為八位數(shù)（第一位數(shù)不為0），解引進(jìn)事件：則易見所以48THTHHHTT例9將一枚硬幣拋二次（2）解（1）49先給出一個記號，它是組合數(shù)的推廣，規(guī)定

50例10設(shè)袋中有只4白球和2只黑球，現(xiàn)從袋中無放回地依次摸出2只球（即第一次取一球不放回袋中，第二次再從剩余的球中再取一球，此種抽取方式稱為無放回抽樣）.試求（1）取到的兩只球都是白球的概率；（2）取到的兩只球顏色相同的概率；

（3）取到的兩只球中至少有一只是白球的概率

解記51(1)52（3）類似于（1），可求得（2）53例11將個球隨機(jī)地放入個盒子中去，盒子的容量不限，試求（1）每個盒子至多有一只球的概率；（2）個盒子中各有一球的概率

解將個球放入個盒子中去，每種放法是一個基本事件。顯然這是古典概型問題。因每一個球都可以放入個盒子中的任一個盒子，故共有種不同的方法．54個盒子可以有種不同的選法。對選定的個

盒子，每個盒子各有一個球的放法有種。由乘

法原理，共有種放法，因此所求概率為

(1)每個盒子中至多只有一只球,共有

種不同的方法，因此所求的概率為55例12：袋內(nèi)有a個白球與b個黑球，每次從袋中任取一個球，取出的球不再放回去，連續(xù)取k個球.