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文檔簡(jiǎn)介

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.2.已知關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)根,,且,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.3.函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.4.從裝有除顏色外完全相同的3個(gè)白球和個(gè)黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球,有放回的摸取5次,設(shè)摸得白球數(shù)為,已知,則A. B. C. D.5.過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn),則經(jīng)過(guò)兩切點(diǎn)的直線(xiàn)方程是().A. B. C. D.6.在函數(shù):①;②;③;④中,最小正周期為的所有函數(shù)為()A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③7.中,點(diǎn)在邊上,平分,若,,,,則()A. B. C. D.8.在中,“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.圓錐底面半徑為,高為,是一條母線(xiàn),點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn),則點(diǎn)到所在直線(xiàn)的距離的最大值是()A. B. C. D.10.半徑為2的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正三棱柱,則正三棱柱的側(cè)面積的最大值為()A. B. C. D.11.在中,,則=()A. B.C. D.12.已知向量,,若,則()A. B. C.-8 D.8二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知拋物線(xiàn),點(diǎn)為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn),切點(diǎn)分別為,則線(xiàn)段長(zhǎng)度的取值范圍為_(kāi)_________.14.已知向量,若向量與共線(xiàn),則________.15.在中,角的平分線(xiàn)交于,,,則面積的最大值為_(kāi)_________.16.已知四棱錐的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,且.若四棱錐P-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)在以4為半徑的同一球面上,當(dāng)PA最長(zhǎng)時(shí),則______________;四棱錐P-ABCD的體積為_(kāi)_____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)圖1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連結(jié)DG,如圖2.(1)證明:圖2中的A,C,G,D四點(diǎn)共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求圖2中的二面角B?CG?A的大小.18.(12分)在底面為菱形的四棱柱中,平面.(1)證明:平面;(2)求二面角的正弦值.19.(12分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù)的最大值為3,其中.(1)求的值;(2)若,,,求證:20.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù),試討論的單調(diào)性;(2)若,,求的取值范圍.21.(12分)某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷(xiāo),規(guī)定凡在該超市購(gòu)物滿(mǎn)400元的顧客,均可獲得一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì).摸獎(jiǎng)規(guī)則如下:獎(jiǎng)盒中放有除顏色不同外其余完全相同的4個(gè)球(紅、黃、黑、白).顧客不放回的每次摸出1個(gè)球,若摸到黑球則摸獎(jiǎng)停止,否則就繼續(xù)摸球.按規(guī)定摸到紅球獎(jiǎng)勵(lì)20元,摸到白球或黃球獎(jiǎng)勵(lì)10元,摸到黑球不獎(jiǎng)勵(lì).(1)求1名顧客摸球2次摸獎(jiǎng)停止的概率;(2)記X為1名顧客摸獎(jiǎng)獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.22.(10分)如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,,點(diǎn)、分別為,的中點(diǎn),且平面平面.(1)求證:平面.(2)若,求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

復(fù)數(shù),在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,可得關(guān)于a的不等式組,解得a的范圍.【詳解】,由其在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,得,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、不等式的解法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

先利用三角恒等變換將題中的方程化簡(jiǎn),構(gòu)造新的函數(shù),將方程的解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題,畫(huà)出函數(shù)圖象,再結(jié)合,解得的取值范圍.【詳解】由題化簡(jiǎn)得,,作出的圖象,又由易知.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換,方程的根的問(wèn)題,利用數(shù)形結(jié)合法,求得范圍.屬于中檔題.3、C【解析】

由題可知,曲線(xiàn)與有公共點(diǎn),即方程有解,可得有解,令,則,對(duì)分類(lèi)討論,得出時(shí),取得極大值,也即為最大值,進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】解:由題可知,曲線(xiàn)與有公共點(diǎn),即方程有解,即有解,令,則,則當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,故時(shí),取得極大值,也即為最大值,當(dāng)趨近于時(shí),趨近于,所以滿(mǎn)足條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法,考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想,考查抽象概括、運(yùn)算求解等數(shù)學(xué)能力,屬于難題.4、B【解析】

由題意知,,由,知,由此能求出.【詳解】由題意知,,,解得,,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的方差的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意二項(xiàng)分布的靈活運(yùn)用.5、A【解析】過(guò)圓外一點(diǎn),引圓的兩條切線(xiàn),則經(jīng)過(guò)兩切點(diǎn)的直線(xiàn)方程為,故選.6、A【解析】逐一考查所給的函數(shù):,該函數(shù)為偶函數(shù),周期;將函數(shù)圖象x軸下方的圖象向上翻折即可得到的圖象,該函數(shù)的周期為;函數(shù)的最小正周期為;函數(shù)的最小正周期為;綜上可得最小正周期為的所有函數(shù)為①②③.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛:求三角函數(shù)式的最小正周期時(shí),要盡可能地化為只含一個(gè)三角函數(shù)的式子,否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤.一般地,經(jīng)過(guò)恒等變形成“y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)”的形式,再利用周期公式即可.7、B【解析】

由平分,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線(xiàn)定理可得,再根據(jù)平面向量的加減法運(yùn)算即得答案.【詳解】平分,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線(xiàn)定理可得,又,,,,..故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

通過(guò)列舉法可求解,如兩角分別為時(shí)【詳解】當(dāng)時(shí),,但,故充分條件推不出;當(dāng)時(shí),,但,故必要條件推不出;所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的充分與必要條件判斷,三角函數(shù)在解三角形中的具體應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題9、C【解析】分析:作出圖形,判斷軸截面的三角形的形狀,然后轉(zhuǎn)化求解的位置,推出結(jié)果即可.詳解:圓錐底面半徑為,高為2,是一條母線(xiàn),點(diǎn)是底面圓周上一點(diǎn),在底面的射影為;,,過(guò)的軸截面如圖:,過(guò)作于,則,在底面圓周,選擇,使得,則到的距離的最大值為3,故選:C點(diǎn)睛:本題考查空間點(diǎn)線(xiàn)面距離的求法,考查空間想象能力以及計(jì)算能力,解題的關(guān)鍵是作出軸截面圖形,屬中檔題.10、B【解析】

設(shè)正三棱柱上下底面的中心分別為,底面邊長(zhǎng)與高分別為,利用,可得,進(jìn)一步得到側(cè)面積,再利用基本不等式求最值即可.【詳解】如圖所示.設(shè)正三棱柱上下底面的中心分別為,底面邊長(zhǎng)與高分別為,則,在中,,化為,,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),此時(shí).故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查正三棱柱與球的切接問(wèn)題,涉及到基本不等式求最值,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道中檔題.11、B【解析】

在上分別取點(diǎn),使得,可知為平行四邊形,從而可得到,即可得到答案.【詳解】如下圖,,在上分別取點(diǎn),使得,則為平行四邊形,故,故答案為B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算,考查了學(xué)生邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

先求出向量,的坐標(biāo),然后由可求出參數(shù)的值.【詳解】由向量,,則,,又,則,解得.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和模長(zhǎng)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

連接,易得,可得四邊形的面積為,從而可得,進(jìn)而求出的取值范圍,可求得的范圍.【詳解】如圖,連接,易得,所以四邊形的面積為,且四邊形的面積為三角形面積的兩倍,所以,所以,當(dāng)最小時(shí),最小,設(shè)點(diǎn),則,所以當(dāng)時(shí),,則,當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí),,此時(shí),因?yàn)殡S著的增大而增大,所以的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的求法,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于中檔題.14、【解析】

計(jì)算得到,根據(jù)向量平行計(jì)算得到答案.【詳解】由題意可得,因?yàn)榕c共線(xiàn),所以有,即,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)向量平行求參數(shù),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.15、15【解析】

由角平分線(xiàn)定理得,利用余弦定理和三角形面積公式,借助三角恒等變化求出面積的最大值.【詳解】畫(huà)出圖形:因?yàn)?,,由角平分線(xiàn)定理得,設(shè),則由余弦定理得:即當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)所以面積的最大值為15故答案為:15【點(diǎn)睛】此題考查解三角形面積的最值問(wèn)題,通過(guò)三角恒等變形后利用均值不等式處理,屬于一般性題目.16、90°【解析】

易得平面PAD,P點(diǎn)在與BA垂直的圓面內(nèi)運(yùn)動(dòng),顯然,PA是圓的直徑時(shí),PA最長(zhǎng);將四棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體,易得為球的直徑即可得到PD,從而求得四棱錐的體積.【詳解】如圖,由及,得平面PAD,即P點(diǎn)在與BA垂直的圓面內(nèi)運(yùn)動(dòng),易知,當(dāng)P、、A三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),PA達(dá)到最長(zhǎng),此時(shí),PA是圓的直徑,則;又,所以平面ABCD,此時(shí)可將四棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體,其體對(duì)角線(xiàn)為,底面邊長(zhǎng)為2的正方形,易求出,高,故四棱錐體積.故答案為:(1)90°;(2).【點(diǎn)睛】本題四棱錐外接球有關(guān)的問(wèn)題,考查學(xué)生空間想象與邏輯推理能力,是一道有難度的壓軸填空題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)詳解;(2).【解析】

(1)因?yàn)檎奂埡驼澈喜桓淖兙匦?,和菱形?nèi)部的夾角,所以,依然成立,又因和粘在一起,所以得證.因?yàn)槭瞧矫娲咕€(xiàn),所以易證.(2)在圖中找到對(duì)應(yīng)的平面角,再求此平面角即可.于是考慮關(guān)于的垂線(xiàn),發(fā)現(xiàn)此垂足與的連線(xiàn)也垂直于.按照此思路即證.【詳解】(1)證:,,又因?yàn)楹驼吃谝黄?,A,C,G,D四點(diǎn)共面.又.平面BCGE,平面ABC,平面ABC平面BCGE,得證.(2)過(guò)B作延長(zhǎng)線(xiàn)于H,連結(jié)AH,因?yàn)锳B平面BCGE,所以而又,故平面,所以.又因?yàn)樗允嵌娼堑钠矫娼?,而在中,又因?yàn)楣?,所?而在中,,即二面角的度數(shù)為.【點(diǎn)睛】很新穎的立體幾何考題.首先是多面體粘合問(wèn)題,考查考生在粘合過(guò)程中哪些量是不變的.再者粘合后的多面體不是直棱柱,建系的向量解法在本題中略顯麻煩,突出考查幾何方法.最后將求二面角轉(zhuǎn)化為求二面角的平面角問(wèn)題考查考生的空間想象能力.18、(1)證明見(jiàn)解析;(2)【解析】

(1)由已知可證,即可證明結(jié)論;(2)根據(jù)已知可證平面,建立空間直角坐標(biāo)系,求出坐標(biāo),進(jìn)而求出平面和平面的法向量坐標(biāo),由空間向量的二面角公式,即可求解.【詳解】方法一:(1)依題意,且∴,∴四邊形是平行四邊形,∴,∵平面,平面,∴平面.(2)∵平面,∴,∵且為的中點(diǎn),∴,∵平面且,∴平面,以為原點(diǎn),分別以為軸、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,∴設(shè)平面的法向量為,則,∴,取,則.設(shè)平面的法向量為,則,∴,取,則.∴,設(shè)二面角的平面角為,則,∴二面角的正弦值為.方法二:(1)證明:連接交于點(diǎn),因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?,所以為中點(diǎn),又因?yàn)樗倪呅螢榱庑危詾橹悬c(diǎn),∴在中,且,∵平面,平面,∴平面(2)略,同方法一.【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)面平行的證明,考查空間向量法求面面角,意在考查直觀(guān)想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),屬于中檔題.19、(1)(2)見(jiàn)解析【解析】

(1)分三種情況去絕對(duì)值,求出最大值與已知最大值相等列式可解得;(2)將所證不等式轉(zhuǎn)化為2ab≥1,再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求出最小值可證.【詳解】(1)∵,∴.∴當(dāng)時(shí),取得最大值.∴.(2)由(Ⅰ),得,.∵,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,∴.令,.則在上單調(diào)遞減.∴.∴當(dāng)時(shí),.∴.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法,屬中檔題.本題主要考查了絕對(duì)值不等式的求解,以及不等式的恒成立問(wèn)題,其中解答中根據(jù)絕對(duì)值的定義,合理去掉絕對(duì)值號(hào),及合理轉(zhuǎn)化恒成立問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵,著重考查分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力,以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.20、(1)答案不唯一,具體見(jiàn)解析(2)【解析】

(1)由于函數(shù),得出,分類(lèi)討論當(dāng)和時(shí),的正負(fù),進(jìn)而得出的單調(diào)性;(2)求出,令,得,設(shè),通過(guò)導(dǎo)函數(shù),可得出在上的單調(diào)性和值域,再分類(lèi)討論和時(shí),的單調(diào)性,再結(jié)合,恒成立,即可求出的取值范圍.【詳解】解:(1)因?yàn)?,所以,①?dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減.②當(dāng)時(shí),令,則;令,則,所以在單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.綜上所述,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)因?yàn)?,可知,,令,?設(shè),則.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,所以在上的值域是,即.當(dāng)時(shí),沒(méi)有實(shí)根,且,在上單調(diào)遞減,,符合題意.當(dāng)時(shí),,所以有唯一實(shí)根,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,,不符合題意.綜上,,即的取

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