微積分第一章函數(shù)

§1.1集合集合的概念集合的表示法全集與空集子集集合的運算集合的運算律集合的笛卡爾乘積第一頁，共二十六頁，2022年，8月28日§1.2實數(shù)集區(qū)間與鄰域(1)實數(shù)與數(shù)軸.(2)區(qū)間有:開區(qū)間、閉區(qū)間和半開半閉區(qū)間.第二頁，共二十六頁，2022年，8月28日區(qū)間也可以按其長度分為:有限區(qū)間和無限區(qū)間.鄰域的概念

定義1.1設為一實數(shù),為一正實數(shù),即則稱集合為點的鄰域.若和均為有限的常數(shù),則區(qū)間均為有限區(qū)間無限區(qū)間有第三頁，共二十六頁，2022年，8月28日點的鄰域,在幾何上表示的是以為圓心,以為半徑的開區(qū)間其區(qū)間長度為見下圖所示

注意:一般鄰域內(nèi)的點是指在點附近的點,故應將理解為比較小的正數(shù).1.3.函數(shù)的定義第四頁，共二十六頁，2022年，8月28日

定義1.2:設和分別為兩個實數(shù)集合,為一對應關系,如果對于中的每一個元素按照對應關系在集合中均有唯一的一個實數(shù)與之對應,即則稱變量為變量的函數(shù),記作其中稱為因變量,稱為自變量,稱為對應法則,稱為該函數(shù)的定義域.

關于該定義應注意當函數(shù)的定義域和對應法則確定了以后,該函數(shù)便被唯一的確定了,因此稱函數(shù)的定義域和對應法則為確定函數(shù)關系的兩大要素.第五頁，共二十六頁，2022年，8月28日

例1判斷下列各組函數(shù)是否相同

解(1)

不同.因為的定義域是而的定義域為.顯然它們的定義域不同.

(2)

相同.因為它們的定義域均為全體實數(shù)相同,且對應法則也相同第六頁，共二十六頁，2022年，8月28日

3.函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域,是使函數(shù)有意義的自變量的取值的范圍.求函數(shù)的定義域時應注意:

(1)考慮自變量與因變量有無實際意義;

(2)如果一個函數(shù)是若干項的代數(shù)和,則分別求出每一項的取值范圍后,取其交集即可得定義域;

(3)對于分段函數(shù)來說,其定義域就是各區(qū)間的并集合.第七頁，共二十六頁，2022年，8月28日

解(1)要使該函數(shù)有意義,須有解之得故該函數(shù)的定義域為.故該函數(shù)的定義域為.

例2求下列函數(shù)的定義域(2)要使該函數(shù)有意義,須有解之得第八頁，共二十六頁，2022年，8月28日例3.確定函數(shù)的的定義域.第九頁，共二十六頁，2022年，8月28日(2)圖象法(圖形法).如函數(shù)

的圖象為:

(3)列表法(表格法).

1.4.函數(shù)的表示法(1)解析法(公式法).如函數(shù)注意:有些函數(shù)是多個(兩個或兩個以上)解析式表示一個函數(shù),數(shù)學上稱這種函數(shù)為分段函數(shù).第十頁，共二十六頁，2022年，8月28日1.5.建立函數(shù)關系的例題解決應用問題,首先要建立數(shù)學模型,也就是建立函數(shù)關系.在建立過程中,要確定自變量和因變量,還要考慮函數(shù)的定義域.例子:某工廠生產(chǎn)某型號車床,年產(chǎn)量為a臺,分批生產(chǎn),每批生產(chǎn)準備費為b元.該產(chǎn)品均勻投入市場,且上一批用完后即生產(chǎn)下一批,即平均庫存量為批量的一半.設每年每臺庫存費為c元.為了選擇最優(yōu)庫存,試求出一年中庫存費與生產(chǎn)準備費的和與批量的函數(shù)關系.第十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日解:設批量為x,庫存費與生產(chǎn)準備費的和為P(x).那么我們有:函數(shù)自變量x的定義域為(0,a],并且x是正整數(shù).1.6.函數(shù)的幾種特性第十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日1奇偶性:設函數(shù)在區(qū)間上有定義,如果對于任意,都有,則稱該函數(shù)為奇函數(shù);若對于任意,都有則稱該函數(shù)為偶函數(shù).例1判斷下列函數(shù)的奇偶性解(1)因為第十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日所以函數(shù)是奇函數(shù).

(3)因為的定義域為所以函數(shù)無奇偶性,是非奇非偶函數(shù).雖然所以是偶函數(shù).(2)因為第十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日注:奇函數(shù)的圖象關于原點對稱;偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱.

(4)因為所以函數(shù)是偶函數(shù).

2.單調(diào)性

設函數(shù)在上有定義,對任意如果,則必有,則稱函數(shù)在上單調(diào)遞增;如果,則必有,則稱函數(shù)在上單調(diào)遞減.注:單調(diào)遞增的函數(shù)其圖象從左到右是上升的,第十五頁，共二十六頁，2022年，8月28日而單調(diào)遞減的函數(shù)其圖象從左到右是下降的.見下圖yyxxoo

例如函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減;而函數(shù)在定義域上均單調(diào)遞增.其圖象如下:

單調(diào)遞增單調(diào)遞減yxoyxo單調(diào)性遞增開始演示!演示單調(diào)性遞減開始演示第十六頁，共二十六頁，2022年，8月28日

3.周期性

注意:(1)說函數(shù)遞增還是遞減時,應明確指出在哪一個區(qū)間上.因同一個函數(shù)在不同的區(qū)間上單調(diào)性可能不同.如函數(shù)(2)當一個函數(shù)在其定義域上均單調(diào)遞增(或遞減)時,才稱該函數(shù)為單調(diào)函數(shù).如是單調(diào)函數(shù).設函數(shù)在上有定義,如果存在正常數(shù)使得對于中的任意,都有則稱該函數(shù)為周期函數(shù),且稱最小的為該函數(shù)的周期.如函數(shù)也是周期函數(shù),其周是周期函數(shù),其周期為而期為第十七頁，共二十六頁，2022年，8月28日

4.有界性

設函數(shù)在上有定義,如果存在正數(shù),使得對于任意,都有恒成立.則稱該函數(shù)在區(qū)間上有界.否則,稱該函數(shù)在區(qū)間上無界.如函數(shù)在區(qū)間上有界,因在該區(qū)間上恒有成立;在區(qū)間上無界.而函數(shù)在其定義域R有界.因為總有第十八頁，共二十六頁，2022年，8月28日注意:(1)說一個函數(shù)是否有界,一般要指出區(qū)間.因同一個函數(shù),在某區(qū)間上可能有界,而在另一個區(qū)間上可能會無界.(2)若一個函數(shù)在其定義域上有界時,可以不說區(qū)間,這時稱函數(shù)是有界函數(shù).

反函數(shù)1.反函數(shù)的定義B

定義1.3

設函數(shù)的定義域為集合A,其值域為B,如果對于B中的每一個元素,在集合A中都有唯一確定的與之對應,則說在集合B上定義了一個函數(shù),稱該函數(shù)為的反函數(shù),記作,第十九頁，共二十六頁，2022年，8月28日

注1:易見反函數(shù)的定義域B即是原來函數(shù)的值域,而其值域即是原來函數(shù)的定義域.

注2:為了合呼我們的習慣,常把中的換為,把換為,從而的得.由于并不改變其定義域和對應法則,所以它們是相同的函數(shù).

注3:函數(shù)與互為反函數(shù)

2.反函數(shù)的性質(zhì)第二十頁，共二十六頁，2022年，8月28日

(1)單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù),且其反函數(shù)的單調(diào)性與原來函數(shù)的單調(diào)性一致.(2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖象關于直線對稱.3.反函數(shù)的求法例4求的反函數(shù)

反函數(shù)的求法分三步:

①從中解出;②判斷中的與是否一一對應;③若一個對應唯一一個,則將其換為,換為,即得函數(shù)的反函數(shù).第二十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日

解從中解出,得顯然,每一個均對應唯一的一個,所以交換變量得其反函數(shù)為基本初等函數(shù)

1.常量函數(shù)2.冪函數(shù)

3.指數(shù)函數(shù)4.對數(shù)函數(shù)5.三角函數(shù)6.反三角函數(shù)第二十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日1.常函數(shù)yxoxoy3.指數(shù)函數(shù)4.對數(shù)函數(shù)oyxoyx

基本初等函數(shù)圖象如下2.冪函數(shù)第二十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日5.三角函數(shù)x

yyx第二十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日6.反三角函數(shù)因為在其定義域內(nèi)不單調(diào),因此在整個定義域內(nèi)沒有反函數(shù).為了求其反函數(shù),我們需要縮小定義范圍,所定義的新區(qū)間應滿足以下三個條件:①在所定義的區(qū)間上必須單調(diào);②所定義的區(qū)間應盡可能的大一些;③所定義的區(qū)間要包含坐標原點在內(nèi)(或盡可能靠近坐標原點).于是,選擇區(qū)間最合適y因為上式不太合呼大家的習慣,所以常做變量的更換,得由反函數(shù)的圖象對稱性可做出其圖象為:第二十五頁，共二十六頁，2022年，8月28日初等函數(shù)

注1:條件非常重要,只