過程控制與自動化儀表-第四章-微分方程

被控過程數(shù)學模型數(shù)學模型的概念被控過程的數(shù)學模型數(shù)學模型是描述系統(tǒng)動態(tài)特性及各變量之間關(guān)系的數(shù)學表達式。而被控過程的數(shù)學模型指過程的輸入變量與輸出變量之間定量關(guān)系的描述。1）過程的輸入變量至輸出變量的信號聯(lián)系稱為通道2）控制作用至輸出變量的信號聯(lián)系稱為控制通道3）干擾作用至輸出變量的信號聯(lián)系稱為干擾通道過程的輸出為控制通道與干擾通道的輸出之和

數(shù)學模型的類型被控過程的數(shù)學模型（1）：微分方程：時域、其它模型的基礎(chǔ)、直觀、求解繁瑣（2）：傳遞函數(shù)：復頻域、微分方程拉氏變換后的結(jié)果（3）：動態(tài)模型：變量各階導數(shù)之間關(guān)系的微分方程（1）：相似性：不同性質(zhì)的系統(tǒng)，具有相同的數(shù)學模型。（2）：簡化性和準確性：忽略次要因素，簡化之；準確體現(xiàn)了系統(tǒng)性質(zhì)。數(shù)學模型的特點（3）：靜態(tài)模型：靜態(tài)條件下，各變量之間的代數(shù)方程。（4）：動態(tài)模型：變量各階導數(shù)之間關(guān)系的微分方程。被控過程的數(shù)學模型（1）：全面、深入地掌握被控過程的數(shù)學模型是控制系統(tǒng)設(shè)計的基礎(chǔ)。（2）：良好數(shù)學模型的建立是控制器參數(shù)確定的重要依據(jù)。（3）：數(shù)學建模是仿真或研究、開發(fā)新型控制策略的必要條件。（4）：通過對生產(chǎn)工藝過程及相關(guān)設(shè)備數(shù)學模型的分析或仿真，可以為生產(chǎn)工藝及設(shè)備的設(shè)計與操作提供指導。（5）：利用數(shù)學模型可以及時發(fā)現(xiàn)工業(yè)過程中控制系統(tǒng)的故障及其原因，并提供正確的解決途徑。被控過程數(shù)學模型在過程控制中的重要性：被控過程的數(shù)學模型一般步驟

1)分析系統(tǒng)運動的因果關(guān)系，確定系統(tǒng)的輸入量、輸出量及內(nèi)部中間變量，搞清各變量之間的關(guān)系。

2)忽略一些次要因素，合理簡化。

3)根據(jù)相關(guān)基本定律，列出各部分的原始方程式。

4)列寫中間變量的輔助方程。（方程數(shù)與變量數(shù)相等）

5)聯(lián)立上述方程，消去中間變量，得到只包含輸入輸出的方程式。系統(tǒng)微分方程的建立機械系統(tǒng)微分方程基本定理：1.牛頓第二定律：F=ma2.簡化模型為阻尼器f、彈簧k、質(zhì)量塊m大?。骸硿Σ料禂?shù)大?。骸獜椈上禂?shù)方向均為阻礙物體運動趨勢

例彈簧-質(zhì)量-阻尼器串聯(lián)系統(tǒng)。試列出以外力F(t)為輸入量，以質(zhì)量的位移y(t)為輸出量的運動方程式。

解：遵照列寫微分方程的一般步驟有：

（1）確定輸入量為F(t)，輸出量為y(t)，作用于質(zhì)量m的力還有彈性阻力Fk(t)和粘滯阻力Ff(t)，均作為中間變量。（2）設(shè)系統(tǒng)按線性集中參數(shù)考慮，且無外力作用時，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。

KmfF(t)y(t)機械平移系統(tǒng)（3）按牛頓第二定律列寫原始方程，即

（5）將以上輔助方程式代入原始方程,消去中間變量,得

（4）寫中間變量與輸出量的關(guān)系式機械平移系統(tǒng)KmfF(t)y(t)機械回轉(zhuǎn)系統(tǒng)f—轉(zhuǎn)動時粘滯摩擦系數(shù)k—彈性扭轉(zhuǎn)變形系數(shù)機械系統(tǒng)微分方程課堂習題

求圖所示機械系統(tǒng)的微分方程式，圖中F(t)為輸入量，位移x(t)為輸出量，m為質(zhì)量，k為彈簧的彈性系數(shù)，f為粘滯阻尼系數(shù)電氣系統(tǒng)微分方程基本定理：1.環(huán)路電壓定律2.典型元件的電壓與電流的關(guān)系和節(jié)點電流定律

例

電阻－電感－電容串聯(lián)系統(tǒng)。R-L-C串聯(lián)電路，試列出以ur(t)為輸入量，uc(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程式。電氣RLC系統(tǒng)RCur(t)

uc(t)L

解：（1）確定輸入量為ur(t)，輸出量為uc(t)，中間變量為i(t)。

（2）網(wǎng)絡(luò)按線性集中參數(shù)考慮且忽略輸出端負載效應(yīng)。（4）列寫中間變量i與輸出變量uc的關(guān)系式:

（5）將上式代入原始方程，消去中間變量得RCur(t)uc(t)L（3）由KVL寫原始方程：i(t)電氣RLC系統(tǒng)

下圖是一個由理想運算放大器組成的電容負反饋電路。電壓ui(t)和uo(t)分別表示輸入量和輸出量，試確定這個電路的微分方程式。電氣有源系統(tǒng)電氣系統(tǒng)微分方程課堂習題

求圖所示電氣系統(tǒng)的微分方程式，圖中Ui(t)為輸