貝葉斯統(tǒng)計學

優(yōu)選貝葉斯統(tǒng)計學第一頁，共一百二十六頁。2023/2/722.1條件方法未知參數(shù)θ的后驗分布是集總體、樣本和先驗三種信息于一身，是將三種信息進行有效綜合的結(jié)果，反映了我們所能了解的有關(guān)θ的全部信息。應該說給統(tǒng)計推斷提供了更有利條件。----條件方法正是充分利用這一條件的方法。后驗分布是在樣本x給定下θ的條件分布，基于后驗分布的統(tǒng)計推斷就意味著只考慮已經(jīng)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)（樣本觀測值），而認為未出現(xiàn)的數(shù)據(jù)與推斷無關(guān)，這一重要的觀點被稱為“條件觀點”，基于這種觀點提出的統(tǒng)計推斷方法被稱為條件方法。第二頁，共一百二十六頁。2023/2/73經(jīng)典統(tǒng)計中統(tǒng)計推斷的簡單回顧經(jīng)典統(tǒng)計統(tǒng)計推斷過程：總體樣本樣本數(shù)據(jù)x統(tǒng)計量T統(tǒng)計量分布已知未知樞軸統(tǒng)計量樞軸統(tǒng)計分布推斷第三頁，共一百二十六頁。2023/2/74條件方法統(tǒng)計推斷過程綜合總體信息、樣本信息和先驗信息得到后驗分布?；诤篁灧植?，在已出現(xiàn)的樣本基礎上推斷總體參數(shù)。對統(tǒng)計推斷的結(jié)果，不認為所謂無偏性是優(yōu)良估計的評價標準。第四頁，共一百二十六頁。2023/2/752.2貝葉斯點估計貝葉斯點估計的含義最大后驗估計條件期望估計貝葉斯估計誤差第五頁，共一百二十六頁。2023/2/761.貝葉斯估計的含義定義：設θ總體分布中的參數(shù)，若事先從該總體中抽得一個樣本，同時根據(jù)θ的先驗信息選擇一個先驗分布，在貝葉斯公式的基礎上計算后驗分布，這種對θ的所有推斷估計都依據(jù)后驗分布進行估計方法統(tǒng)稱為貝葉斯估計。貝葉斯估計的分類：①首先與經(jīng)典統(tǒng)計一樣，貝葉斯估計也可按照方式分----點估計和區(qū)間估計。②按照估計的具體方法分----最大后驗估計、條件期望估計和后驗中位數(shù)估計。第六頁，共一百二十六頁。2023/2/772.最大后驗估計若使得則稱為θ的最大后驗估計。顯然，最大后驗估計的特殊情形是當先驗分布時最大后驗分布就是經(jīng)典統(tǒng)計中的最大似然估計。第七頁，共一百二十六頁。2023/2/78一般來說，由于后驗分布中，蘊含了抽樣信息、先驗信息和總體信息，其估計應該比經(jīng)典統(tǒng)計中的“極大似然估計”要好。在“無信息”的條件下，最大后驗估計即為最大似然估計。其他情況下，應該比其更好。

第八頁，共一百二十六頁。2023/2/79例：設是來自正態(tài)分布的樣本，其中已知。又設的先驗分布為求的最大后驗估計。解：由題意知其先驗分布為第九頁，共一百二十六頁。2023/2/710∴

兩邊取對數(shù)得：

第十頁，共一百二十六頁。2023/2/711為了求上式的最大值，對上式求的導數(shù)，并令導數(shù)為0,則：

解得：

第十一頁，共一百二十六頁。2023/2/712按照教材的假設，若取為一兒童智力測驗結(jié)果的分布，

為先驗分布，在n=1時可得X=x的條件下該兒童智商的后驗分布是正態(tài)布,且有

當x等于某一具體值時，按此立刻估計出智商水平。此外，在正態(tài)分布條件下，中位數(shù)、眾數(shù)和期望相等，因此最大后驗估計也就是條件期望估計和后驗中位數(shù)估計。第十二頁，共一百二十六頁。2023/2/713例：（1）設是來自正態(tài)總體的樣本，又設的先驗分布為求的最大后驗估計。

（2）若記，設的先驗分布為，求的最大后驗估計。

解：（1）樣本的似然函數(shù)為：

第十三頁，共一百二十六頁。2023/2/714當?shù)南闰灧植紴闀r，其后驗分布為

兩邊去對數(shù)有

所以

第十四頁，共一百二十六頁。2023/2/715

（2）同理，可得樣本的似然函數(shù)為

當?shù)南闰灧植紴闀r，其后驗分布為

第十五頁，共一百二十六頁。2023/2/716取對數(shù)，并對求導則有

所以，有的最大后驗估計為

可見和的最大后驗估計是不同的。第十六頁，共一百二十六頁。2023/2/7173.條件期望估計（后驗期望估計）定義：設后驗分布為，如果滿足：則稱為的條件期望估計。第十七頁，共一百二十六頁。2023/2/718例：設服從二項分布，又設的先驗分布為，求的最大后驗估計，條件期望估計。

解：①由以上知識知，樣本似然函數(shù)為

取的先驗分布為貝塔分布

第十八頁，共一百二十六頁。2023/2/719∴后驗分布密度為

∴

的最大后驗估計為

第十九頁，共一百二十六頁。2023/2/720當時，先驗分布為，也即均勻分布因此，的最大后驗分布為

此即為經(jīng)典統(tǒng)計學中的極大似然估計。

②由以上知，

可見，后驗密度為，其條件期望估計為

第二十頁，共一百二十六頁。2023/2/721例：設是來自poisson分布總體

的樣本，又設的先驗分布為，求參數(shù)的后驗期望估計。

解：樣本似然函數(shù)為

其中。而其給定的先驗分布為

第二十一頁，共一百二十六頁。2023/2/722∴后驗分布為

這仍然是伽瑪分布的“核”，所以的后驗期望估計為

第二十二頁，共一百二十六頁。2023/2/7234.貝葉斯估計的誤差引子：設是的一個貝葉斯估計，在樣本給定時，是一個具體的數(shù)。在取得后驗分布以后，評價一個估計的好壞，一般計算對的后驗均方差或后驗標準差。這就是貝氏統(tǒng)計評價標準。說明：在評價一個估計時，經(jīng)典統(tǒng)計中是利用所謂所謂幾個優(yōu)良標準：即無偏性、一致性和有效性。但貝葉斯統(tǒng)計并不接受這些所謂的標準。因為他們是建立所有樣本的基礎之上的理論。第二十三頁，共一百二十六頁。2023/2/724定義1：設參數(shù)的后驗分布

貝葉斯估計為，則的后驗期望

稱為的后驗均方差。其平方根

稱為的后驗標準誤差。定義2:當為的后驗期望估計時，則稱為后驗方差。其中，其平方根稱為后驗標準差。第二十四頁，共一百二十六頁。2023/2/725均方差和后驗方差有如下關(guān)系：

第二十五頁，共一百二十六頁。2023/2/726

這表明當為后驗期望估計時，可是后驗均方差達到最小，所以實際中常使用后驗期望估計作為的估計。因此后驗期望估計一般優(yōu)于最大后驗估計。

第二十六頁，共一百二十六頁。2023/2/727例：設一批產(chǎn)品不合格率為θ，檢查是一個接一個地進行，直到發(fā)現(xiàn)第一個不合格聘停止檢查，若設x為發(fā)現(xiàn)第一個不合格品時，已檢查的產(chǎn)品數(shù)，則x服從幾何分布，其概率分布為

現(xiàn)假如其中參數(shù)θ只能以相同的概率取1/4,2/4和3/4三個值，現(xiàn)只獲得一個樣本觀察值x=3,要求θ的最大后驗估計，并計算他的誤差。

第二十七頁，共一百二十六頁。2023/2/728解：顯然，有題設條件有：θ的先驗分布為

在θ給定的條件下，x=3的條件概率分布為

于是其聯(lián)合概率分布為

第二十八頁，共一百二十六頁。2023/2/729所以，x=3的邊緣概率分布為

所以在x=3的條件下，θ的后驗分布為

i=1,2,3第二十九頁，共一百二十六頁。2023/2/730所以，θ的概率分布表為

可見θ的最大后驗估計。

上述后驗分布的均值和方差可計算：

θ1/42/43/49/208/203/20第三十頁，共一百二十六頁。2023/2/731所以，后驗均方差為

后驗標準誤為：

第三十一頁，共一百二十六頁。2023/2/7322.3區(qū)間估計引子可信區(qū)間最大后驗可信區(qū)間第三十二頁，共一百二十六頁。2023/2/7331.引子概述：對于區(qū)間估計問題，貝葉斯方法比經(jīng)典統(tǒng)計方法易于處理，因為參數(shù)θ是一個隨機變量，且經(jīng)過計算后，它的后驗分布已知，所以θ落在某一區(qū)間的概率是容易確定的。經(jīng)典統(tǒng)計將θ看作常量由此產(chǎn)生了置信概率計算上的困難。如計算在區(qū)間（a,b）上的概率，反之也易。第三十三頁，共一百二十六頁。2023/2/734說明：經(jīng)典統(tǒng)計中對所作的區(qū)間估計稱作置信區(qū)間。其本質(zhì)是將1-α的保證概率（置信概率）放在中間，兩邊各留出α/2的概率作為顯著性水平，在大多數(shù)統(tǒng)計學中經(jīng)典統(tǒng)計都回避了這一本質(zhì)（討論其他情況太復雜）。因為實際上這樣得到的所謂置信區(qū)間未必就是可行、可信和最優(yōu)的估計區(qū)間。這樣所作的置信區(qū)間也實際建立概率密度是單峰、連續(xù)和對稱條件下的一種估計。由于貝葉斯統(tǒng)計處理上的簡化，所以它對區(qū)間估計處理和認識要細致一些。第三十四頁，共一百二十六頁。2023/2/735貝葉斯統(tǒng)計中區(qū)間估計的分類：以上無論哪一種可信區(qū)間都可以說θ落在某一區(qū)間。而經(jīng)典統(tǒng)計絕對不能這樣說。第三十五頁，共一百二十六頁。2023/2/7362.可信區(qū)間定義：設參數(shù)θ的后驗分布為，對于給定的樣本和概率1-α（0<α<1）,若存在這樣的兩個統(tǒng)計量,使得則稱區(qū)間為參數(shù)θ的可信水平為1-α的貝葉斯可信區(qū)間。當將可信水平置于中間所得的可信區(qū)間為同等可信區(qū)間（由于大多屬于此類，通常將此類簡稱可信區(qū)間）。為可信上、下限。當滿足即當（）時，稱區(qū)間為（單側(cè)）上側(cè)可信區(qū)間。此時稱為（單側(cè)）可信下限。第三十六頁，共一百二十六頁。2023/2/737當滿足即當（）時，稱區(qū)間為（單側(cè)）下側(cè)可信區(qū)間。此時稱為（單側(cè)）可信上限。第三十七頁，共一百二十六頁。2023/2/738例：對正態(tài)分布作觀察，獲得三個觀察值：2、4、3,若θ的先驗分布為，求θ的0.95的可信區(qū)間。

解：由以前知識知道，先驗分布是參數(shù)θ的共軛先驗分布，所以其后驗分布為,且

第三十八頁，共一百二十六頁。2023/2/739相應

即后驗分布為，所以

顯然可查的所以

第三十九頁，共一百二十六頁。2023/2/740即：θ的0.95的可信區(qū)間為

如果按經(jīng)典統(tǒng)計計算，則θ的0.95的置信區(qū)間為

第四十頁，共一百二十六頁。2023/2/741例：經(jīng)過早期篩選后的彩色電視機的壽命服從指數(shù)分布，其密度函數(shù)為,t>0。其中θ>0是彩電的平均壽命?，F(xiàn)從一批彩電中隨機地抽取n臺進行壽命實驗，試驗到第r（<n）臺失效為止，其失效時間為，另外n-r臺直到實驗停止時（）還未失效這樣的試驗稱為截尾壽命試驗，所得樣本成為截尾樣本，請確定彩電平均壽命θ的貝葉斯估計。

第四十一頁，共一百二十六頁。2023/2/742解：樣本聯(lián)合密度（似然函數(shù)）為

其中，

t>0

第四十二頁，共一百二十六頁。2023/2/743選用倒伽瑪分布作為θ的先驗分布，即

假定我們已經(jīng)從15個彩電廠收集到13142臺彩電的壽命試驗數(shù)據(jù)，共計5369812臺時，此外還對9240臺彩電進行了5547810臺時的三年跟蹤試驗，在此實驗中總共不超過250臺失效。由這些數(shù)據(jù)，專家確認我國彩電平均壽命不低于30000小時，10%的分位數(shù)大約為11250小時。由此我們可以確定其超參數(shù)：

第四十三頁，共一百二十六頁。2023/2/744所以，即先驗分布為

故后驗分布為

這仍然是一個倒伽瑪分布的核

取后驗分布均值（即作后驗期望估計）作為θ的貝葉斯估計有

當

代入上式有第四十四頁，共一百二十六頁。2023/2/745作θ的（單側(cè)）上側(cè)可信區(qū)間，如果相對應給出1-γ=0.9,則有

值得注意的是，按照教材：

①θ～IGa，則。

②則，所以，這里有

當

第四十五頁，共一百二十六頁。2023/2/746例：設來自正態(tài)總體

的樣本，其中已知，求的的可信區(qū)間。

（1）選用共軛先驗。

(2)選用廣義均勻分布作先驗分布。

第四十六頁，共一百二十六頁。2023/2/747解：顯然μ的可信區(qū)間與選用什么樣的先驗分布有關(guān)。我們來比較兩個不同的先驗分布給出的可信區(qū)間的差異。

1）選用共軛先驗分布作為共軛先驗分布。由以前知識可知，μ的后驗分布可為并且有：第四十七頁，共一百二十六頁。2023/2/748因此,給定1-α之后從標準正態(tài)分布N(0,1)的分布表上可查得1-α/2的分位點，所以

這樣很快就可得到μ的1-α的可信區(qū)間為

將和代入上式，有第四十八頁，共一百二十六頁。2023/2/749顯然，如果先驗分布非常分散（即對μ的先驗信息作用不大）則可考慮到下式成立此時，上述區(qū)間可為

這就是經(jīng)典統(tǒng)計的結(jié)果。第四十九頁，共一百二十六頁。2023/2/7502）選用廣義貝葉斯（廣義均勻分布）作為μ的先驗分布，即所以，在樣本給定（樣本均值是充分統(tǒng)計量）第五十頁，共一百二十六頁。2023/2/751即μ的后驗分布是正態(tài)分布所以

因此，在給定1-α以后第五十一頁，共一百二十六頁。2023/2/752相對應的可信區(qū)間為它與經(jīng)典統(tǒng)計結(jié)果一致。這說明，在沒有任何先驗信息可利用的條件下，只能靠樣本信息來估計時，就是經(jīng)典統(tǒng)計。第五十二頁，共一百二十六頁。2023/2/7533.最大后驗可信區(qū)間1）問題的提出及其含義2）定義3）最大后驗密度可信區(qū)間的計算第五十三頁，共一百二十六頁。2023/2/754問題提出及其含義首先對于給定的可信水平，事實上當把1-α放在不同的地方就會得到不同的區(qū)間。最基本的以正態(tài)分布為例，顯然當把1-α放在左邊和放在右邊所得到的可信區(qū)間（經(jīng)典統(tǒng)計中的置信區(qū)間）是不同的。常用的方法是放在中間。特別當后驗分布不是單峰，對稱和連續(xù)分布時上述區(qū)間就不一定是理想估計區(qū)間。理想的估計區(qū)間：應該是估計精度高、保證概率大。這就提出一個要求：我們所作的區(qū)間應該將密度值大的點包括在可信區(qū)間中——最大后驗可信區(qū)間第五十四頁，共一百二十六頁。2023/2/755定義設參數(shù)θ的后驗分布為，對于給定的概率1-α（0<α<1）若在直線上存在這樣一個子區(qū)間（子集）c，滿足下列兩個條件：

1.2.對于任意給定的，總有成立。則稱區(qū)間c為θ的可信水平為1-α的最大后驗密度可信集。若c是一個區(qū)間，則c又稱θ的1-α的最大后驗可信區(qū)間，簡稱為HPD可信區(qū)間。第五十五頁，共一百二十六頁。2023/2/756最大后驗可信區(qū)間的實際計算盡管最大后驗可信區(qū)間的理論分析是非常清楚，含義也很明確，但是實際計算存在困難。關(guān)鍵是要比較密度值的大小。對于θ的后驗分布實際上，有可能是離散分布、也可能是連續(xù)分布；也有可能是對稱分布，或者非對稱分布；還有可能是單峰的分布，或者多峰的分布。這些對于計算最大后驗可信區(qū)間都是由影響的。第五十六頁，共一百二十六頁。2023/2/757①當θ為離散隨機變量時，HPD可信區(qū)間很難直接找到（實現(xiàn)），操作上需要將所有θ的取值的相應概率進行比較。②當θ為連續(xù)型隨機變量，但后驗分布為多峰分布時，最大后驗可信區(qū)間c可能是幾個互不相連的幾個區(qū)間構(gòu)成。有人認為這樣計算的區(qū)間難度也很大，而實用性卻不高，因此甚至有人建議在這種情況下放棄計算最大后驗可信區(qū)間的準則。③當θ為連續(xù)型隨機變量，且后驗密度函數(shù)為單峰分布時，可采用計算機疊代逼近，計算HPD可信區(qū)間。特別是當后驗分布為對稱分布時，HPD可信區(qū)間是已于確定的——等尾可信區(qū)間。第五十七頁，共一百二十六頁。2023/2/758疊代方法步驟第一步，計算第二步，取，并計算由此得到。第三步，計算區(qū)間上的概率，即

第四步，若p(*)=1-α，則極為所求。若p(*)>1-α，則應減少并重復上述步驟。若p(*)<1-α，則應增加并重復上述步驟。第五十八頁，共一百二十六頁。2023/2/759例：在前面我們已經(jīng)確定了彩電平均壽命θ的后驗分布為倒伽碼分布即求θ的可信水平為0.9的PHD可信區(qū)間。解：θ的后驗密度為第五十九頁，共一百二十六頁。2023/2/760為了計算上的方便計算其分布函數(shù)求得取，所以有代入后驗密度函數(shù)有第六十頁，共一百二十六頁。2023/2/761所以，有區(qū)間

計算

故需增加的值，取即

相應地，有有區(qū)間

第六十一頁，共一百二十六頁。2023/2/762所以，增加

得到

所以所求的最大后驗可信區(qū)間為

第六十二頁，共一百二十六頁。2023/2/7632.4

假設檢驗1.概述2.貝葉斯因子3.假設檢驗的具體操作第六十三頁，共一百二十六頁。2023/2/7641.概述經(jīng)典統(tǒng)計中假設檢驗的處理方法貝葉斯假設檢驗問題處理的一般步驟貝葉斯假設檢驗與經(jīng)典統(tǒng)計相比存在的優(yōu)點第六十四頁，共一百二十六頁。2023/2/765經(jīng)典統(tǒng)計中假設檢驗的處理方法

1.建立原假設和備擇假設。2.選擇統(tǒng)計量，在原假設為真時，使其概率分布已知。3.對給定的顯著性水平，確定拒絕域W，使犯第一類錯誤的概率不超過。4.當由樣本所構(gòu)造的統(tǒng)計量值落入一個非常小的概率所對應的拒絕域W時，就不能接受原假設。相應只能更加相信備擇假設。第六十五頁，共一百二十六頁。2023/2/766貝葉斯假設檢驗問題處理的一般步驟1.根據(jù)有關(guān)理論，確定后驗分布。2.作假設：。3.計算后驗概率：。4.計算后驗機會比。5.判斷：當時，接受;當時，接受；當時，應增加樣本容量第六十六頁，共一百二十六頁。2023/2/767貝葉斯假設檢驗與經(jīng)典統(tǒng)計相比存在的優(yōu)點1.貝葉斯假設檢驗，過程簡便，含義直觀，思路清晰。2.貝葉斯假設檢驗無需事先給出顯著性水平。3.貝葉斯假設檢驗無需已知統(tǒng)計量及其對應的樞軸統(tǒng)計量的概率密度。第六十七頁，共一百二十六頁。2023/2/768例：設從正態(tài)總體中抽得樣本容量為10的樣本，并算得樣本均值為，設的先驗分布是，作下列貝葉斯假設檢驗：解：由共軛先驗分布有關(guān)知識知，后驗分布為且有：

第六十八頁，共一百二十六頁。2023/2/769所以故拒絕，相應接受。第六十九頁，共一百二十六頁。2023/2/770例：設是從二項分布中抽得的一個樣本，現(xiàn)考慮如下二個假設：其中，若取均勻分布作為θ的先驗分布，請據(jù)此作假設檢驗。解：由題設知，第七十頁，共一百二十六頁。2023/2/771∴后驗分布為貝塔分布即：第七十一頁，共一百二十六頁。2023/2/772當n=5時，數(shù)據(jù)見（mathcad中：貝塔分布計算表）由此可見，當x=0,1,2時，應該接受而當x=3,4,5時，應該拒絕接受。第七十二頁，共一百二十六頁。2023/2/773例：如上例類似，現(xiàn)設有一批產(chǎn)品的廢品率是θ，其先驗分布是均勻分布，從該批產(chǎn)品中有放回地抽取樣本容量為100的樣本，記其廢品數(shù)為x作下列貝葉斯假設檢驗：使制定一個抽樣方案，說明何時接，何時拒絕。解：因為是有放回抽樣，所以總體分布可以看作二項分布即x~當廢品數(shù)為x時，其樣本聯(lián)合分布為第七十三頁，共一百二十六頁。2023/2/774∴后驗分布也就是貝塔分布∴很快就有依此相應計算出。將和以及它們的比值分別計算出來（mathcad:貝塔分布計算表2）第七十四頁，共一百二十六頁。2023/2/775第七十五頁，共一百二十六頁。2023/2/7762.貝葉斯因子定義：設兩個假設和的先驗概率分別為和，后驗概率分別為和，則稱為貝葉斯因子。第七十六頁，共一百二十六頁。2023/2/777說明：①后驗概率（機會），一般認為它包含了先驗信息和樣本數(shù)據(jù)的影響。從定義來看，貝葉斯因子它也依賴于先驗分布和樣本數(shù)據(jù)，但貝葉斯因子將后驗機會與先驗機會進行對比，很多人認為：這樣比較可能會消弱先驗分布的影響，突出樣本數(shù)據(jù)對假設檢驗判斷的影響。所以從這一角度來看，貝葉斯因子實際上是樣本數(shù)據(jù)對的支持程度。研究貝葉斯因子的重要性也正是在于它被解釋為“數(shù)據(jù)得出的與的機會比”。根據(jù)貝葉斯因子，有時可以將假設檢驗的判斷問題轉(zhuǎn)化為似然比與先驗機會比的比較問題。第七十七頁，共一百二十六頁。2023/2/778貝葉斯假設檢驗的簡單分類1.假設檢驗問題的一般表述：其中和分別是θ的某一區(qū)間。第七十八頁，共一百二十六頁。2023/2/7792.假設檢驗問題的分類，按θ的取值區(qū)間分：簡單對簡單假設復雜對復雜假設簡單對復雜（或復雜對簡單）假設第七十九頁，共一百二十六頁。2023/2/7803.假設檢驗的具體操作1）簡單對簡單假設其中：。也即：

一定要注意的是實際上就是先驗概率。在發(fā)生的條件下x的條件概率為，相應地在發(fā)生的條件下x的條件概率為。第八十頁，共一百二十六頁。2023/2/781則相對應的后驗概率為在這里實際上貝葉斯因子就是似然比。這種情況下可利用似然比（貝氏因子）來給出判斷。第八十一頁，共一百二十六頁。2023/2/782即當時，接受拒絕；相對應，當可以看出先驗機會比似乎就是一個所謂臨界值。第八十二頁，共一百二十六頁。2023/2/783例：設x～，其中θ只有兩種可能，非0即1,若從該總體中抽取了一個樣本容量為n的樣本，其均值是充分統(tǒng)計量，要求對作出判斷。解：作假設∴在和分別為真時，的似然函數(shù)為第八十三頁，共一百二十六頁。2023/2/784值得注意的是，在這里我們忽略了，但是我們注意到貝葉斯因子：第八十四頁，共一百二十六頁。2023/2/785理應當接受，拒絕。接受，拒絕。當n=100,時，貝葉斯因子的取值為要求即支持原假設的機會是很小的。第八十五頁，共一百二十六頁。2023/2/7862.）復雜對復雜假設此時假設形式為即這是我們注意到第八十六頁，共一百二十六頁。2023/2/787在成立時，設有一先驗分布同里，在成立時，設有一先驗分布∴這時，實質(zhì)上先驗分布表示為第八十七頁，共一百二十六頁。2023/2/788所以后驗機會比為貝葉斯因子為第八十八頁，共一百二十六頁。2023/2/789可見：①就是加權(quán)似然比。②它強調(diào)了樣本的作用。③它部分地消除了先驗分布的影響。第八十九頁，共一百二十六頁。2023/2/790例：一產(chǎn)品的長度的誤差服從正態(tài)分布，設的先驗分布Iga(0,0),也即，現(xiàn)在取200個做實驗，設其長度的誤差平方和。作下列貝葉斯假設檢驗：解：似然函數(shù)為

第九十頁，共一百二十六頁。2023/2/791第九十一頁，共一百二十六頁。2023/2/792其先驗分布為Iga(0,0)，即：所以，有后驗分布為第九十二頁，共一百二十六頁。2023/2/793顯然這仍然是一個倒伽瑪分布，即又由于t=17.24,所以后驗分布為如果你有伽瑪分布的概率分布表，由于第九十三頁，共一百二十六頁。2023/2/794所以倒伽瑪分布與伽瑪分布有則后驗概率第九十四頁，共一百二十六頁。2023/2/795所以，接受如果直接用mathcad計算：倒伽瑪分布概率計算第九十五頁，共一百二十六頁。2023/2/7963）簡單對復雜假設此時假設的基本形式為其中：按照慣例，即為了研究方便，通常還將其看作其中：為無窮小量。第九十六頁，共一百二十六頁。2023/2/797對于原假設，顯然不可能存在一個連續(xù)密度函數(shù)作為θ的先驗分布。因為對于連續(xù)分布而言，當時的先驗概率為0，因此，為了研究的需要作如下處理：設：當成立時有一先驗分布；當成立時，也有一先驗分布第九十七頁，共一百二十六頁。2023/2/798因此，類似地，先驗分布可表示為這時，若似然函數(shù)為，則利用以上給定的條件可得樣本邊緣分布第九十八頁，共一百二十六頁。2023/2/799其中：。后驗分布為當成立時，第九十九頁，共一百二十六頁。2023/2/7100相應地，當成立時，所以因此從而相應的貝氏因子為第一百頁，共一百二十六頁。2023/2/7101在這一情況下，貝氏因子較易于計算，所以通常也可先計算貝氏因子，在計算后驗概率。第一百零一頁，共一百二十六頁。2023/2/7102例：設x是從二項分布b(n,θ)中抽取的一個樣本，若設在上的先驗密度為區(qū)間（0,1）上的均勻分布,現(xiàn)考察如下假設:解：似然函數(shù)為第一百零二頁，共一百二十六頁。2023/2/7103所以于是，貝葉斯因子為原假設成立的后驗概率第一百零三頁，共一百二十六頁。2023/2/7104當n=5,x=3,用mathcad計算：規(guī)劃計算1第一百零四頁，共一百二十六頁。2023/2/7105例：設為來自正態(tài)總體的樣本，要求作下列假設檢驗：分別為成立時的先驗概率，且為單點集，若成立，。若成立，。第一百零五頁，共一百二十六頁。2023/2/7106解：根據(jù)以上條件所以，第一百零六頁，共一百二十六頁。2023/2/7107所以故：第一百零七頁，共一百二十六頁。2023/2/7108在其他條件不變時，要求越大，實際上就是要求越小。這完全符合實際。注：第一百零八頁，共一百二十六頁。2023/2/7109第一百零九頁，共一百二十六頁。2023/2/7110例：投擲一枚錢幣，共投擲n=10次，出現(xiàn)正面x次，問能否認為錢幣是均勻的？

1)x=32)x=8解：設出現(xiàn)正面的概率為，作假設又設先驗分布第一百一十頁，共一百二十六頁。2023/2/7111所以又第一百一十一頁，共一百二十六頁。2023/2/7112貝葉斯因子為當時，所以:1)當n=10,x=3,2)當n=10,x=8,第一百一十二頁，共一百二十六頁。2023/2/7113即1）當x=3時，接受。

2）當x=8時，不能接受。事實上，用mathcad計算其結(jié)果可見規(guī)律：規(guī)劃計算2第一百一十三頁，共一百二十六頁。2023/2/71142.5預測1.預測的含義2.預測分布3.預測的基本原理第一百一十四頁，共一百二十六頁。2023/2/71151.預測的含義對隨機變量X未來觀測值作出統(tǒng)計推斷稱為預測。對隨機變量未來觀測值的預測，無非有兩種：①已知X～p(x/θ)（或者來自p(x/θ)的一組觀測值），在參數(shù)θ位置的條件下，對X未來觀測值作出推斷。②得到來自p(x/θ)的一組觀測值后，如何對具有密度函數(shù)g(z/θ)的隨機變量Z的觀測值作出推斷。第一百一十五頁，共一百二十六頁。2023/2/71162.預測分布預測問題也是統(tǒng)計推斷形式之一，在統(tǒng)計學中有些問