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混沌-數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院-山東理工大學(xué)非線性的例子:分形只要你計(jì)算的點(diǎn)足夠多,不管你把圖案放大多少倍,都能顯示出更加復(fù)雜的局部.這些局部既與整體不同,又有某種相似的地方,好像著夢幻般的圖案具有無窮無盡的細(xì)節(jié)和自相似性分形(混沌吸引子)與紡織品設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)不是一門只有加減乘除等計(jì)算的學(xué)科,某種意義上講,數(shù)學(xué)已更像一門哲學(xué):Hilbert旅館的故事芝諾悖論
其實(shí)在20世紀(jì)之前,哲學(xué)家就開始研究數(shù)學(xué)中的哲學(xué)問題。到20世紀(jì)初,集合論悖論引起數(shù)學(xué)基礎(chǔ)危機(jī),數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家為了消除這場危機(jī),從各自的數(shù)學(xué)觀出發(fā),提出了不同解決方案,這標(biāo)志著數(shù)學(xué)哲學(xué)第一次從哲學(xué)母體中分離出來。當(dāng)然,數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究對象是相當(dāng)廣泛的,今天只談混沌與非線性科學(xué)中的哲學(xué)問題。
今天有一個(gè)關(guān)于混沌與數(shù)學(xué)哲學(xué)的報(bào)告。明年的今天,將會有一場暴雨……
這是一個(gè)很有秩序的世界,這些話你很可能會相信,也許你不會認(rèn)為我不是亂說。我想問的是:我們到底能預(yù)測什么?有沒有不可預(yù)測的事情發(fā)生?問題的提出
從理論上講,我們中學(xué)時(shí)代學(xué)的牛頓力學(xué)就足以表明,所有事物運(yùn)動發(fā)展的狀態(tài)都是可以預(yù)言的,包括某個(gè)時(shí)刻你的哪根指頭會怎樣運(yùn)動都是可以知道的!暫時(shí)你不要覺得荒謬,也不要驚訝。這就是數(shù)學(xué)和力學(xué)特別是經(jīng)典牛頓力學(xué)的“威力”!一位偉大的數(shù)學(xué)家——Laplace,他的確定論原理,將經(jīng)典牛頓力學(xué)發(fā)揚(yáng)光大。Laplace牛頓力學(xué)在天文上處理最成功的是兩體問題,如地球和太陽的問題,兩個(gè)天體在萬有引力作用下圍繞它們共同質(zhì)心作嚴(yán)格的周期運(yùn)動。但太陽系不止兩個(gè)成員,第三者的存在會否動搖這樣的穩(wěn)定和諧?拉普拉斯曾用一種所謂的“攝動法”來修正三體運(yùn)動的軌道,證明三體運(yùn)動的穩(wěn)定性。據(jù)說拿破侖曾問他此證明中上帝起了什么作用,他回答:“陛下,我不需要這樣的假設(shè)”。拉普拉斯否定了上帝,但他的結(jié)論卻是錯的。因?yàn)槿w運(yùn)動中存在著混沌。確定性原理 Laplace曾說:“假設(shè)有一位智者,它能知道在任一給定時(shí)刻作用于自然界的所有的力,以及構(gòu)成世界的一切物體的位置。假定這位智者的智慧高超到有能力對所有這些數(shù)據(jù)做出分析處理,那么它就能將宇宙中最大的天體和最小的原子的運(yùn)動包容到一個(gè)公式中。對于這位智者來說,再沒有事物是不確定的了,過去和將來都?xì)v歷在目?!狈治?/p>
毫無疑問,這位智者是存在的——上帝!初始條件也是可以確定的,比如說我們可把某一時(shí)刻作為初始時(shí)刻,根據(jù)確定性原理,以后任何時(shí)刻的事情我們都了如指掌!Laplace的信息源于這樣的一種信念:
世界是統(tǒng)一的,所有復(fù)雜性都是表面現(xiàn)象,復(fù)雜性可分解為簡單現(xiàn)象,在充分理解簡單現(xiàn)象之后,復(fù)雜現(xiàn)象也就得到了規(guī)律,整體等于部分之和。悖論?!
對此你會產(chǎn)生懷疑嗎?宇宙是有秩序的,我們也千方百計(jì)地制訂一些規(guī)則,為我們?nèi)祟?,也為整個(gè)宇宙!然而,假設(shè)你是我們校園里最聽話的學(xué)生,給你安排好了此時(shí)你做這個(gè),下一刻你做那個(gè),那該是多么枯燥!要知道,我們的世界可是豐富多彩的,也許在某一天,別人叫你往東走,你故意要往西走!這回完了,最乖的學(xué)生打破了宇宙的秩序!問題出在哪里?
回到剛才的話,整體等于部分之和:這種孤立的、線性的思維方式,的確帶來了科學(xué)的巨大進(jìn)步,但現(xiàn)在看來,是否有些太簡單化了? 19世紀(jì)末,偉大的法國數(shù)學(xué)家Poincare在研究“太陽系的穩(wěn)定性問題”之后,吃驚地發(fā)現(xiàn)太陽系前途未卜:初始條件的微小差別在最后的現(xiàn)象中產(chǎn)生極大的差別,預(yù)言變得不太可能了,而我們在宇宙中有的是偶然發(fā)生的現(xiàn)象!HenriPoincare通過數(shù)學(xué)推理發(fā)現(xiàn)混沌的第一人,公認(rèn)真正研究混沌的第一位科學(xué)家。
Poincare的思想太超前了,當(dāng)時(shí)很少有人重視。直到1960年,前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家
Kolmogorov,Arnold,Moser提出了著名的KAM理論。該理論證明了Poincare的創(chuàng)見:動力系統(tǒng)初始條件無論出現(xiàn)多么小的擾動,都將為隨機(jī)性和不可預(yù)測性大開方便之門!Chaos
Forwantofanail,theshoewaslost;
Forwantofashoe,thehorsewaslost;
Forwantofahorse,theriderwaslost;
Forwantofarider,amessagewaslost;
Forwantofamessagethebattlewaslost;
Forwantofabattle,thekingdomwaslost!
似乎這首民謠背后真的掩藏著什么秘密: 丟失一個(gè)釘子,壞了一只碲鐵; 壞了一只碲鐵,折了一匹戰(zhàn)馬; 折了一匹戰(zhàn)馬,傷了一位騎士; 傷了一位騎士,輸了一場戰(zhàn)斗; 輸了一場戰(zhàn)斗,亡了一個(gè)帝國。 這就是典型的混沌思想?;煦绲奶匦詫Τ踔禇l件的依賴性y=2x2-1以只差0.001的初始值迭代2.混亂中的秩序什么是混沌?混沌是指發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的貌似隨機(jī)的不規(guī)則運(yùn)動,一個(gè)確定性理論描述的系統(tǒng),其行為卻表現(xiàn)為不確定性——不可重復(fù)、不可預(yù)測。進(jìn)一步研究表明,混沌是非線性動力系統(tǒng)的固有特性,是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象,表現(xiàn)為它對于初始條件的敏感依賴性。牛頓確定性理論能夠充分處理的多為線性系統(tǒng),而線性系統(tǒng)大多是由非線性系統(tǒng)簡化來的。因此,在現(xiàn)實(shí)生活和實(shí)際工程技術(shù)問題中,混沌是無處不在的?;煦?,也是英文的chaos,在現(xiàn)代漢語中,“渾沌”(混沌)主要有如下四種含義:(1)混亂(貶義);(2)混合、中介;(3)自然,淳樸,未分化(褒義或中性),不懂事;(4)朦朧,模糊,糊涂。近些年來除了受到數(shù)學(xué)、物理學(xué)等學(xué)術(shù)研究領(lǐng)域的關(guān)注外,在音樂、藝術(shù)、美工設(shè)計(jì)等方面的應(yīng)用更加普遍。采用計(jì)算機(jī)作圖技術(shù),根據(jù)混沌等式可以畫出奇妙無比的圖形。人們何時(shí)開始認(rèn)識到混沌?
然而,混沌思想真正大放異彩的地方,首先是在天氣預(yù)報(bào)的研究。天氣預(yù)報(bào)是人們長期的夢想。1922年,英國物理學(xué)家Richardson提議:聚集一批專家,在統(tǒng)一的指揮下計(jì)算影響天氣變化的各種數(shù)據(jù),但他估計(jì)可能要64000個(gè)計(jì)算快手才能使天氣預(yù)報(bào)不落后于實(shí)際的天氣。
計(jì)算機(jī)和氣象衛(wèi)星的發(fā)明才真正給天氣預(yù)報(bào)帶來了希望。20世紀(jì)60年代初,計(jì)算機(jī)只是真空管構(gòu)件,Lorenz(數(shù)學(xué)家、物理家、氣象學(xué)家)決定在計(jì)算機(jī)上探究天氣的奧秘。Lorenz把氣象問題進(jìn)行了大刀闊斧的簡化,得到12個(gè)方程,表示溫度、壓力、風(fēng)速之間的關(guān)系。當(dāng)然,他在思考時(shí)也秉承了牛頓力學(xué)決定論哲學(xué)的思想。
一切都很正常,直到有一次他為了節(jié)省時(shí)間,把前一次運(yùn)算中的數(shù)據(jù)作為新的初始值輸入計(jì)算機(jī)。沒想到,這個(gè)不經(jīng)意的舉動卻種下了科學(xué)的種子。打印出來的天氣走勢天差地別,就像兩次完全不同的天氣,相當(dāng)令人吃驚!長期與變幻莫測的氣象打交道的經(jīng)驗(yàn)使Lorenz確信:最初的誤差會帶來長期的災(zāi)難,長期天氣預(yù)報(bào)是不可能的!
作為一個(gè)數(shù)學(xué)家,Lorenz并沒有止步。最終,他找到了一組簡單的三元微分方程組(三個(gè)方程),可以產(chǎn)生他想要的復(fù)雜性。這些方程是非線性的,也就是說,各變量之間不再滿足線性的疊加關(guān)系。
于是,一個(gè)新的哲學(xué)誕生了:一個(gè)可以用確定性方程描述的確定性系統(tǒng),因?yàn)槌跏紬l件不可避免的誤差,經(jīng)過非線性因素的攪和,得出永不重復(fù)的非周期性結(jié)果
——這正是混沌!
接下來1979年,Lorenz在一次會議上向聽眾拋出如下問題:一只蝴蝶在巴西扇動翅膀會在得克薩斯引起龍卷風(fēng)嗎?旨在強(qiáng)調(diào)非線性系統(tǒng)對初始條件的敏感依賴性。后來,“蝴蝶效應(yīng)”成了混沌的代名詞。Lorenz和他的蝴蝶型吸引子MITWeathersystemMeteorologist就嚴(yán)肅的物理學(xué)理論而言,愛因斯坦的《相對論》指出,的確存在不違背已知的物理法則改變時(shí)間的可能性。但更多的只是一種科學(xué)幻想。為了解決“時(shí)間悖論”,也有多種假設(shè),比如比較盛行的“平行宇宙”假說,認(rèn)為我們的這個(gè)世界在宇宙中還有許多相似的“克隆世界”,當(dāng)某人回到過去時(shí),他就進(jìn)入了另一個(gè)平行世界(即未來因?yàn)樗男袆右呀?jīng)改變的世界),再也不可能回到原來的世界。蝴蝶吸引子平行宇宙更多的混沌……
另外,流體力學(xué)中的湍流理論也是一個(gè)例子。(湍流:流體無規(guī)則,游走不定的狀態(tài)) 例如:流水經(jīng)過橋墩后形成的糾結(jié)的旋渦湍流
前蘇聯(lián)物理學(xué)家Landan在1944年提出一種模態(tài):更多的能量或擾動進(jìn)入流體,激發(fā)出“越來越多”的周期運(yùn)動,流體變得不規(guī)則,當(dāng)模態(tài)數(shù)量達(dá)到“一定程度”時(shí),流體就被攪成一鍋混沌之粥。
類似這樣的話,物理學(xué)家是可以講的,數(shù)學(xué)家是不能這樣講的。物理學(xué)家更加關(guān)心物理現(xiàn)象,但數(shù)學(xué)家關(guān)心為什么會這樣,會試圖用一套數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的語言加以論證。
阿基米德、牛頓、高斯、黎曼……到目前為止,我們對經(jīng)典力學(xué)和確定論的某些質(zhì)疑,相信混沌的產(chǎn)生。問題——研究混沌的方法非線性科學(xué),如動力系統(tǒng)、偏微分方程。數(shù)學(xué)家對混沌的研究
盡管很多數(shù)學(xué)家都沒有就此罷休,但對于混沌的機(jī)制,至今還是很大的openproblem,僅有的結(jié)果,是1971年荷蘭數(shù)學(xué)家Takens與法國物理學(xué)家Ruelle合寫了《論湍流的本質(zhì)》。思考
類似的現(xiàn)象表明,復(fù)雜性與簡單性其實(shí)是統(tǒng)一的,可見某些復(fù)雜的現(xiàn)象后面蘊(yùn)含著簡單的秩序。這種秩序的產(chǎn)生,是否正是上帝的最大秘密之一!?
愛因斯坦曾說:“上帝不擲骰子?!?而混沌理論的傳教士福特糾正道:“上帝的確擲骰子,但是灌了鉛的骰子?!?/p>
的確,上帝不再是造物主,而是宇宙的精神。我們正在經(jīng)歷一個(gè)根本性轉(zhuǎn)變,從確定論轉(zhuǎn)向復(fù)雜性、非線性。這樣,
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