求兩線段長度之和的最小值問題全解析

-.z."求兩線段長度值和最小〞問題全解析在近幾年的中考中，經(jīng)常遇到求PA+PB最小型問題，為了讓同學(xué)們對(duì)這類問題有一個(gè)比擬全面的認(rèn)識(shí)和了解，我們特此編寫了"求兩線段長度值和最小〞問題全解析，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助．一、在三角形背景下探求線段和的最小值1.1在銳角三角形中探求線段和的最小值例1如圖1，在銳角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M,N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值為．分析：在這里，有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以在解答時(shí)，就不能用我們常用對(duì)稱點(diǎn)法．我們要選用三角形兩邊之和大于第三邊的原理加以解決．解：如圖1，在AC上截取AE=AN，連接BE．因?yàn)椤螧AC的平分線交BC于點(diǎn)D，所以∠EAM=∠NAM，又因?yàn)锳M=AM，所以△AME≌△AMN，所以ME=MN．所以BM+MN=BM+ME≥BE．因?yàn)锽M+MN有最小值．當(dāng)BE是點(diǎn)B到直線AC的距離時(shí)，BE取最小值為4，以BM+MN的最小值是4．故填4．1.2在等邊三角形中探求線段和的最小值例2〔2010**濱州〕如圖4所示，等邊△ABC的邊長為6,AD是BC邊上的中線,M是AD上的動(dòng)點(diǎn),E是AC邊上一點(diǎn).假設(shè)AE=2,EM+CM的最小值為.分析：要求線段和最小值，關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱思想，找出這條最短的線段，后應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)求出這條線段的長度即可．解：因?yàn)榈冗叀鰽BC的邊長為6,AD是BC邊上的中線,所以點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于AD對(duì)稱，連接BE交AD于點(diǎn)M，這就是EM+CM最小時(shí)的位置，如圖5所示，因?yàn)镃M=BM，所以EM+CM=BE，過點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F，因?yàn)锳E=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因?yàn)镋C=4,∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF==2．因?yàn)锽C=6，F(xiàn)C=2，所以BF=4．在直角三角形BEF中，BE==.二、在四邊形背景下探求線段和的最小值2.1在直角梯形中探求線段和的最小值例3〔2010****〕如圖3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，點(diǎn)P是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC＋PD的和最小時(shí)，PB的長為__________．分析：在這里有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，兩個(gè)定點(diǎn)符合對(duì)稱點(diǎn)法求線段和最小的思路，所以解答時(shí)可以用對(duì)稱法．解：如圖3所示，作點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)E，連接CE，交AB于點(diǎn)P，此時(shí)PC＋PD和最小，為線段CE．因?yàn)锳D＝4，所以AE=4．因?yàn)椤螦BC＝90°，AD∥BC，所以∠EAP＝90°．因?yàn)椤螦PE＝∠BPC,所以△APE∽△BPC，所以.因?yàn)锳E=4，BC＝6，所以，所以，所以,因?yàn)锳B＝5，所以PB=3.2.2在等腰梯形中探求線段和的最小值例4如圖4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中點(diǎn)EF直線上的一點(diǎn)，則PA+PB的最小值為．分析：根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)知道，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)D，這是解題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)．其次運(yùn)用好直角三角形的性質(zhì)是解題的又一個(gè)關(guān)鍵．解：如圖4所示，因?yàn)辄c(diǎn)D關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為A，連接BD，交EF于點(diǎn)P，此時(shí)PA＋PB和最小，為線段BD．過點(diǎn)D作DG⊥BC，垂足為G，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，所以GC=,DG=．因?yàn)椤螦BC＝60°，AD∥BC，所以∠BAD＝120°．因?yàn)锳B=AD，所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，所以BD=2DG=2×=．所以PA+PB的最小值為．2.3在菱形中探求線段和的最小值例5如圖5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值為．分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)知道，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)D，這是解題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)．解：如圖5所示，因?yàn)辄c(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為D，連接DE，交AC于點(diǎn)P，此時(shí)PE＋PB和最小，為線段ED．因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD是等邊三角形．因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，AB=2，所以AE=1，DE⊥AB，所以ED==．所以PE＋PB的最小值為．2.4在正方形中探求線段和的最小值例6如圖6所示，正方形ABCD的邊長為8，點(diǎn)M在DC上，且DM=2，N是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則DN+MN的最小值為．分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)知道，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)D，這是解題的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)．解：如圖6所示，因?yàn)辄c(diǎn)D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為B，連接BM，交AC于點(diǎn)N，此時(shí)DN＋MN和最小，為線段BM．因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以BC=CD=8．因?yàn)镈M=2，所以MC=6，所以BM==10.所以DN+MN的最小值為10.例7〔2009"達(dá)州〕如圖7，在邊長為2cm的正方形ABCD中，點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PQ，則△PBQ周長的最小值為cm．〔結(jié)果不取近似值〕．分析：在這里△PBQ周長等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形邊長的一半，是一個(gè)定值1，所以要想使得三角形的周長最小，問題就轉(zhuǎn)化成使得PB+PQ的和最小問題．因?yàn)轭}目中有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，兩個(gè)定點(diǎn)B,Q符合對(duì)稱點(diǎn)法求線段和最小的思路，所以解答時(shí)可以用對(duì)稱法．解:如圖7所示，根據(jù)正方形的性質(zhì)知道點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱，連接DQ，交AC于點(diǎn)P，連接PB．所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt△CDQ中，DQ==，所以△PBQ的周長的最小值為：BP+PQ+BQ=DQ+BQ=+1．故答案為+1．三、在圓背景下探求線段和的最小值例8〔2010年**〕如圖8，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN＝30°，B為AN弧的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PB的最小值為(

)(A)2

(B)

(C)1

(D)2分析：根據(jù)圓的對(duì)稱性，作出點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)D，連接DB，則線段和的最小值就是線段DB的長度．解：如圖8，作出點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)D，連接DB，OB,OD．因?yàn)椤螦MN＝30°，B為AN弧的中點(diǎn)，所以弧AB的度數(shù)為30°，弧AB的度數(shù)為30°，弧AN的度數(shù)為60°．根據(jù)圓心角與圓周角的關(guān)系定理得到：∠BON＝30°．由垂徑定理得：弧DN的度數(shù)為60°．所以∠BOD＝∠BON+∠DON=30°+60°=90°.所以DB==.所以選擇B．四、在反比例函數(shù)圖象背景下探求線段和的最小值例9〔2010****〕如圖9，正比例函數(shù)y=*的圖象與反比例函數(shù)y=〔k≠0〕在第一象限的圖象交于A點(diǎn)，過A點(diǎn)作*軸的垂線，垂足為M，三角形OAM的面積為1.〔1〕求反比例函數(shù)的解析式；〔2〕如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)〔點(diǎn)B與點(diǎn)A不重合〕，且B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，在*軸上求一點(diǎn)P，使PA+PB最小.分析：利用三角形的面積和交點(diǎn)坐標(biāo)的意義，確定出點(diǎn)A的坐標(biāo)是解題的第一個(gè)關(guān)鍵．要想確定出PA+PB的最小值，關(guān)鍵是明白怎樣才能保證PA+PB的和最小，同學(xué)們可以聯(lián)想我們以前學(xué)過的對(duì)稱作圖問題，明白了最小的內(nèi)涵，解題的過程就迎刃而解了．解：〔1〕設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔*，y〕，且點(diǎn)A在第一象限，所以O(shè)M=*,AM=y．因?yàn)槿切蜲AM的面積為1，所以所以*y=2，所以反比例函數(shù)的解析式為y=．〔2〕因?yàn)閥=*與y=相交于點(diǎn)A，所以=*，解得*=2，或*=-2.因?yàn)?＞0，所以*=2，所以y=1，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔2，1〕．因?yàn)辄c(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，且點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖像上，所以點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2，所點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔1，2〕，所以點(diǎn)B關(guān)于*軸的對(duì)稱點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔1，-2〕．設(shè)直線AD的解析式為y=k*+b，所以，解得k=3，b=-5，所以函數(shù)的解析式為y=3*-5，當(dāng)y=0時(shí)，*=，所以當(dāng)點(diǎn)P在〔，0〕時(shí)，PA+PB的值最小．五、在二次函數(shù)背景下探求線段和的最小值例10〔2010年**改編〕如圖10，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔1，〕，△AOB的面積是.〔1〕求點(diǎn)B的坐標(biāo)；〔2〕求過點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式；〔3〕在〔2〕中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)C，使△AOC的周長最?。考僭O(shè)存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由；分析：在這里△AOC周長等于AC+CO+AO，而A,O是定點(diǎn)，所以AO是一個(gè)定長，所以要想使得三角形的周長最小，問題就轉(zhuǎn)化成使得AC+CO的和最小問題．因?yàn)轭}目中有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C，兩個(gè)定點(diǎn)A,O符合對(duì)稱點(diǎn)法求線段和最小的思路，所以解答時(shí)可以用對(duì)稱法．解：〔1〕由題意得:所以O(shè)B=2．因?yàn)辄c(diǎn)B在*軸的負(fù)半軸上，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔-2，〕；〔2〕因?yàn)锽(-2,0),O(0,0),所以設(shè)拋物線的解析式為：y=a*〔*+2〕，將點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔1，〕代入解析式得：3a=，所以a=，所以函數(shù)的解析式為y=+*．〔3〕存在點(diǎn)C.如圖10，根據(jù)拋物線的性質(zhì)知道點(diǎn)B與點(diǎn)O是對(duì)稱點(diǎn)，所以連接AB與拋物線的對(duì)稱軸*=-1交AC于點(diǎn)C，此時(shí)△AOC的周長最小.設(shè)對(duì)稱軸與*軸的交點(diǎn)為E．過點(diǎn)A作AF垂直于*軸于點(diǎn)F，則BE=EO=EF=1.因?yàn)椤鰾CE∽△BAF,所以,所以，所以CE=．因?yàn)辄c(diǎn)C在第二象限，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔-1，〕．六、在平面直角坐標(biāo)系背景下探求線段和的最小值例11〔2010年**〕如圖11，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在*軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點(diǎn).〔1〕假設(shè)E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CDE的周長最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；〔2〕假設(shè)E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo).分析：此題的最大亮點(diǎn)是將一個(gè)動(dòng)點(diǎn)求最小值和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)求最小值問題糅合在一起，并很好的運(yùn)用到平面直角坐標(biāo)系中．解：〔1〕如圖12，作點(diǎn)D關(guān)于*軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接C與*軸交于點(diǎn)E，連接DE.假設(shè)在邊OA上任取點(diǎn)〔與點(diǎn)E不重合〕，連接C、D、.由D+C=+C＞C=D+CE=DE+CE，所以△的周長最小.因?yàn)樵诰匦蜲ACB中，OA=3,OB=4,D為OB的中點(diǎn)，所以BC=3，DO=O=2.所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔3，4〕，點(diǎn)的坐標(biāo)為〔0，-2〕，設(shè)直線C的解析式為y=k*+b，則，解得k=2，b=-2，所以函數(shù)的解析式為y=2*-2，令y=0，則*=1，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為〔1，0〕；〔2〕如圖13，作點(diǎn)D關(guān)于*軸的對(duì)稱點(diǎn)，在CB邊上截取CG=2，連接G與*軸交于點(diǎn)E，在EA上截EF=2.因?yàn)镚C∥EF，GC=EF，