第十四章十五章排列與組合,概率、統(tǒng)計(jì)初步1009

第十四章兩個(gè)基本原理一、分類計(jì)數(shù)原理二、分步計(jì)數(shù)原理做一件事，完成它有n類方法，第一類有種不同的方法，第二類有種不同的辦法……，第n類有種不同的方法，那么完成這件事共有不同的方法的種數(shù)為：

做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的辦法……，第n步有種不同的方法，那么完成這件事共有不同的方法的種數(shù)為：

排

列從個(gè)不同的元素中,任取個(gè),按照一定的順序排成一列,稱為從個(gè)不同的元素中任意取出個(gè)元素的一個(gè)排列。從個(gè)不同的元素取出個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，稱為從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示（或記為）連乘形式階乘形式全排列數(shù)公式思考從四個(gè)字母中,四個(gè)字母都參與排列的排列數(shù)為多少種？列舉如下：排列數(shù)是24，排列的過程可用以下的步驟完成:第一步，從

中任選一個(gè)排在最前面，共有4種不同的選法；第二步，從第一步選剩的3個(gè)字母中任選一個(gè)排在第二位，共有3種不同的選法；第三步，從第一步、第二步選剩的2個(gè)字母中任選一個(gè)排在第三位，共有2種不同的選法；第四步，經(jīng)過第一步、第二步、第三步的選排，剩下的字母只有一個(gè)，共有1種選法。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，排列數(shù)為在數(shù)字0,1,2,3中,可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)的三位數(shù)?

排在第一位的可以是1,2,3中的任一個(gè)數(shù)字,因此第一步驟有三種選擇;排在第二位的可以是0和1,2,3中除已占據(jù)第一位的數(shù)字外的任何一個(gè)數(shù)字,因此第二步驟有三種選擇;排在末位的可以是0和1,2,3中除已占據(jù)第一、二位的數(shù)字外的任何一個(gè)數(shù)字,因此第三步驟有二種選擇。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得數(shù)字0,1,2,3中,可以組成沒有重復(fù)的三位數(shù)排列數(shù)為：解一按分步計(jì)數(shù)法確定排列數(shù)課堂練習(xí)在數(shù)字0,1,2,3中,可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)的三位數(shù)?解二

按分類計(jì)數(shù)法確定排列數(shù)第一類：0不參與首位排列，1,2,3三個(gè)數(shù)字排在百位、十位、個(gè)位的排列數(shù)是第二類：0排在十位，1,2,3三個(gè)數(shù)字中任選二個(gè)數(shù)字分別排在首位、個(gè)位的排列數(shù)是第二類：0排在個(gè)位，1,2,3三個(gè)數(shù)字中任選二個(gè)數(shù)字分別排在首位、十位的排列數(shù)是根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，得數(shù)字0,1,2,3中,可以組成沒有重復(fù)的三位數(shù)排列數(shù)為：課堂練習(xí)組

合

從個(gè)不同的元素中,任取個(gè)元素并成一組,稱為從個(gè)不同的元素中任意取出個(gè)元素的一個(gè)組合。從個(gè)不同的元素取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，稱為從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示思考從四個(gè)字母中,任取兩個(gè)字母進(jìn)行組合的組合數(shù)為多少種？從

四個(gè)字母中,任取二個(gè)字母進(jìn)行組合的組合數(shù)為如下：性質(zhì)排列組合與順序無關(guān)與順序有關(guān)區(qū)別排列與組合的性質(zhì)及其比較課堂練習(xí)在20件產(chǎn)品中，有2件次品，其余是合格品，從中任取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，問：(1)3件都是合格品，有多少種取法?(2)3件中恰有一件次品，有多少種取法?(1)3件都是合格品的取法就是從18件正品中任取3件，故共有(2)先從2件次品中取出一件次品有種取法，再從18件合格品中任取2件的取法有種。由分布計(jì)數(shù)原理得恰有一件是次品的取法共有（種）（種）第十五章概率、統(tǒng)計(jì)初步

一、隨機(jī)事件及其概率1.隨機(jī)事件、必然事件、不可能事件2.隨機(jī)事件的概率在一定條件下可能發(fā)生,也可能不發(fā)生的的事件叫做隨機(jī)事件；在一定條件下必然發(fā)生的事件叫做必然事件；在一定條件下不可能發(fā)生的事件稱為不可能事件。例如：拋下一枚硬幣，正面朝上。在大量重復(fù)進(jìn)行同一次試驗(yàn)時(shí)，事件A發(fā)生的頻率（其中，n為試驗(yàn)的次數(shù)，m為事件A發(fā)生的次數(shù)）總接近于某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動(dòng)，則稱這個(gè)常數(shù)是事件A的概率，記作P(A),并且此時(shí)必然事件A的概率是1，不可能事件的概率是0。頻率：在確定的條件下，在n次試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生了m次，我們把叫做事件A發(fā)生的頻率。如果把骰子落地時(shí)向上的面是1這一事件叫做A，則在一次拋擲中，A的概率是二、等可能事件及其概率基本事件每個(gè)基本事件的概率一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果稱為一個(gè)基本事件。如果一次試驗(yàn)中，由n個(gè)基本事件組成，且所有基本事件出現(xiàn)的可能性相等，那么每一個(gè)基本事件的概率均為。一般地，如果一次試驗(yàn)中共有n種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中事件A包含的結(jié)果有m種，那么事件A的概率P(A)是，即

如拋擲一個(gè)骰子，它落地時(shí)向上的面可能的情形是1，2，3，4，5，6中之一，那么，骰子落地時(shí)向上的面是1、是2、是3、是4、是5、是6這些事件可看作是等可能事件。如果把骰子落地時(shí)向上的面是2的整數(shù)倍數(shù)這一事件叫做A，則在一次拋擲中，A的概率是課堂練習(xí)一暗箱中有大小相等的8個(gè)白球和2個(gè)黑球，每次摸出2個(gè)球，從中摸出二個(gè)黑球的概率是多少？解

每次從暗箱中2個(gè)球，共有種摸法；每次摸出二個(gè)黑球，共有種摸法。把每次摸球及其結(jié)果都看作是一事件，則它們是等可能事件。把摸出黑球看用是事件A，A的概率是

三、互斥事件及其概率1.互斥事件3.對(duì)立事件及其概率不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，叫做互斥事件。設(shè)事件A、B互斥，把A、B中有一個(gè)發(fā)生的事件記為A+B，則有如果互斥事件A、B中必有一個(gè)發(fā)生，那么就稱A、B為對(duì)立事件。事件A的對(duì)立事件為，2.互斥事件的概率加法公式如果彼此互斥，那么事件發(fā)生（即中有一個(gè)發(fā)生）的概率，等于這n個(gè)事件分別發(fā)生的概率的和，即如拋擲硬幣,正面向上和背面向上是互斥事件。課堂練習(xí)在20件產(chǎn)品中，有15件是一級(jí)品，5件是二級(jí)品。從中任抽三件，求其中至少有一件為二級(jí)品的概率。

設(shè)三件全是一級(jí)品為事件A，三件中至少有一件為二級(jí)品為事件A的對(duì)立事件事件A的概率是:事件A的對(duì)立事件

的概率是:四、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響，則它們是相互獨(dú)立事件。相互獨(dú)立事件的概率乘法公式：若A,B是相互獨(dú)立事件，它們同時(shí)發(fā)生的概率記作，那么一般地，若事件相互獨(dú)立，它們同時(shí)發(fā)生的概率一般地說，

相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積.課堂練習(xí)甲、乙兩人各參加一項(xiàng)不同的競賽，進(jìn)入前8名的概率都是0.6，求下列概率(1)兩人都進(jìn)入前8名；(2)兩人中恰有一人進(jìn)入前8名；(3)兩人中至少有一人進(jìn)入前8名.設(shè)甲進(jìn)入前8名的為事件A，概率為乙進(jìn)入前8名的為事件B，概率為（1）兩人中恰有一人進(jìn)入前8名，就是“甲進(jìn)入而乙未進(jìn)入”或“乙進(jìn)入而甲未進(jìn)入”它們是互斥事件，根據(jù)互斥事件概率的加法公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，所求概率是（2）（3）

兩人都未進(jìn)入前8名的概率是，至少有一人進(jìn)入前8名的概率是

五、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)若在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率為P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率

例如拋擲一枚硬幣三次，恰有一枚硬幣正面朝上的概率是多少？已知一次拋擲中硬幣正面朝上的概率為拋擲次數(shù)硬幣恰好正面朝上的次數(shù)依公式,所求概率是六、統(tǒng)計(jì)初步總體與樣本

樣本平均數(shù)樣本中所有個(gè)體的平均數(shù)叫做樣本平均數(shù)。叫做這組數(shù)據(jù)的樣本方差，記作在統(tǒng)計(jì)中，所要考察的對(duì)象的全體叫做總體，其中的每一個(gè)被考察的對(duì)象稱為個(gè)體，從全體中取出的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本，樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量。

樣本方差

在一組數(shù)據(jù)中，若其平均數(shù)為，那么已知一組數(shù)據(jù)9.9，10.3，9.8，10.1，10.4，10，9.8，9.7，計(jì)算這組數(shù)據(jù)的方差。課堂練習(xí)考點(diǎn)探究16.從5位同學(xué)中任意選出3位參加公益活動(dòng)，不同的選法共有A.C.B.D.【】B5種20種15種10種2012成考題考點(diǎn)探究17.將3枚均勻的硬幣各拋擲一次，恰有2枚正面朝上的概率為A.C.B.D.【】C2012成考題2013成人高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)集合與簡易邏輯（考綱要求）1．了解集合的意義及其表示方法，了解空集、全集、子集、交集、并集、補(bǔ)集的概念及其表示方法，了解符號(hào)

的含義，并能運(yùn)用這些符號(hào)表示集合與集合、元素與集合的關(guān)系。

2．了解充分條件、必要條件、充分必要條件的概念。近五年知識(shí)考查情況函數(shù)（考綱要求）1．了解函數(shù)的概念，會(huì)求一些常見函數(shù)的定義域。2．了解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念，會(huì)判斷一些常見函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性。3．理解一次函數(shù)、反比例函數(shù)的概念，掌握它們的圖像和性質(zhì)，會(huì)求他們的解析式。4．理解二次函數(shù)的概念，掌握它們的圖像和性質(zhì)以及函數(shù)與

的圖像間的關(guān)系；會(huì)求二次函數(shù)的解析式及最大值或最小值。能運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)解決有關(guān)問題。理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，掌握有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)。掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)。近五年知識(shí)考查情況不等式和不等式組（考綱要求）了解不等式的性質(zhì)，會(huì)解一元一次不等式、一元一次不等式組和可化為一元一次不等式組的不等式，會(huì)解一元二次不等式。會(huì)表示不等式組或不等式組的解集。會(huì)解形如

和的絕對(duì)值不等式。近五年知識(shí)考查情況數(shù)列（考綱要求）1．了解數(shù)列及其通項(xiàng)、前n項(xiàng)和的概念。2．理解等差數(shù)列、等差中項(xiàng)的概念，會(huì)（靈活）運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式解決有關(guān)問題。3．理解等比數(shù)列、等比中項(xiàng)的概念，會(huì)（靈活）運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式解決有關(guān)問題。近五年知識(shí)考查情況導(dǎo)數(shù)（考綱要求）1．理解導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義。2．掌握函數(shù)

（c為常數(shù)）,

的導(dǎo)數(shù)公式，會(huì)求多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3.了解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，并會(huì)用導(dǎo)數(shù)求多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值。4.會(huì)求有關(guān)曲線的切線方程，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求簡單實(shí)際問題的最大值與最小值。近五年知識(shí)考查情況三角函數(shù)（考綱要求）之一一．三角函數(shù)及有關(guān)概念1．了解任意角的概念，理解象限角和終邊相同的角的概念。2．了解弧度的概念，會(huì)進(jìn)行弧度與角度的換算。3．理解任意角三角函數(shù)的概念，了解三角函數(shù)在各象限的符號(hào)和特殊角的三角函數(shù)值。二、三角函數(shù)式的變換1．掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式，會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行計(jì)算、化簡和證明。2．掌握兩角和、兩角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式，會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行計(jì)算、化簡、和證明。三角函數(shù)（考綱要求）之二三、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)1．掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用這兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)（定義域、值域、周期性、奇偶性和單調(diào)性）解決有關(guān)問題。2．了解正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)。3．會(huì)求函數(shù)的周期、最大值和最小值。4．會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)表示。四、解三角形1．掌握直角三角形的邊角關(guān)系，會(huì)用它們解直角三角形。2．掌握正弦定理和余弦定理，會(huì)運(yùn)用它們解斜三角形。近五年知識(shí)考查情況平面向量（考綱要求）一、平面向量1．理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念。2．掌握向量的加、減運(yùn)算；掌握數(shù)乘向量的運(yùn)算；了解兩個(gè)向量共線的條件。3．了解平面向量的分解定理。4．掌握向量的數(shù)量積運(yùn)算，了解其幾何意義和在處理長度、角度及垂直問題的應(yīng)用；了解向量垂直的條件。5．了解向量的直角坐標(biāo)的概念，掌握向量的坐標(biāo)運(yùn)算。6．掌握平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式、線段的中點(diǎn)公式和平移公式近五年知識(shí)考查情況直線（考綱要求）1．理解直線的傾斜角和斜率的概念，會(huì)求直線的斜率。2．會(huì)求直線方程，會(huì)（靈活）應(yīng)用直線方程解決有關(guān)問題。3．了解（掌握）平行與垂直的條件以及點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)應(yīng)用它們解決簡單的問題。近五年知識(shí)考查情況圓錐曲線（考綱要求）1．了解曲線和方程的關(guān)系，會(huì)求兩條曲線的交點(diǎn)。2．掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程以及直線和圓的位置關(guān)系，能靈活運(yùn)用它們解決有關(guān)問題。3．理解橢圓、雙曲線、拋物線的概念，掌握它們的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)，會(huì)應(yīng)用它們