混沌-數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院-山東理工大學(xué)復(fù)習(xí)課程

混沌-數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院-山東理工大學(xué)非線性的例子：分形只要你計算的點足夠多,不管你把圖案放大多少倍,都能顯示出更加復(fù)雜的局部.這些局部既與整體不同,又有某種相似的地方,好像著夢幻般的圖案具有無窮無盡的細節(jié)和自相似性分形（混沌吸引子）與紡織品設(shè)計數(shù)學(xué)不是一門只有加減乘除等計算的學(xué)科，某種意義上講，數(shù)學(xué)已更像一門哲學(xué)：Hilbert旅館的故事芝諾悖論

其實在20世紀(jì)之前，哲學(xué)家就開始研究數(shù)學(xué)中的哲學(xué)問題。到20世紀(jì)初，集合論悖論引起數(shù)學(xué)基礎(chǔ)危機，數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家為了消除這場危機，從各自的數(shù)學(xué)觀出發(fā)，提出了不同解決方案，這標(biāo)志著數(shù)學(xué)哲學(xué)第一次從哲學(xué)母體中分離出來。當(dāng)然，數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究對象是相當(dāng)廣泛的，今天只談混沌與非線性科學(xué)中的哲學(xué)問題。

今天有一個關(guān)于混沌與數(shù)學(xué)哲學(xué)的報告。明年的今天，將會有一場暴雨……

這是一個很有秩序的世界，這些話你很可能會相信，也許你不會認(rèn)為我不是亂說。我想問的是：我們到底能預(yù)測什么？有沒有不可預(yù)測的事情發(fā)生？問題的提出

從理論上講，我們中學(xué)時代學(xué)的牛頓力學(xué)就足以表明，所有事物運動發(fā)展的狀態(tài)都是可以預(yù)言的，包括某個時刻你的哪根指頭會怎樣運動都是可以知道的！暫時你不要覺得荒謬，也不要驚訝。這就是數(shù)學(xué)和力學(xué)特別是經(jīng)典牛頓力學(xué)的“威力”！一位偉大的數(shù)學(xué)家——Laplace，他的確定論原理，將經(jīng)典牛頓力學(xué)發(fā)揚光大。Laplace牛頓力學(xué)在天文上處理最成功的是兩體問題，如地球和太陽的問題，兩個天體在萬有引力作用下圍繞它們共同質(zhì)心作嚴(yán)格的周期運動。但太陽系不止兩個成員，第三者的存在會否動搖這樣的穩(wěn)定和諧？拉普拉斯曾用一種所謂的“攝動法”來修正三體運動的軌道，證明三體運動的穩(wěn)定性。據(jù)說拿破侖曾問他此證明中上帝起了什么作用，他回答：“陛下，我不需要這樣的假設(shè)”。拉普拉斯否定了上帝，但他的結(jié)論卻是錯的。因為三體運動中存在著混沌。確定性原理 Laplace曾說：“假設(shè)有一位智者，它能知道在任一給定時刻作用于自然界的所有的力，以及構(gòu)成世界的一切物體的位置。假定這位智者的智慧高超到有能力對所有這些數(shù)據(jù)做出分析處理，那么它就能將宇宙中最大的天體和最小的原子的運動包容到一個公式中。對于這位智者來說，再沒有事物是不確定的了，過去和將來都歷歷在目?！狈治?/p>

毫無疑問，這位智者是存在的——上帝！初始條件也是可以確定的，比如說我們可把某一時刻作為初始時刻，根據(jù)確定性原理，以后任何時刻的事情我們都了如指掌！Laplace的信息源于這樣的一種信念：

世界是統(tǒng)一的，所有復(fù)雜性都是表面現(xiàn)象，復(fù)雜性可分解為簡單現(xiàn)象，在充分理解簡單現(xiàn)象之后，復(fù)雜現(xiàn)象也就得到了規(guī)律，整體等于部分之和。悖論？！

對此你會產(chǎn)生懷疑嗎？宇宙是有秩序的，我們也千方百計地制訂一些規(guī)則，為我們?nèi)祟?，也為整個宇宙！然而，假設(shè)你是我們校園里最聽話的學(xué)生，給你安排好了此時你做這個，下一刻你做那個，那該是多么枯燥！要知道，我們的世界可是豐富多彩的，也許在某一天，別人叫你往東走，你故意要往西走！這回完了，最乖的學(xué)生打破了宇宙的秩序！問題出在哪里？

回到剛才的話，整體等于部分之和：這種孤立的、線性的思維方式，的確帶來了科學(xué)的巨大進步，但現(xiàn)在看來，是否有些太簡單化了？ 19世紀(jì)末，偉大的法國數(shù)學(xué)家Poincare在研究“太陽系的穩(wěn)定性問題”之后，吃驚地發(fā)現(xiàn)太陽系前途未卜：初始條件的微小差別在最后的現(xiàn)象中產(chǎn)生極大的差別，預(yù)言變得不太可能了，而我們在宇宙中有的是偶然發(fā)生的現(xiàn)象！HenriPoincare通過數(shù)學(xué)推理發(fā)現(xiàn)混沌的第一人，公認(rèn)真正研究混沌的第一位科學(xué)家。

Poincare的思想太超前了，當(dāng)時很少有人重視。直到1960年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家

Kolmogorov，Arnold，Moser提出了著名的KAM理論。該理論證明了Poincare的創(chuàng)見：動力系統(tǒng)初始條件無論出現(xiàn)多么小的擾動，都將為隨機性和不可預(yù)測性大開方便之門！Chaos

Forwantofanail,theshoewaslost;

Forwantofashoe,thehorsewaslost;

Forwantofahorse,theriderwaslost;

Forwantofarider,amessagewaslost;

Forwantofamessagethebattlewaslost;

Forwantofabattle,thekingdomwaslost!

似乎這首民謠背后真的掩藏著什么秘密： 丟失一個釘子，壞了一只碲鐵； 壞了一只碲鐵，折了一匹戰(zhàn)馬； 折了一匹戰(zhàn)馬，傷了一位騎士； 傷了一位騎士，輸了一場戰(zhàn)斗； 輸了一場戰(zhàn)斗，亡了一個帝國。 這就是典型的混沌思想?；煦绲奶匦詫Τ踔禇l件的依賴性y=2x2-1以只差0.001的初始值迭代2.混亂中的秩序什么是混沌？混沌是指發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的貌似隨機的不規(guī)則運動，一個確定性理論描述的系統(tǒng)，其行為卻表現(xiàn)為不確定性——不可重復(fù)、不可預(yù)測。進一步研究表明，混沌是非線性動力系統(tǒng)的固有特性，是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象，表現(xiàn)為它對于初始條件的敏感依賴性。牛頓確定性理論能夠充分處理的多為線性系統(tǒng)，而線性系統(tǒng)大多是由非線性系統(tǒng)簡化來的。因此，在現(xiàn)實生活和實際工程技術(shù)問題中，混沌是無處不在的。混沌，也是英文的chaos，在現(xiàn)代漢語中，“渾沌”(混沌)主要有如下四種含義：(1)混亂(貶義)；(2)混合、中介；(3)自然，淳樸，未分化(褒義或中性)，不懂事；(4)朦朧，模糊，糊涂。近些年來除了受到數(shù)學(xué)、物理學(xué)等學(xué)術(shù)研究領(lǐng)域的關(guān)注外，在音樂、藝術(shù)、美工設(shè)計等方面的應(yīng)用更加普遍。采用計算機作圖技術(shù)，根據(jù)混沌等式可以畫出奇妙無比的圖形。人們何時開始認(rèn)識到混沌？

然而，混沌思想真正大放異彩的地方，首先是在天氣預(yù)報的研究。天氣預(yù)報是人們長期的夢想。1922年，英國物理學(xué)家Richardson提議：聚集一批專家，在統(tǒng)一的指揮下計算影響天氣變化的各種數(shù)據(jù)，但他估計可能要64000個計算快手才能使天氣預(yù)報不落后于實際的天氣。

計算機和氣象衛(wèi)星的發(fā)明才真正給天氣預(yù)報帶來了希望。20世紀(jì)60年代初，計算機只是真空管構(gòu)件，Lorenz(數(shù)學(xué)家、物理家、氣象學(xué)家)決定在計算機上探究天氣的奧秘。Lorenz把氣象問題進行了大刀闊斧的簡化，得到12個方程，表示溫度、壓力、風(fēng)速之間的關(guān)系。當(dāng)然，他在思考時也秉承了牛頓力學(xué)決定論哲學(xué)的思想。

一切都很正常，直到有一次他為了節(jié)省時間，把前一次運算中的數(shù)據(jù)作為新的初始值輸入計算機。沒想到，這個不經(jīng)意的舉動卻種下了科學(xué)的種子。打印出來的天氣走勢天差地別，就像兩次完全不同的天氣，相當(dāng)令人吃驚！長期與變幻莫測的氣象打交道的經(jīng)驗使Lorenz確信：最初的誤差會帶來長期的災(zāi)難，長期天氣預(yù)報是不可能的！

作為一個數(shù)學(xué)家，Lorenz并沒有止步。最終，他找到了一組簡單的三元微分方程組（三個方程），可以產(chǎn)生他想要的復(fù)雜性。這些方程是非線性的，也就是說，各變量之間不再滿足線性的疊加關(guān)系。

于是，一個新的哲學(xué)誕生了：一個可以用確定性方程描述的確定性系統(tǒng)，因為初始條件不可避免的誤差，經(jīng)過非線性因素的攪和，得出永不重復(fù)的非周期性結(jié)果

——這正是混沌！

接下來1979年，Lorenz在一次會議上向聽眾拋出如下問題：一只蝴蝶在巴西扇動翅膀會在得克薩斯引起龍卷風(fēng)嗎？旨在強調(diào)非線性系統(tǒng)對初始條件的敏感依賴性。后來，“蝴蝶效應(yīng)”成了混沌的代名詞。Lorenz和他的蝴蝶型吸引子MITWeathersystemMeteorologist就嚴(yán)肅的物理學(xué)理論而言，愛因斯坦的《相對論》指出，的確存在不違背已知的物理法則改變時間的可能性。但更多的只是一種科學(xué)幻想。為了解決“時間悖論”，也有多種假設(shè)，比如比較盛行的“平行宇宙”假說，認(rèn)為我們的這個世界在宇宙中還有許多相似的“克隆世界”，當(dāng)某人回到過去時，他就進入了另一個平行世界（即未來因為他的行動已經(jīng)改變的世界），再也不可能回到原來的世界。蝴蝶吸引子平行宇宙更多的混沌……

另外，流體力學(xué)中的湍流理論也是一個例子。（湍流：流體無規(guī)則，游走不定的狀態(tài)） 例如：流水經(jīng)過橋墩后形成的糾結(jié)的旋渦湍流

前蘇聯(lián)物理學(xué)家Landan在1944年提出一種模態(tài)：更多的能量或擾動進入流體，激發(fā)出“越來越多”的周期運動，流體變得不規(guī)則，當(dāng)模態(tài)數(shù)量達到“一定程度”時，流體就被攪成一鍋混沌之粥。

類似這樣的話，物理學(xué)家是可以講的，數(shù)學(xué)家是不能這樣講的。物理學(xué)家更加關(guān)心物理現(xiàn)象，但數(shù)學(xué)家關(guān)心為什么會這樣，會試圖用一套數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的語言加以論證。

阿基米德、牛頓、高斯、黎曼……到目前為止，我們對經(jīng)典力學(xué)和確定論的某些質(zhì)疑，相信混沌的產(chǎn)生。問題——研究混沌的方法非線性科學(xué)，如動力系統(tǒng)、偏微分方程。數(shù)學(xué)家對混沌的研究

盡管很多數(shù)學(xué)家都沒有就此罷休，但對于混沌的機制，至今還是很大的openproblem，僅有的結(jié)果，是1971年荷蘭數(shù)學(xué)家Takens與法國物理學(xué)家Ruelle合寫了《論湍流的本質(zhì)》。思考

類似的現(xiàn)象表明，復(fù)雜性與簡單性其實是統(tǒng)一的，可見某些復(fù)雜的現(xiàn)象后面蘊含著簡單的秩序。這種秩序的產(chǎn)生，是否正是上帝的最大秘密之一??？

愛因斯坦曾說：“上帝不擲骰子。” 而混沌理論的傳教士福特糾正道：“上帝的確擲骰子，但是灌了鉛的骰子?！?/p>

的確，上帝不再是造物主，而是宇宙的精神。我們正在經(jīng)歷一個根本性轉(zhuǎn)變，從確定論轉(zhuǎn)向復(fù)雜性、非線性。這樣，