西安交大線性代數(shù)期末考題-線性代數(shù)與幾何試題集合

線性代數(shù)與幾何試題集合08年1月A卷一、08年1月A卷(1).若矩陣,則=.(2).已知,則跡=.(3).若向量組線性相關(guān),則=.(4).設(shè)矩陣為正定矩陣，則的取值范圍是.二、單項(xiàng)選擇題(每小題4分,共16分)(1).設(shè)，則必有(A).(B).(C).(D).【】(2).直線和直線(A)重合.(B)相交.(C)平行.(D)異面.【】(3).只有零解的充分必要條件是(A)的列向量線性相關(guān);(B)的行向量線性相關(guān);(C)是行滿秩的;(D)是列滿秩的;【】(4).設(shè)矩陣，則＝(A).(B).(C).(D).【】三、(12分)寫出以為頂點(diǎn)，為準(zhǔn)線的錐面方程。并指出其在平面上的投影曲線的名稱。四、(12分)取何值時(shí),線性方程組有唯一解、無解、有無窮多解?并在有無窮多解時(shí),求出該方程組的結(jié)構(gòu)式通解.五、(12分).設(shè)二次型，其中(1)寫出二次型的矩陣;(2)求一個(gè)正交矩陣，使成對(duì)角矩陣;(3)求一個(gè)合同矩陣，寫出在線性變換下的規(guī)范形.六、(12分)向量組，,能否由向量組，，線性表示。若能，求出它們的表達(dá)式。七、(10分)(注意:學(xué)習(xí)過第8章“線性變換”者做第(2)題,其余同學(xué)做第(1)題)設(shè)數(shù)域上的三維線性空間中定義的兩個(gè)運(yùn)算是和，即，，且是的一個(gè)基，是的零元，若,,(1)求的基與維數(shù)。(2)若中的線性算子的矩陣，求和的一個(gè)基。八、(10分)設(shè)，,且，（1）求的特征值，（2）求可逆陣及對(duì)角陣，使.07年1月A卷一、07年1月A卷(1).若矩陣,則=.(2).若向量組的秩為2,則=.(3).設(shè)矩陣,已知齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有兩個(gè)向量，則=.(4).設(shè)矩陣為正定矩陣，則的取值范圍是二、單項(xiàng)選擇題(每小題3分,共12分)(1).設(shè)兩個(gè)非零矩陣,滿足，則必有(A)的列向量組線性相關(guān).(B)的列向量組線性無關(guān).(C)的列向量組線性相關(guān).(D)的列向量組線性無關(guān).【】(2).曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成旋轉(zhuǎn)面的名稱是(A)單葉雙曲面.(B)雙葉雙曲面.(C)橢圓面.(D)拋物面.【】(3).已知3階矩陣的特征值為1，2，3，則必相似于對(duì)角矩陣(A);(B);(C);(D);(4).設(shè)矩陣，則＝(A).(B).(C).(D).【】三、(12分)設(shè)方陣滿足,其中，求矩陣.四、(12分)已知直線，直線.（1）記的方向向量為，求過且與平行的平面的方程.（2）求與與的公垂線的方程.五、(12分)、取何值時(shí),線性方程組有唯一解、無解、有無窮多解?并在有無窮多解時(shí),求出該方程組的結(jié)構(gòu)式通解.六、(12分).設(shè)二次型,(1)寫出二次型的矩陣;(2)求一個(gè)正交矩陣,使成對(duì)角矩陣;(3)寫出在正交變換下化成的標(biāo)準(zhǔn)形.七、(12分)設(shè)矩陣的全部特征值之積為24.(1)求的值；(2)討論能否對(duì)角化，若能，求一個(gè)可逆矩陣使為對(duì)角陣。八、(10分)(注意:學(xué)習(xí)過第8章“線性變換”者做第(2)題,其余同學(xué)做第(1)題)(1)在中所有2階實(shí)對(duì)稱矩陣所組成的集合構(gòu)成的一個(gè)子空間.證明元素組是的一個(gè)基.(2)設(shè)是上的線性算子，在的基（Ⅰ）：下的矩陣為,求在的基（Ⅱ）：下的矩陣九、(6分)設(shè)為階方陣，且.證明:的充分必要條件是.07年1月A卷07年1月A卷答案一、(滿12分)(1).72.(2).-2(3).1.(4)..二、(滿12分)(1).(A)(2).(B)(3).(D);(4).(B)三、(滿12分)解因，兩端同乘A，,化簡(jiǎn)得，.四、(滿12分)解（1）.（2分），平面的法向量為，（4分），故平面方程為.（6分）（2）將代入得，交點(diǎn).（10分）故與的公垂線的方程.（12分）五、(滿12分)解增廣矩陣當(dāng)時(shí)，，方程組有唯一解，（6分）當(dāng)，且時(shí)，，方程組無解（8分）當(dāng)且時(shí)，,該方程組有無窮多解，其結(jié)構(gòu)式通解為,.(12分)六、(滿12分)解(1);（2分）(2)特征值為，（5分）當(dāng)時(shí)特征向量為，當(dāng)時(shí)，，取為正交矩陣，可,使;（11分），

一、填空題(每小題3分，共12分)07年1月B卷(1)設(shè),B=，其中P為3階可逆矩陣，則=__07年1月B卷(2)設(shè)A=是實(shí)正交矩陣，且=1,b=,則線性方程組的解是______(3)設(shè)n階方陣的秩為,則(4)已知向量,則與它們都垂直的一個(gè)單位向量是___二、單項(xiàng)選擇題(每小題3分，共12分)(1)設(shè)矩陣B=，已知，則等于(A)2.(B)3.(C)4.(D)5.【】(2)設(shè)4階方陣A的秩為2,則其伴隨矩陣的秩為(A)0.(B)2.(C)3.(D)4.【】(3)設(shè)向量組可由向量組線性表示，則當(dāng)時(shí)，向量組II必線性相關(guān).當(dāng)時(shí)，向量組II必線性相關(guān).當(dāng)時(shí)，向量組I必線性相關(guān).當(dāng)時(shí)，向量組I必線性相關(guān).【】(4)n階方陣A有n個(gè)兩兩不同特征值是A與對(duì)角矩陣相似的(A)充分必要條件.(B)充分而非必要的條件.(C)必要而非充分的條件.(D)既不是充分也不是必要條件.【】三、(12分)求向量組

,,,,四、（12分）計(jì)算n階行列式Dn的值，其中五、（12分）已知齊次線性方程組,其中.討論和b滿足何種關(guān)系時(shí),

(1)方程組僅有零解；

(2)方程組有非零解。在有非零解時(shí)，求此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。六、(13分)已知兩條直線的方程分別為兩直線是否共面？如共面，求兩直線所在平面的方程。(2)兩直線是否有交點(diǎn)？如有交點(diǎn)，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)。七、（13分）設(shè)A=的一個(gè)特征值為3，（1）求y的值；(2)求可逆方陣P，使為對(duì)角陣。八、(8分)（注意：學(xué)習(xí)過第8章“線性變換”者做第2題，其余的做第1題）.1、設(shè),,和都是的解空間的維數(shù)與一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。2、設(shè),T在V的基e1,e2,e3下的矩陣為，求T在基,,下的矩陣.九、（6分）證明：r(A)1的充分必要條件是存在非零列向量a及非零行向量bT使AabT06年1月A卷juan06年1月A卷juan06年1月A卷juan06年1月A卷juan(1).若向量組線性相關(guān),則常數(shù)=.(2).若矩陣的伴隨矩陣,則=.(3).已知為3維向量,,則=.(4).已知是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,則向量組也可作為的基礎(chǔ)解系的充要條件是常數(shù)滿足條件.二、單項(xiàng)選擇題(每小題3分,共12分)(1).設(shè)矩陣,則(A)為正交矩陣.(B)為正交矩陣.(C).(D).【】(2).已知矩陣相似于對(duì)角矩陣,則等于(A)0.(B)2.(C)-2.(D)6.【】(3).設(shè)矩陣的伴隨矩陣的秩為1,則(A).(B)且.(C).(D)且.【】(4).的子空間的維數(shù)是(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.【】三、(12分)設(shè)3階方陣、滿足,(1)證明矩陣可逆;(2)當(dāng)時(shí),求.四、(13分)、取何值時(shí),線性方程組有唯一解、無解、有無窮多解?并在有無窮多解時(shí),求出方程組的結(jié)構(gòu)式通解.五、(12分)兩直線與是否共面？若共面，求它們所確定平面的一般式方程.六、(12分)設(shè)3階矩陣的特征值為,是依次對(duì)應(yīng)的特征向量，設(shè)方陣，求的特征值、特征向量及.七、(13分)設(shè)矩陣,(1)寫出二次型的矩陣;(2)求一個(gè)正交矩陣,使成對(duì)角矩陣;(3)寫出在正交變換下化成的標(biāo)準(zhǔn)形.八、(8分)(注意:學(xué)習(xí)過第8章“線性變換”者做第(2)題,其余同學(xué)做第(1)題)(1)設(shè)的子空間由向量組生成,求的基與維數(shù).(2)設(shè)為3維線性空間的基,上的線性算子在該基下的矩陣為,求的值域的基與維數(shù)、的核的基.九、(6分)設(shè)、均為階正定矩陣.證明:關(guān)于的方程的根全大于零.06年1月B卷juan06年1月B卷juan,則的值為.、均為可逆方陣,則=.無解,則常數(shù).是矩陣的屬于特征值的特征向量,則常數(shù)的基礎(chǔ)解系是二、單項(xiàng)選擇題(每小題3分,共15分)1.設(shè)向量,,矩陣,則等于....【】為3階方陣,則的充分必要條件是的列向量組線性無關(guān).的行向量組線性相關(guān).的秩為3.中有兩行對(duì)應(yīng)成比例.【】,其中為3維行向量(),矩陣,則必有....4.設(shè)向量組線性相關(guān),而向量組線性無關(guān),則向量組的極大無關(guān)組是....【】5.階方陣正定的充要條件是.的個(gè)特征值均大于零.有個(gè)線性無關(guān)的特征向量.為對(duì)稱陣.【】三、(12分)求過三個(gè)平面的交點(diǎn)，且平行于平面的平面方程。四、(12分)當(dāng)、為何值時(shí),線性方程組有唯一解、無解或有無窮多解？并在其有無窮多解時(shí)，求出結(jié)構(gòu)式通解.五、(12分)求向量組，，，，的極大線性無關(guān)組與秩，并將其余向量用極大無關(guān)組線性表示.六、(10分)已知矩陣，求.七、(10分)判定下面的二次型是否正定八、(8分)(注意:學(xué)習(xí)過第8章“線性變換”者做第(2)題,其余同學(xué)做第(1)題).(1)若三階方陣有三個(gè)互不相等的特征值，設(shè)，求：.(2)設(shè)，定義為，.求：的值域與的秩，的核與T的零度.九、（6分）證明：階實(shí)矩陣為正定矩陣的充要條件，是存在個(gè)線性無關(guān)的實(shí)向量，使得05年1月A卷juan05年1月A卷juan(1)若3階方陣、的行列式分別為，則__________.(2)設(shè)4階可逆方陣按列分塊為，方陣，已知線性方程組有唯一解為，則方程組的解為=__________.(4)(3)設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為，及均為的對(duì)應(yīng)于特征值2的特征向量，則的對(duì)應(yīng)于特征值的特征值向量為_________________.(4)設(shè)矩陣，已知線性方程組無解，則常數(shù)與滿足的關(guān)系式是____________.二、單項(xiàng)選擇題(每小題3分，共12分)(1)設(shè)階方陣的秩為，矩陣的秩為，則(A).(B).(C).(D).【】(2)設(shè)方陣與相似，即存在可逆方陣，使，已知為的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，則的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量為(A).(B).(C).(D).【】(3)設(shè)為實(shí)對(duì)稱矩陣，則是為正定矩陣的(A)充分而非必要條件.(B)必要而非充分條件.(C)充分必要條件.(D)既非充分又非必要的條件.【】(4)設(shè)是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，則向量組(A)不能作為的基礎(chǔ)解系.(B)可作為的基礎(chǔ)解系.(C)可作為的基礎(chǔ)解系.(D)不能作為的基礎(chǔ)解系.【】三、(12分)已知方陣的第1行元素分別為，，，且知，求及.四、（12分）設(shè)有向量組(I)：，，，.問向量能否表示成向量組(I)的線性組合？若能，求出此表示式.五、（12分）求直線：在平面：上的投影直線（即上各點(diǎn)在上的垂足點(diǎn)全體所形成的直線）的方程.六、(13分)已知矩陣相似于對(duì)角矩陣.(1)求常數(shù)、的值；(2)求一個(gè)可逆矩陣，使.七、（13分）求一個(gè)正交變換，將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形，并指出二次曲面的名稱.八、(8分)（注意：學(xué)習(xí)過第8章“線性變換”者做第2題，其余的做第1題）.1.設(shè)矩陣，，，.證明：元素組線性無關(guān)，而線性相關(guān)，并指出數(shù)域上線性空間+|的基與維數(shù).2.設(shè)為上的線性算子，定義為,求在的基：下的矩陣，并指出的秩及的零度.九、（6分）設(shè)階方陣的秩為.證明：的伴隨矩陣相似于對(duì)角矩陣的充要條件是，其中為的元素的代數(shù)余子式.05年1月A卷juan05年1月A卷juan一、填空題(每小題3分，共12分)(1)若3階方陣的行列式為，則________.(2)設(shè)為的矩陣，秩，已知方程組有兩個(gè)不等的特解，則方程組的通解為=__________.(3)設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為，又為的對(duì)應(yīng)于特征值1的特征向量，則為_________________.(4)設(shè)，已知非零矩陣滿足，則=_______.二、單項(xiàng)選擇題(每小題3分，共12分)(1)設(shè)階方陣的秩為，則矩陣的秩為(A).