彈性力學(xué)基礎(chǔ)

彈性力學(xué)基礎(chǔ)第一頁，共一百零四頁，2022年，8月28日第三章彈性力學(xué)基礎(chǔ)（二）§3.1平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)§3.2邊界條件§3.3圣維南原理及應(yīng)用§3.4虛功原理§3.5相容方程§3.6求解示例（位移、應(yīng)力）§3.7常體力情況下的平面問題第二頁，共一百零四頁，2022年，8月28日§3.1平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)前面我們介紹了平面問題的三類基本方程：平衡微分方程、幾何方程、物理方程。下面繼續(xù)從平面問題的靜力學(xué)方面入手，考察一下平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)。第三頁，共一百零四頁，2022年，8月28日xyOPPAB(a)(b)第四頁，共一百零四頁，2022年，8月28日xyOPAB(b)第五頁，共一百零四頁，2022年，8月28日xyOPAB(b)令角，有求法向和切向應(yīng)力第六頁，共一百零四頁，2022年，8月28日設(shè)經(jīng)過P點的某一斜面上的切應(yīng)力為零，則該斜面上僅有正應(yīng)力，該正應(yīng)力稱為P點的一個主應(yīng)力，而該斜面稱為P點的一個應(yīng)力主面，該斜面的法線方向（也即主應(yīng)力的方向）稱為P點的一個應(yīng)力主向。同時存在另外一個與此方向垂直的應(yīng)力主向。第七頁，共一百零四頁，2022年，8月28日小結(jié)物體內(nèi)的應(yīng)力是與作用面有關(guān)的，前面經(jīng)常提到基本位置函數(shù)，，只是表示一點的x,y坐標面上的應(yīng)力分量。在校核強度條件時，還要求求出通過此點的任一斜面上的應(yīng)力。斜面上的全應(yīng)力p可以分解為沿坐標方向的分量（，）或沿斜面法向、切向的分量（，）。

1、首先求斜截面應(yīng)力分量（，）由三角形微分體的平衡條件可得第八頁，共一百零四頁，2022年，8月28日

2、分別計算（，）在斜面法向和切向的投影，求得斜面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力：

3、求出主應(yīng)力和應(yīng)力主向（Mohr圓）第九頁，共一百零四頁，2022年，8月28日

4、進一步求出最大和最小的正應(yīng)力和切應(yīng)力，設(shè)，則有：第十頁，共一百零四頁，2022年，8月28日本節(jié)內(nèi)容需重點掌握：平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)及求解；第十一頁，共一百零四頁，2022年，8月28日§3.2

邊界條件

表示彈性體在邊界上位移與約束、或者應(yīng)力與面力間的關(guān)系式。分為：位移邊界條件，應(yīng)力邊界條件，混合邊界條件1、位移邊界條件：如在彈性體部分邊界上給定約束位移分量和，則對于此邊界上的每一點，位移函數(shù)u和v應(yīng)該滿足條件此即平面問題的位移（約束）邊界條件。特殊地：對于完全固定約束，則第十二頁，共一百零四頁，2022年，8月28日2、應(yīng)力邊界條件：如在彈性體部分邊界上給定面力分量和，在邊界上任一點取出一個微分體（見上節(jié)），則根據(jù)微分體平衡條件可以導(dǎo)出應(yīng)力與面力的關(guān)系式。此時，斜面AB即相當于邊界，此面上的應(yīng)力分量和對應(yīng)于面力分量和，而坐標面上的分別成為應(yīng)力分量的邊界值，有平衡條件得出平面問題的應(yīng)力（面力）邊界條件：其中和在邊界上是坐標的已知函數(shù)，l，m是邊界面外法線的方向余弦。第十三頁，共一百零四頁，2022年，8月28日3.混合邊界條件:部分位移邊界條件,部分應(yīng)力邊界條件。第十四頁，共一百零四頁，2022年，8月28日qyzyxlh1OO例:圖示薄板懸梁,試確定邊界條件第十五頁，共一百零四頁，2022年，8月28日薄板梁內(nèi)可視為平面應(yīng)力狀態(tài),板內(nèi)各點的應(yīng)力分量中

由：第十六頁，共一百零四頁，2022年，8月28日

第十七頁，共一百零四頁，2022年，8月28日

第十八頁，共一百零四頁，2022年，8月28日補充作業(yè)：

圖示薄板在y方向上受均布拉力作用，試證明：板中突出部分的尖端A點無應(yīng)力存在。BoCAxyqq提示：不要實際求解應(yīng)力分量?？煞謩e列出AB邊界和AC上應(yīng)力分量及其邊界條件，A點為兩邊交界點，須同時滿足兩邊的條件。nn第十九頁，共一百零四頁，2022年，8月28日第二十頁，共一百零四頁，2022年，8月28日§3.3

圣維南原理及其應(yīng)用從前幾節(jié)的學(xué)習可以看出，求解彈性力學(xué)問題時，應(yīng)力、形變和位移分量必須滿足區(qū)域內(nèi)的三套基本方程，還必須滿足邊界上的邊界條件。但是，實際問題中邊界條件往往非常復(fù)雜，欲使邊界條件完全得到滿足，往往非常困難。為此，必須進行一定的簡化。圣維南原理第二十一頁，共一百零四頁，2022年，8月28日圣維南原理圣維南原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對于同一點的主矩也相同），那么面力作用點近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但是遠處所受的影響可以不計。圣維南原理可以大大簡化局部邊界上的應(yīng)力邊界條件，為計算帶來了很大便利。第二十二頁，共一百零四頁，2022年，8月28日FFFF/2FF/2F/2F/2F/2F/2FF/AF/A應(yīng)力分析第二十三頁，共一百零四頁，2022年，8月28日1、不能離開“靜力等效”的條件（力等效、力矩等效）；2、不僅變換的面力必須與原面力靜力等效，而且只能在局部邊界上進行靜力等效變換。原理中提到的“近處”也是指局部邊界的附近區(qū)域（根據(jù)實際經(jīng)驗，這個區(qū)域一般是變換面力邊界的1～2倍范圍內(nèi)，此范圍外可以認為是“遠處”）。3、圣維南原理指出：在近處范圍內(nèi)，應(yīng)力隨面力的變換發(fā)生顯著變化；此范圍外對應(yīng)力的影響很小，可略。即：在小邊界上進行面力的靜力等效變換，僅僅改變局部區(qū)域的應(yīng)力分布，對其他大部分區(qū)域的應(yīng)力沒有顯著影響。應(yīng)用圣維南原理必須注意：第二十四頁，共一百零四頁，2022年，8月28日如果物體一小部分邊界上的面力是一個平衡力系（應(yīng)力主矢量和主矩都等于零），那么，這個面力就只會使近處產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，遠處的應(yīng)力可以不計。如：pp圣維南原理的推廣（局部影響原理）：第二十五頁，共一百零四頁，2022年，8月28日yOxh/2h/2llMydy第二十六頁，共一百零四頁，2022年，8月28日Oxh/2h/2llMydy第二十七頁，共一百零四頁，2022年，8月28日Oxyh/2h/2llMydy第二十八頁，共一百零四頁，2022年，8月28日虛功原理及虛功方程圖示一平衡的杠桿，對C點寫力矩平衡方程：杠桿繞支點轉(zhuǎn)動，位移位：則：上式以功的形式表述：圖a的平衡力系在圖b的位移上作功時，功的總和必須等于零，叫虛功原理第二十九頁，共一百零四頁，2022年，8月28日虛功原理進一步分析。當杠桿處于平衡狀態(tài)時，和這兩個位移是不存在的，但是如果某種原因，例如人為地振一下讓它傾斜，一定滿足上式的關(guān)系。將這個客觀存在的關(guān)系抽象成一個普遍的原理，去指導(dǎo)分析和計算結(jié)構(gòu)。對于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮它是否真正發(fā)生了位移，而假想它發(fā)生了位移，(由于是假想，故稱為虛位移)，那么，物體上所有的力在這個虛位移上的總功必定等于零。這就叫做虛位移原理，也稱虛功原理。在圖1-8a中的PA和PB所作的功就不是發(fā)生在它本身(狀態(tài)a)的位移上，(因為它本身是平衡的不存在位移)，而是在狀態(tài)(b)的位移上作的功?？梢?，這個位移對于狀態(tài)(a)來說就是虛位移，亦即是狀態(tài)(a)假象的位移。第三十頁，共一百零四頁，2022年，8月28日虛功原理

必須指出，虛功原理的應(yīng)用范圍是有條件的，它所涉及到的兩個方面，力和位移并不是隨意的。對于力來講，它必須是在位移過程中處于平衡的力系；對于位移來講，雖然是虛位移，但并不是可以任意發(fā)生的。它必須是和約束條件相符合的微小的剛體位移。還要注意，當位移是在某個約束條件下發(fā)生時，則在該約束力方向的位移應(yīng)為零，因而該約束力所作的虛功也應(yīng)為零。這時該約束力叫做被動力。(如圖1-8中，支點C沒有位移，故反力所作的虛功等于零)。反之，如圖1-8中的PA和PB是在位移過程中作功的力，稱為主動力。因此，在平衡力系中應(yīng)當分清楚哪些是主動力，哪些是被動力，而在寫虛功方程時，只有主動力作虛功，而被動力是不作虛功的。第三十一頁，共一百零四頁，2022年，8月28日虛功原理虛功原理表述如下：在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系，當發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的剛體位移時，體系上所有的主動力在位移上所作的總功(各力所作的功的代數(shù)和)恒對于零。虛功原理用公式表示為：這就是虛功方程，其中P和相應(yīng)的代表力和虛位移。第三十二頁，共一百零四頁，2022年，8月28日彈性體的虛功原理虛功方程是按剛體的情況得出的，即假設(shè)圖1-8的杠桿是絕對剛性，沒有任何的變形，因而在方程中沒有內(nèi)功項出現(xiàn)，而只有外功項。將虛功原理用于彈性變形時，總功W要包括外力功(T)和內(nèi)力功(U)兩部分，即：W=T-U；內(nèi)力功(-U)前面有一負號，是由于彈性體在變形過程中，內(nèi)力是克服變形而產(chǎn)生的，所有內(nèi)力的方向總是與變形的方向相反，所以內(nèi)力功取負值。根據(jù)虛功原理，總功等于零得：T-U=0

外力虛功T=內(nèi)力虛功U

彈性力學(xué)中的虛功原理可表達為：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體，如果發(fā)生了虛位移，那么所有的外力在虛位移上的虛功(外力功)等于整個彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功(內(nèi)力功)。第三十三頁，共一百零四頁，2022年，8月28日彈性體的虛功原理圖示i點外力分量為，j點外力分量為外力分量用表示，相應(yīng)引起的內(nèi)力分量用表示第三十四頁，共一百零四頁，2022年，8月28日第三十五頁，共一百零四頁，2022年，8月28日彈性體的虛功原理在虛位移發(fā)生時，外力在虛位移上的虛功為：同樣，在虛位移發(fā)生時，彈性體單位體積內(nèi)，應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功為：因此，在整個彈性體內(nèi)，應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功為：根據(jù)虛功原理：這就是彈性變形體的虛功議程，通過虛位移和虛應(yīng)變表明外力與應(yīng)力之間的關(guān)系第三十六頁，共一百零四頁，2022年，8月28日彈性體的虛功原理應(yīng)該指出，在虛位移發(fā)生時，約束力(支座反力)不做功的，因為約束力在其所約束的方向是沒有位移的。但是如果解除了某一個約束，而代之以約束力，那么，在虛位移發(fā)生時，這個約束力就要在相應(yīng)的虛位移上做虛功，而這個約束力的分量及其相應(yīng)的虛位移分量就應(yīng)當作為列矩陣及中的元素進入虛功方程。第三十七頁，共一百零四頁，2022年，8月28日從幾何方程可知，應(yīng)變與位移的關(guān)系，三個方程、兩個未知量，則方程組存在矛盾的可能。為解決此問題，補充一個方程，這個補充方程可以從幾何方程和物理方程中消去位移分量和形變分量來得到。下面來看一看具體步驟：首先從幾何方程中消去位移分量。幾何方程：（2-16）

,,3.5、相容方程。第三十八頁，共一百零四頁，2022年，8月28日對y求二階導(dǎo)數(shù)對x求二階導(dǎo)數(shù)+==(形變協(xié)調(diào)方程或相容方程)第三十九頁，共一百零四頁，2022年，8月28日相容方程的意義：在連續(xù)性假定下，物體的變形滿足幾何方程，并且形變分量不是互相獨立的，它們之間是相關(guān)的，必須滿足相容方程給出的條件，才能保證對應(yīng)的位移分量u和v的存在。如果形變分量是任意選取的，不滿足相容方程，則根據(jù)三個幾何方程中的任何兩個求出的位移分量必將和第三個方程相矛盾。即：不滿足相容方程的形變分量在物體中不存在，也求不出對應(yīng)的位移分量。下面來看一看例子：第四十頁，共一百零四頁，2022年，8月28日形變分量為：,,顯然該形變分量不滿足相容方程()根據(jù)幾何方程：可知，應(yīng)該是一個“y的函數(shù)+x的函數(shù)”的形式，不應(yīng)該含xy項，這和相矛盾。

僅為y的函數(shù)

僅為x的函數(shù)驗證其是否滿足相容方程第四十一頁，共一百零四頁，2022年，8月28日相容方程是用應(yīng)變分量表達的，下面我們把物理方程代入上式，從中消去形變分量，得到用應(yīng)力分量表達的相容方程。對于平面應(yīng)力問題，物理方程為：將其代入相容方程得：用應(yīng)力表達的相容方程。第四十二頁，共一百零四頁，2022年，8月28日應(yīng)用平衡方程可以將上式進一步簡化：消去第四十三頁，共一百零四頁，2022年，8月28日得到以下方程：上式即為用應(yīng)力表示的相容方程。以上的推導(dǎo)過程是針對平面應(yīng)力問題進行的，對于平面應(yīng)變問題，只須做如下變換：，即可得到平面應(yīng)變情況下的應(yīng)力相容方程：第四十四頁，共一百零四頁，2022年，8月28日相容方程的物理意義可以從以下兩個方面說明：

1、相容方程是連續(xù)體中位移連續(xù)性的必然結(jié)果。在物體的連續(xù)性假定下，位移分量u和v必然是連續(xù)的，由此可以導(dǎo)出幾何方程，并進一步導(dǎo)出相容方程。

2、相容方程是形變對應(yīng)的位移存在且連續(xù)的必要條件。當形變分量滿足了相容方程后，我們就能求出對應(yīng)的位移分量，也就是說，對應(yīng)的位移存在而且必然連續(xù)。反之，不滿足相容方程的形變分量，不是物體中實際存在的，也求不出對應(yīng)的位移。定性地說就是：在變形前，物體內(nèi)各微分體之間是連續(xù)的。在變形后，各微分體都發(fā)生了變形，只有當形變分量滿足相容方程的情況下，各微分體才能保持連續(xù)，既不互相重疊，也不互相脫離。下面我們從一個結(jié)構(gòu)力學(xué)中的例子來理解一下這個含義。第四十五頁，共一百零四頁，2022年，8月28日123圖中三個連桿在變形前共同鉸接于點。受力后發(fā)生變形，必然在繼續(xù)保持共點，也就是說，三根桿之間的形變之間必須保持協(xié)調(diào)。第四十六頁，共一百零四頁，2022年，8月28日本節(jié)內(nèi)容需重點掌握：1、圣維南原理的內(nèi)容、應(yīng)用圣維南原理時必須注意的問題。

2、虛功原理。

3、相容方程的意義，判斷應(yīng)變分量是否滿足相容方程第四十七頁，共一百零四頁，2022年，8月28日作業(yè)驗證下面的應(yīng)變分量是否可能發(fā)生：式中a為常數(shù)第四十八頁，共一百零四頁，2022年，8月28日1、位移法（按位移求解）—取位移分量為基本未知量(函數(shù))，從各方程和邊界條件中消去應(yīng)力和形變分量，導(dǎo)出只含有位移分量的方程(函數(shù))和邊界條件。由此解出位移分量，并進而求出形變分量和應(yīng)力分量。（類似于結(jié)構(gòu)力學(xué)中的位移法）2、應(yīng)力法（按應(yīng)力求解）—取應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，從各方程和邊界條件中消去位移和形變分量，導(dǎo)出只含有應(yīng)力分量的基本方程和邊界條件。由此解出應(yīng)力分量，并進而求出形變分量和位移分量。（類似于結(jié)構(gòu)力學(xué)中的力法）

平面問題的求解方法分為兩大類第四十九頁，共一百零四頁，2022年，8月28日2、平面問題基本方程：平衡微分方程：幾何方程：物理方程：第五十頁，共一百零四頁，2022年，8月28日

平面問題中共有8個未知函數(shù)：3個應(yīng)力分量、3個形變分量、2個位移分量。它們必須滿足彈性體區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程、幾何方程、物理方程以及邊界上的應(yīng)力或位移邊界條件。應(yīng)力邊界條件：位移邊界條件：第五十一頁，共一百零四頁，2022年，8月28日下面以平面應(yīng)力問題為例，看一看按位移求解的基本步驟。1、取u和v為基本未知函數(shù)。2、將其他未知函數(shù)用基本未知函數(shù)u和v表示。首先，直接采用幾何方程將形變分量用u和v表示。其次，將應(yīng)力分量用u和v表示。這一過程可分兩步：先用物理方程將應(yīng)力分量用形變分量來表示。即§3.6按位移求解平面問題第五十二頁，共一百零四頁，2022年，8月28日將幾何方程代入上式，將應(yīng)力分量進一步用u和v來表示。即第五十三頁，共一百零四頁，2022年，8月28日第五十四頁，共一百零四頁，2022年，8月28日3、將用位移分量表示的應(yīng)力分量代入?yún)^(qū)域內(nèi)的平衡微分方程，得到用位移分量表示的平衡微分方程：在上的位移邊界條件仍然表示為：第五十五頁，共一百零四頁，2022年，8月28日4、將用位移分量表示的應(yīng)力分量代入上的應(yīng)力邊界條件，得到用位移分量表示的應(yīng)力邊界條件：在上的位移邊界條件仍然表示為：,第五十六頁，共一百零四頁，2022年，8月28日

歸納起來講，平面應(yīng)力問題按位移求解方法，就是要使位移分量u和v滿足區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程，并在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件，在上滿足位移邊界條件。解出位移分量后，在根據(jù)幾何方程求出形變分量，進而根據(jù)物理方程求出應(yīng)力分量。平面應(yīng)變問題步驟類似，只須做簡單變換：，位移法是彈性力學(xué)的一種基本解法，能適應(yīng)各種邊界條件問題的求解。但由于用位移分量表示的基本方程和邊界條件形式比較復(fù)雜，因此求解較為困難，已經(jīng)得出的函數(shù)解答很少。第五十七頁，共一百零四頁，2022年，8月28日yOxh

例題：上端為固定,下端為自由,受自重體力:

例題求解：本例問題可簡化為y方向上的一維問題，設(shè)：u=0,v=v(y),泊松比μ=0，代入位移分量表示的平衡方程：第五十八頁，共一百零四頁，2022年，8月28日yOxh例題求解：本例問題可簡化為y方向上的一維問題，設(shè)：u=0,v=v(y),泊松比μ=0，代入位移分量表示的平衡方程：第一式自然滿足，由第二式得：上邊：下邊：

由物理方程得第五十九頁，共一百零四頁，2022年，8月28日yOxh上邊：下邊：第六十頁，共一百零四頁，2022年，8月28日§3.7按應(yīng)力求解平面問題

按應(yīng)力求解的方法，我們?nèi)砸云矫鎽?yīng)力問題為例（對于平面應(yīng)變問題，只需將E,μ作簡單變換即可）闡述其基本步驟：

1、取和為基本未知函數(shù)。2、將其他未知函數(shù)用應(yīng)力表示。形變分量可通過物理方程用應(yīng)力來表示，再由形變分量求解位移分量。這是一個積分過程，因此，位移分量用應(yīng)力分量表示的公式一般含有積分帶來的未定項，形式比較復(fù)雜。這就使得位移邊界條件用應(yīng)力分量來表示時既復(fù)雜又難以求解。因此，再按應(yīng)力求解彈性力學(xué)問題時，我們通常只考慮全部為應(yīng)力邊界條件的問題。第六十一頁，共一百零四頁，2022年，8月28日

兩個平衡微分方程中只包含應(yīng)力分量，可以作為求解應(yīng)力的分量。但應(yīng)力分量有三個，方程只有兩個，還缺少一個方程。這個補充方程可以從幾何方程和物理方程中消去位移分量和形變分量來得到。就是變形協(xié)調(diào)方程或相容方程。3、在彈性體區(qū)域內(nèi)導(dǎo)出求解應(yīng)力的基本方程第六十二頁，共一百零四頁，2022年，8月28日應(yīng)用平衡方程可以將上式進一步簡化：消去第六十三頁，共一百零四頁，2022年，8月28日得到以下方程：上式即為用應(yīng)力表示的相容方程。以上的推導(dǎo)過程是針對平面應(yīng)力問題進行的，對于平面應(yīng)變問題，只須做如下變換：，即可得到平面應(yīng)變情況下的應(yīng)力相容方程：第六十四頁，共一百零四頁，2022年，8月28日4、應(yīng)力邊界條件。如果全部邊界上均為應(yīng)力邊界條件，則有：第六十五頁，共一百零四頁，2022年，8月28日2、按應(yīng)力求解平面問題（平面應(yīng)力問題），取應(yīng)力分量和為基本未知函數(shù)，且應(yīng)力分量必須滿足下列全部條件：

(1)平衡微分方程(2)相容方程(4)若為多連體，還須滿足位移單值條件。(3)應(yīng)力邊界條件(假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件)第六十六頁，共一百零四頁，2022年，8月28日單連體多連體第六十七頁，共一百零四頁，2022年，8月28日小結(jié)1、按位移求解平面問題（平面應(yīng)力問題），取位移分量u和v為基本未知函數(shù)，u和v

必須滿足下列全部條件：

(1)用位移表示的平衡微分方程(2)用位移表示的應(yīng)力邊界條件(3)位移邊界條件：,第六十八頁，共一百零四頁，2022年，8月28日2、按應(yīng)力求解平面問題（平面應(yīng)力問題），取應(yīng)力分量和為基本未知函數(shù)，且應(yīng)力分量必須滿足下列全部條件：

(1)平衡微分方程(2)相容方程(4)若為多連體，還須滿足位移單值條件。(3)應(yīng)力邊界條件(假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件)第六十九頁，共一百零四頁，2022年，8月28日本節(jié)需重點掌握的內(nèi)容：1、按位移求解平面問題的步驟及基本未知函數(shù)須滿足的條件；2、按應(yīng)力求解平面問題的步驟及基本未知函數(shù)須滿足的條件。第七十頁，共一百零四頁，2022年，8月28日§3.7常體力情況下的簡化——應(yīng)力函數(shù)第七十一頁，共一百零四頁，2022年，8月28日§3.7常體力情況下的簡化——應(yīng)力函數(shù)

在很多的工程問題中，體力為常量，即體力分量和不隨坐標x

和y

而變化。例如重力和常加速度下平行移動時的慣性力，就是常見的常量體力。在體力為常量的情況下，彈性力學(xué)問題的求解可以得到大大簡化。在介紹本節(jié)內(nèi)容之前，為了便于理解，我們把前面幾節(jié)學(xué)過的彈性力學(xué)平面問題的基本方程、邊界條件等知識再簡單回顧一下。第七十二頁，共一百零四頁，2022年，8月28日2、按應(yīng)力求解平面問題（平面應(yīng)力問題），取應(yīng)力分量和為基本未知函數(shù)，且應(yīng)力分量必須滿足下列全部條件：

(1)平衡微分方程(2)相容方程(4)若為多連體，還須滿足位移單值條件。(3)應(yīng)力邊界條件(假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件)第七十三頁，共一百零四頁，2022年，8月28日5、按應(yīng)力求解時的相容方程（形變協(xié)調(diào)方程）（2-21）

（二）平面應(yīng)變問題（2-22）

（一）平面應(yīng)力問題第七十四頁，共一百零四頁，2022年，8月28日常體力情況下的簡化在常體力情況下，相容方程（2-21）和（2-22）的右邊成為零，因此兩種平面問題的相容方程都簡化為即：在常體力情況下，應(yīng)當滿足拉普拉斯微分方程即調(diào)和方程，也就是說，應(yīng)當是調(diào)和函數(shù)。為了書寫方便，以下用記號代表，則上式可簡寫為（2-23）

第七十五頁，共一百零四頁，2022年，8月28日考察平面問題的平衡微分方程、相容方程和應(yīng)力邊界條件可以看出，在體力為常量的情況下，上述各式中都不包含彈性常數(shù)，因而以上方程和邊界條件對于兩種平面問題都是相同的。因此可以得出如下結(jié)論：

當體力為常量時，在單連體的應(yīng)力邊界問題中，如果兩個彈性體具有相同的邊界形狀，并受到同樣分布的外力作用，那么，不管這兩個彈性體的材料是否相同，也不管它們是在平面應(yīng)力情況下還是在平面應(yīng)變情況下，應(yīng)力分量和的分布是相同的。

注意：兩種平面問題中的應(yīng)力分量、以及形變和位移卻不一定相同。第七十六頁，共一百零四頁，2022年，8月28日根據(jù)以上結(jié)論，如果物體邊界相同且受同樣外力作用，則：

2、針對平面應(yīng)力問題而求出的應(yīng)力分量同樣也適用于平面應(yīng)變問題。

1、由某種材料構(gòu)成的物體求出的應(yīng)力分量同樣也適用于其他材料構(gòu)成的物體；上述特點給彈性力學(xué)試驗應(yīng)力分析及其在工程上的應(yīng)用帶來了極大的便利和經(jīng)濟效益。比如：在用實驗方法量測結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的應(yīng)力分量時，可以用便于加工和量測的材料來制造模型，以代替原來不便于加工和量測的材料；也可用低廉的材料代替昂貴的材料。又如，我們還可以用平面應(yīng)力情況下的薄板模型來代替平面應(yīng)變情況下的長柱形結(jié)構(gòu)或構(gòu)件。第七十七頁，共一百零四頁，2022年，8月28日光彈試驗示意圖第七十八頁，共一百零四頁，2022年，8月28日由以上討論可見，在體力為常量的情況下，按應(yīng)力求解應(yīng)力邊界問題時，應(yīng)力分量和應(yīng)當滿足平衡微分方程（a）

以及相容方程（b）

在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件。多連體須滿足位移單值條件。第七十九頁，共一百零四頁，2022年，8月28日平衡微分方程（a）是一個非齊次微分方程組，由高等數(shù)學(xué)知識可知，該方程組的解答包含兩部分：任意一個特解+對應(yīng)的齊次微分方程組的通解。特解可取:,,或者:,,或者:

,第八十頁，共一百零四頁，2022年，8月28日（c）

對應(yīng)的齊次方程為:

彈性力學(xué)問題中偏微分方程組的求解一般都很復(fù)雜，英國數(shù)學(xué)家艾里對此進行了研究，給出了一種簡化的解法。第八十一頁，共一百零四頁，2022年，8月28日艾里（G.B.Airy）（1801-1892）英國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家1862年，發(fā)表了關(guān)于彈性力學(xué)的平面理論，提出了應(yīng)力函數(shù)解法。第八十二頁，共一百零四頁，2022年，8月28日求解:

設(shè)函數(shù),根據(jù)微分方程理論，在二階混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件下,該函數(shù)對x,y

的二階混合偏導(dǎo)數(shù)具有相容性，即求導(dǎo)結(jié)果與求導(dǎo)次序無關(guān)。根據(jù)這一性質(zhì)，假如函數(shù)C和D滿足:則一定存在某一函數(shù)

f，使得,

第八十三頁，共一百零四頁，2022年，8月28日將齊次微分方程組（c）的第一個方程改寫為由上述分析可知，一定存在某一個函數(shù)，使得下面兩式成立，同理，將齊次微分方程組的第二個方程改寫為則一定也存在某一個函數(shù)，使得，第八十四頁，共一百零四頁，2022年，8月28日考察方框內(nèi)公式，可以很顯然得到：再次應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)的相容性必然存在某個函數(shù)，使得

第八十五頁，共一百零四頁，2022年，8月28日將A、B代回、、的表達式可得：第八十六頁，共一百零四頁，2022年，8月28日將A、B代回、、的表達式可得：齊次方程的通解，，將此通解與任一組特解相疊加，即得到平衡微分方程的全解：，，第八十七頁，共一百零四頁，2022年，8月28日這里的函數(shù)稱為平面問題的應(yīng)力函數(shù)，又稱為艾里應(yīng)力函數(shù)（Airystressfunction）艾里在1862年首先提出這個概念。由于上述全解是從平衡微分方程得出的解答，所以必然滿足該方程。同時，推導(dǎo)全解的過程本身也證明了應(yīng)力函數(shù)的存在性。特別需要指出的是，雖然應(yīng)力函數(shù)依然是一個待定的未知函數(shù)，但是三個應(yīng)力分量，和用來表示后，可以使平面問題的求解得到很大的簡化：待求的未知函數(shù)從3個變?yōu)?個，并從求解應(yīng)力分量，和變換為求解應(yīng)力函數(shù)。第八十八頁，共一百零四頁，2022年，8月28日應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足的條件全解中所表示的應(yīng)力分量應(yīng)該滿足相容方程：將的應(yīng)力函數(shù)表達代入上式得：常量第八十九頁，共一百零四頁，2022年，8月28日進一步簡化：上式即為應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程。從中可看出：應(yīng)力函數(shù)應(yīng)當滿足重調(diào)和方程，也就是說，它是重調(diào)和函數(shù)。綜上所述，在常體力的情況下，彈性力學(xué)平面問題中存在著一個應(yīng)力函數(shù)。按應(yīng)力求解平面問題，可以歸納為求解一個應(yīng)力函數(shù)，并使其滿足以下條件:(1)區(qū)域內(nèi)的相容方程；(3)對于多連體，還必須滿足位移單值條件。

(2)邊界上的應(yīng)力邊界條件(設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件)；第九十頁，共一百零四頁，2022年，8月28日應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程第九十一頁，共一百零四頁，2022年，8月28日小結(jié)1、常體力情況下，相容方程簡化為（調(diào)和方程）2、如果滿足以下三個條件：（1）體力為常量；（2）邊界形狀相同且均為應(yīng)力邊界條件（無位移條件）；（3）彈性體為單連體（位移單值條件自然滿足）。則求解應(yīng)力分量和的平衡微分方程、相容方程、應(yīng)力邊界條件中均不包含任何彈性常數(shù)，得出的應(yīng)力分量與彈性常數(shù)無關(guān)。這一特點帶來了兩個便利：第九十二頁，共一百零四頁，2022年，8月28日(a)對于不同材料，應(yīng)力分量的理論解答相同。在用試驗方法量測應(yīng)力時可以用其他模型材料代替；(b)兩類平面問題的應(yīng)力解答相同，理論解可以通用。在進行模型試驗時可以用平面應(yīng)力模型取代平面應(yīng)變模型，簡化模型的制作和加載。