第三章非穩(wěn)態(tài)熱傳導

上章回顧導熱問題的數學描寫定解條件導熱微分方程傅里葉定律能量守恒定律求解得到溫度場求解得到熱流密度矢量典型一維穩(wěn)態(tài)導熱具有內熱源的導熱通過肋片的導熱多維穩(wěn)態(tài)導熱1第三章非穩(wěn)態(tài)熱傳導主講人：郭智群2引題鋼制工件的熱處理是一個典型的非穩(wěn)態(tài)導熱過程，掌握工件中溫度變化的速率是控制工件熱處理質量的重要因素。金屬在加熱爐中加熱時需要確定其停留時間，以保證達到規(guī)定的溫度。3引題本章內容基本概念零維一維本章重點：掌握基本概念；確定物體瞬時溫度場的方法；在一段時間間隔內物體所傳導熱量的計算方法。4目錄3.1非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念3.2零維問題的分析方法——集中參數法3.3典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解5非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念3.1.1非穩(wěn)態(tài)導熱過程的特點及類型一、定義：物體的溫度隨時間而變化的導熱過程稱為非穩(wěn)態(tài)導熱（unsteadyheatconduction）非周期性：物體溫度隨時間趨近于恒值（動力機械啟動、停止）周期性：物體溫度隨時間做周期性變化（地球表面溫度隨四季更替周期變化）6非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念幾種典型非穩(wěn)態(tài)導熱過程的溫度變化率7非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念二、特點：物體中各點的溫度隨時間發(fā)生變化；物體中各點的熱流密度隨時間發(fā)生變化；

不宜用熱阻法定量分析非穩(wěn)態(tài)導熱；其中：8非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念如圖所示，已知一復合平壁初始溫度為t0，左側為金屬壁面，右側為保溫層，層間接觸良好。令其左側表面的溫度突然升高到t1，右側與溫度為t0的空氣接觸，分析溫度變化過程。保溫層金屬壁t0t1xB

P

L

保溫層金屬壁t0t1xC

P

L

不同時刻平壁溫度場示意圖（一）保溫層金屬壁t0xA

L

金屬壁xt9非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念不同時刻平壁溫度場示意圖（二）保溫層金屬壁t0t1xD

A

P

I

保溫層金屬壁t0t1xE

A

P

J

保溫層金屬壁t0t1xF

A

P

K

10非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念加熱或冷卻過程的兩個重要階段非正規(guī)狀況階段：這一階段中溫度分布主要受初始溫度分布的控制。正規(guī)狀況階段：不同時刻的溫度分布主要受熱邊界條件的影響。正規(guī)狀況階段的溫度分布計算比非正規(guī)狀況階段簡單得多。非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念加熱或冷卻過程的兩個重要階段保溫層金屬壁t0t1xF

A

P

K

E

JDICBL11非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念對于上述復合壁情形，不同時刻左右表面的導熱量隨時間的變化定性用右圖表示。0Φ1Φ2τΦΦ1為從左側導入金屬壁的熱流量Φ2為從右側導出保溫層的熱流量導熱過程中兩者不相等，且隨著過程的進行，其差別逐漸減小，直到進入穩(wěn)態(tài)階段兩者平衡。陰影部分代表了復合壁在升溫過程中積蓄的能量。12非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念3.1.2導熱微分方程解的唯一性定律非穩(wěn)態(tài)導熱問題的求解初始條件邊界條件導熱微分方程假定物體的熱物理特性參數均為常數式中div(gradt)是溫度的拉普拉斯（Laplace）算子（3-1a）13非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念引入熱擴散率，于是有：初始條件的一般形式是：一個實用上經常遇到的簡單特例是初始溫度均勻，即（3-1b）（3-2a）（3-2b）14非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念第三類邊界條件較為常見，本章將著重討論物體處于恒溫介質中的第三類邊界條件的非穩(wěn)態(tài)導熱，即：數學上可以證明，如果某一函數t（x,y,z,τ）滿足方程（3-1a）或（3-1b）以及一定的初始條件和邊界條件。則此函數就是這一特定導熱問題的唯一解。換言之，不可能同時存在兩個都滿足導熱微分方程及同一定解條件的不同的解。（3-3）15討論如左圖所示的一塊厚度為2δ的金屬平板，初始溫度為，突然將它置于溫度為的流體中進行冷卻，表面?zhèn)鳠嵯禂禐閔，平板的導熱系數為λ。根據平板的導熱熱阻δ/λ與對流傳熱熱阻1/h的相對大小的不同，平板中溫度場的變化會出現以下三種情形。非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念3.1.3第三類邊界條件下Bi數對平板中溫度分布的影響16非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念1、首先討論畢渥數Bi趨近于無窮，即導熱熱阻遠大于對流傳熱熱阻（請同學舉例）。過程一開始，平板表面溫度就立即被冷卻到。隨著時間的推移，平板內部各店的溫度逐漸下降，最后趨近周圍流體溫度。17非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念2、討論畢渥數Bi趨近于0，即對流傳熱熱阻遠大于導熱熱阻（請同學舉例）。由于平板內部導熱熱阻δ/λ

幾乎可以忽略，所以在整個過程中，平板中各點的溫度基本一致。并隨著時間的推移整體地下降，最后趨近周圍流體溫度。183、討論Bi為有限大小畢渥數Bi為有限大小，即導熱熱阻δ/λ與對流傳熱熱阻1/h數值比較接近（請同學舉例）。該情況下，平板中不同時刻的溫度分布介于上述兩種極端情況之間。非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念19非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念xxxttt

特征數：表征某一類物理現象或物理過程特征的無量綱數。又稱為準則數。出現在特征數定義式中的幾何尺度稱為特征長度，用l

表示。20目錄3.1非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念3.2零維問題的分析方法——集中參數法3.3典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解21零維問題的分析法——集中參數法當固體內部的導熱熱阻遠小于其表面的換熱熱阻時，任何時刻固體內部的溫度夠趨于一致，以致可以認為整個固體在同一瞬間均處于同一溫度下。即，固體的質量和熱容量都匯總到一點上。這種忽略物體內部導熱熱阻的簡化分析方法稱為集中參數法。（lumpedparametermethod）條件：物體的導熱系數相當大，或幾何尺寸很小，或表面?zhèn)鳠嵯禂禈O低。22零維問題的分析法——集中參數法3.2.1集中參數法溫度場的分析解設有任意形狀的固體，其體積為V，表面積為A，初始溫度t0，突然將其置于溫度恒為t∞的流體中，設t0>t∞，固體與流體間的表面?zhèn)鳠嵯禂礹及固體的物性參數均保持常數，求解物體溫度隨時間的依變關系。此問題可應用集中參數法分析。t∞23零維問題的分析法——集中參數法非穩(wěn)態(tài)、有內熱源的導熱問題式中：是廣義熱源。界面上交換的熱量應折算成整個物體的體積熱源。24零維問題的分析法——集中參數法引入過余溫度，則有：兩式合并有：初始條件：導熱微分方程25零維問題的分析法——集中參數法將導熱微分方程分離變量注意到V/A具有長度的量綱，并定義：兩邊積分得：26Bi是以lc為特征長度的畢渥數，FO稱為傅里葉數，也是以lc為其特征長度。故上式可簡化為：零維問題的分析法——集中參數法27零維問題的分析法——集中參數法3.2.2導熱量計算式、時間常數與傅里葉數1、導熱量計算式導熱物體與流體間所交換的熱量可由瞬時熱流量對時間積分得到。導熱物體的瞬時熱流量為：28零維問題的分析法——集中參數法從τ=0到τ時刻之間所交換的總熱量為換熱量是恒為正的，因此對物體被加熱的場合應將式中的t0-t∞改為t∞-t0。物體內部導熱熱阻可以忽略時的加熱或冷卻，有時又稱牛頓加熱或牛頓冷卻。29零維問題的分析法——集中參數法2、時間常數采用集中參數法分析時，物體中過余溫度隨時間成指數曲線關系變化，在開始階段溫度變化得很快，隨后逐漸減慢。30零維問題的分析法——集中參數法在指數函數中具有與相同的量綱。如果則有：稱為時間常數（timeconstant）,記為τc

。31零維問題的分析法——集中參數法當時間τ=τc時，物體的過余溫度已經降到了初始過余溫度的36.8%。時間常數不僅取決于幾何參數V/A，物理性質ρ、c，還與換熱條件h有關。時間常數越小，物體的溫度變化就越快。物體就越迅速地接近流體溫度。

32零維問題的分析法——集中參數法以熱電偶為例，時間常數越小，熱電偶越能迅速地反映流體的溫度變化，故熱電偶端部的接點總是做得很小。當τ=4.6τc

時，

工程上認為τ=4.6τc時導熱物體已經達到熱平衡狀態(tài)。33擴展·熱電偶熱電偶（thermocouple）是常用的測溫元件，它直接測量溫度，并把溫度信號轉換成熱電動勢信號，通過電氣儀表（二次儀表）轉換成被測介質的溫度。測溫原理：兩種不同成份的導體兩端接合組成回路，當兩個接合點的溫度不同時，在回路中就會產生電動勢，這種現象稱為熱電效應。34擴展·熱電偶熱電偶分度號

熱電極材料正極負極S鉑銠10純鉑R鉑銠13純鉑B鉑銠30鉑銠6K鎳鉻鎳硅T純銅銅鎳J鐵銅鎳N鎳鉻硅鎳硅E鎳鉻銅鎳35零維問題的分析法——集中參數法3、傅里葉數的物理意義傅里葉數可以理解為兩個時間間隔相除所得的無量綱時間。故Fo可以看成是表征非穩(wěn)態(tài)過程進行深度的無量綱時間。從邊界上開始發(fā)生熱擾動的時刻起到所計算時刻為止的時間間隔邊界上發(fā)生的有限大小的熱擾動穿過一定厚度的固體層擴散到lc2的面積上所需的時間36零維問題的分析法——集中參數法

在非穩(wěn)態(tài)導熱過程中，這一無量綱時間越大，熱擾動就越深入地傳播到物體內部，因而物體內各點的問題就越接近周圍介質的溫度。37零維問題的分析法——集中參數法3.2.3集中參數法的實用范圍及應用舉例對于平板、圓柱和球中的一維非穩(wěn)態(tài)第三類邊界條件下的導熱問題，當按特征長度l=δ，厚度為2δl=R，圓柱l=R，球定義Bi數≤0.138典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解由于lc=V/A，對圓柱和球分別是R的1/2和1/3。因此如果以lc作為畢渥數的特征長度，則該Bi數對平板、圓柱和球應分別小于0.1、0.05和0.033。（如例題3-1、3-2、3-3）39目錄3.1非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念3.2零維問題的分析方法——集中參數法3.3典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解40典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解所謂一維是指：對平板，溫度僅沿著厚度方向變化；對圓柱和球，溫度僅沿著半徑方向變化。

以平板為例，厚為2δ的無限大平板，初始溫度為t0。將其置于溫度為t∞的流體中，設平板兩邊對稱受熱，板內溫度必然以其中心截面為對稱面。研究厚為δ的半塊平板情況即可，將x軸遠點置于板的中心截面上t0h,t∞h,t∞0-δ

δ

41典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解對于x≥0的半塊平板，導熱微分方程及定解條件為：邊界條件初始條件定解條件42典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解引入過余溫度經分離變量后可得分析解如下：t0h,t∞h,t∞0-δ

δ

式中，FO為傅里葉數，FO=a

τ

/δ

2,η

=x/δ43典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解系數Cn應該使上述無窮級數在初始時刻（τ=0時）滿足初始條件，由傅里葉級數理論可得：μn是下列超越方程的根，稱為特征值：44典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解非穩(wěn)態(tài)導熱的正規(guī)狀況（溫度分布取決于邊界條件）分析解：45典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解3.3.3非穩(wěn)態(tài)導熱正規(guī)狀況階段的工程計算方法

1、圖線法簡潔、方便。但計算的準確度收到圖線分辨率的限制。2、近似擬合公式法便于計算機求解，同時免去圖線法所需迭代。46典型一維物體非穩(wěn)態(tài)導熱的分析解3.3.4Fo、Bi對