流體力學(xué)課程

量綱分析和相似原理在流體力學(xué)的應(yīng)用鐘文車輛1003摘要:量綱分析法是研究較為復(fù)雜的自然現(xiàn)象中各物理量之間的關(guān)系及內(nèi)在規(guī)律性的有效工具，也是相似理論的理論基礎(chǔ).量綱分析法的理論和應(yīng)用，在科學(xué)研究和物理學(xué)領(lǐng)域中有著十分重要的地位.而對于設(shè)計制造復(fù)雜龐大的機(jī)械，往往要根據(jù)相似原理，進(jìn)行模擬實驗，將實驗結(jié)果推廣到同類型中，以相似原理為基礎(chǔ)的模型試驗方法在流體中有廣發(fā)的應(yīng)用。關(guān)鍵詞:量綱分析法；相似原理；流體力學(xué)；應(yīng)用0前言本文在充分研讀［1］《工程流體力學(xué)》（莫乃容）第九章節(jié)及相關(guān)書籍后，對量綱分析和相似原理有了一個深刻的認(rèn)識，在對量綱分析和相似原理實際操作上做了一些范例，同時在了解的基礎(chǔ)上繼續(xù)做了一些實際的推廣，將量綱分析的基本原理，相似原理引入相似結(jié)構(gòu)大變形非線性動態(tài)響應(yīng)分析。對車身典型薄壁件進(jìn)行了軸向沖擊響應(yīng)與壓潰變形的相似分析，得到模型與原型之間的相似比，并進(jìn)一步得出了由縮比模型預(yù)測相似模型碰撞響應(yīng)。實驗可分為兩類，即直接試驗和模擬實驗。直接實驗就是在所研究的對象即原型上直接進(jìn)行實驗，這種方法具有很大的局限性：實驗結(jié)果只能用于特定的實驗條件，或只能推廣到與實驗條件完全相同的現(xiàn)象上去：對于某些設(shè)備，由于實驗條件的限制，如高溫高壓或者設(shè)備尺寸太大或者太小，都可能使實驗難以進(jìn)行；對于那些尚未建造的設(shè)備，如要設(shè)計一座新的水壩，則根本談不上用實驗方法探索其規(guī)律性；直接實驗的方法不適用于大型設(shè)備的破壞性實驗。模擬實驗即?；瘜嶒灴朔飞街苯訉嶒灥娜秉c，根據(jù)相似原理，按一定原則把流動實物原型縮小或放大，或者把復(fù)雜的、苛刻的工況條件轉(zhuǎn)化為簡單的實驗條件，或者更換為流體介質(zhì)，把易燃、易爆、有毒、昂貴的流體介質(zhì)更換為空氣或水，制成模擬試驗臺，把模型試驗臺上測定流動參數(shù)，找出模型中流體的運(yùn)動規(guī)律，然后將這些規(guī)律運(yùn)用于與模型相似的各種實驗設(shè)備上去。用模型試驗方法解決流體力學(xué)所依據(jù)的基本理論和方法是量綱分析和相似原理。1量綱分析1.1量綱和單位物理量單位的種類稱為量綱，表示物理量的本質(zhì)屬性，用dim表示。一個物理量可以用不同的單位度量，但量綱卻是唯一的。例如長度、寬度、高度、厚度、深度都可以用米、英尺等長度單位來度量，但是它們的量綱都是長度量綱L。由于許多物理量的量綱之間都有一定的聯(lián)系，在量綱分析時選少數(shù)幾個物理量的量綱作為基本量綱，其他物理量的量綱都可以由這些基本量綱導(dǎo)出，稱為導(dǎo)出量綱?；玖烤V是相互獨立的，而不能由其他量綱的組合來表示，在工程流體力學(xué)中常用質(zhì)量、長度、時間虬L、T）作為基本量綱。在一般的力學(xué)問題中，任意一個物理量B的量綱都可以用M，L，T這三個基本量綱的指數(shù)乘積來表示dimB=MaLpTy在量綱分析中，有一些物理量的量綱為1，稱為無量綱量，用MoLoTo表示。無量綱量就是一個數(shù)，但可以把它看成由幾個物理量組合而成的綜合表達(dá)。例如雷諾相似準(zhǔn)數(shù)的量綱vl LT-iLdimRe=dim（—）= =M0LodimRe=dimu LT-i為一個無量綱的量。為了區(qū)別于純數(shù)，把無量綱量看成是由多個物理量組成的綜合物理量更合適些，如我們應(yīng)該把雷諾相似準(zhǔn)數(shù)Re看成由流速V、特征尺度l和流體運(yùn)動粘度系數(shù)u這三個物理量的綜合表達(dá)，或者把它看成由流速V、特征尺度l、流體密度P和流體動力粘度系數(shù)u這四個物理量的綜合表達(dá)。1.2量綱分析的概念與分析步驟量綱分析法主要用于分析物理現(xiàn)象中的未知規(guī)律，通過對有關(guān)的物理量作量綱幕次分析，將它們組合成無量綱形式的組合量，用無量綱參數(shù)之間的關(guān)系代替有量綱的物理量之間的關(guān)系，揭示物理量之間在量綱上的內(nèi)在聯(lián)系，降低變量數(shù)目，可以用于指導(dǎo)理論分析和實驗研究。量綱分析的步驟為：列出所有與該物理現(xiàn)象有關(guān)的變量。它取決于我們對流動過程的理解、觀察和分析，對流動過程中的的重要變量要保留，而一些次要變量可以忽略；將這些變量的量綱用基本量綱M，L，T表示出來；將變量組成由基本量綱M，L，T表示的量綱一致的函數(shù)關(guān)系（通常為各變量指數(shù)乘積關(guān)系）；將各量的量綱代入上面的函數(shù)關(guān)系；利用函數(shù)關(guān)系式的量綱的一致性，對各基本量綱的指數(shù)列出代數(shù)方程，聯(lián)立求解方程，將所得的指數(shù)代入函數(shù)中，得到函數(shù)的具體形式；1.3量綱分析的應(yīng)用量綱分析方法中得到廣泛應(yīng)用的n定理（Buckingham定理）n定理（Buckingham定理）：對于某個流動現(xiàn)象或某個流動過程，如果存在有n個變量互為函數(shù)關(guān)系f（a1,a2,a3 ,an）=0而這些變量中含有口個基本量綱，則可把這n個有量綱的變量的函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)換成）（n-m）個無量綱量的函數(shù)關(guān)系F（n1,n2,n3, nn-m）=0上面這個函數(shù)關(guān)系式全部是無量綱量），ni=（1,2,3.....n-m）。這個定理表達(dá)出了物理方程的明確的量間關(guān)系，并把方程中的變量數(shù)減少n個，更主要的是，這個定理把流動現(xiàn)象或流動過程更概括地表示在此函數(shù)關(guān)系中。[2]例題：在水平等直徑的圓管內(nèi)流動的流體的壓降詢與下列因素有關(guān)：管徑刁，管長l，管壁粗糙度△，管內(nèi)流體密度P，流體的動力粘度日，以及斷面平均流速V等有關(guān)。試用n定理推出壓降A(chǔ)p的表達(dá)式。解：所求問題的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式可以表示為f（Ap,p,四,A,V,d,l）=0式中物理量的個數(shù)為n=7，采用基本量綱M，L，T，m=3，根據(jù)n定理，這n個物理量的關(guān)系式可以轉(zhuǎn)換成（n-m）=4個無量綱量的函數(shù)關(guān)系式F（兀，兀，兀，兀）=0從7個物理量中選出3個基本物理量P，V，d，這三個基本量的量綱中包含了M，L，T這3個基本量綱，可以用它們組成4個無量綱量兀=lpa1V31dY1兀2=Apa2v32dY2兀3=ppa3V33dY3兀=Appa4V34dY44其中氣，31，YI(為i=1，2,3)為待定系數(shù)。寫出各兀數(shù)方程的量綱式dim兀1=L(ML-3)氣(LT一1)31(L)y1=M0LoT0dim兀2=L(ML-3)a2(LT-1)32(L)y2=M0LoT0dim兀=ML-1T-1(ML-3)a3(LT-1)33(L)y3=M0LT03dim兀=ML-1T-2(ML-3)a4(LT-1)34(L)y4=M0L0T04根據(jù)量綱一致性原理由第一式解得M：以］=0L：31=0T：-3a+3+Y+1=0由上式得到：a1=0，31=0，Y1=-1，因此兀1=l/d根據(jù)量綱一致性原理由第二式解得M：a2=0L：-32=0T：-3a+3+Y+1=0由上式得到：a2=0，32=0，Y2=一1，因此兀2=A/d同樣可以解得目u1兀=_= =3pvdvdReAp

兀=—4 pv2

因此無量綱兀數(shù)表示的方程為F「△1或）-0F（刀，，，）-0

ddRepv2上式可以整理為△p_曰（1A1IK_-F（二，二， ）_；,F（3,Re）pv2 1ddRed2dAplv2Alv2AT-d.公?.F3（d，Re）-d.京.F4（d'Re）令人令人—F（—4、d,Re），則Ap lv2 —人, , Y d2g2相似原理2.1流體相似條件[3]流動相似條件是指保證流動相似的充要條件，模型實驗必須遵循相似條件。一共有三個相似條件：1） 相似第一條件：相似的流動屬于同一類流動，其運(yùn)動微分方程必相同。2） 相似第二條件：單值條件相似。3） 相似第三條件：由單值條件中涉及的物理量組成的相似準(zhǔn)則數(shù)相等2.2常見相似準(zhǔn)則描寫流體運(yùn)動和受力關(guān)系的是流體運(yùn)動微分方程（動力學(xué)方程）。兩個相似流動必須滿足同一運(yùn)動微分方程（N-S方程）?，F(xiàn)分別寫出模型流動和原型流動的不可壓縮流體的運(yùn)動微分方程標(biāo)量形式第一式+OmAvxm1 dp+OmAvxm m

PmdXm人—人2—人—人2—v——v-人力tlX——p—XXXXITl所有同類物理量均具有同一比例系數(shù)，因此有Xp—Xx;ypz—Xzplmv—Xv;v—Xv;v—Xvxpvxmypvyxmzpvzmt—Xt;p:—XP；U—Xup—Xp;/—X/p tm ppmxpuxmppm p fj由對模型的和原型的兩運(yùn)動微分方程以及同類物理量有同一比例的關(guān)系并經(jīng)對比可寫出下式上述5項分別表示單位質(zhì)量的時變慣性力、位變慣性力、質(zhì)量力、法向表面力-壓力、切向表面力-摩擦力，因此上式就表示模型流動與原型流動的力多邊形相似。人2將上式中的位變慣性力子除全式，可得Li」人 力力 力 力——」=1=s~g=———=—XX 人2 人人2氣人上式中的各項表示模型流動和原型流動在動力相似時各比例系數(shù)之間有一個約束，并非各比例系數(shù)的數(shù)值可以隨便取值。對其進(jìn)一步分析可以得到以下各相似準(zhǔn)則（相似準(zhǔn)數(shù)）：Re數(shù)（雷諾數(shù)）Re數(shù)以英國工程師雷諾（O.Reynolds）命名，是流體力學(xué)中最重要的相似準(zhǔn)則數(shù)，所有與粘性流動有關(guān)的模型實驗都必須考慮R數(shù)。Re數(shù)是慣性力與粘性力之比&PVI

Re= P上式中1為物體特征長度，如對圓管流動取管直徑，對鈍體繞流取繞流截面的寬度；V為特征速度，如對圓管流動取管內(nèi)平均速度，對鈍體繞流取來流速度等，v為運(yùn)動粘性系數(shù)。Fr數(shù)（弗勞德數(shù)）Fr數(shù)以英國船舶設(shè)計師弗勞德（W.Froude）命名。當(dāng)模擬具有自由液面的液體流動時，如水面船舶運(yùn)動、明渠流動等，F(xiàn)r數(shù)是必須考慮的相似準(zhǔn)則數(shù)。Fr數(shù)是慣性力與重力之比：。慣性力VFr= —= 重力 展l上式中1為船舶或明渠的特征長度，對船舶取船長，對明渠取水深；V為特征速度（Fr數(shù)對明渠流動的影響將在C3.9節(jié)中討論）。Eu數(shù)（歐拉數(shù)）Eu數(shù)以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（L.Euler）命名。當(dāng)討論流場中某點的特征壓強(qiáng)或兩點間的壓強(qiáng)差時常用到Eu數(shù)。Eu數(shù)是壓力或壓差力與慣性力之比

壓力p壓力pEU—慣性力—pV2Eu=壓力差土慣性力pV2Ap在描述壓強(qiáng)差時EuApcP1pV22當(dāng)液體流動中局部壓強(qiáng)P低于當(dāng)?shù)卣羝麎簭?qiáng)Pv時會產(chǎn)生空化效應(yīng)或氣蝕，Eu數(shù)被稱為空泡數(shù)或空蝕系數(shù)，并表示為Sr數(shù)（斯特勞哈爾數(shù)）Sr數(shù)以德國物理學(xué)家斯特勞哈爾（V.Strouhal）命名，他在研究風(fēng)吹過金屬絲發(fā)出鳴叫聲時創(chuàng)立此數(shù)。在研究不定常流動或脈動流時，Sr數(shù)成為重要的量綱為1的參數(shù)。Sr數(shù)為當(dāng)?shù)貞T性力與遷移慣性力之比/?Sr=——V上式中1為物體特征長度，如金屬絲或圓柱的直徑等，①為當(dāng)?shù)亓黧w脈動圓頻率。Ma數(shù)（馬赫數(shù)）Ma數(shù)以奧地利物理學(xué)家馬赫（E.Mach）命名。當(dāng)氣體作高速流動時氣體壓縮性成為重要屬性，Ma數(shù)用來描述流體壓縮性的影響。Ma數(shù)為慣性力與壓縮力之比Ma=V/c上式中C為聲速。用Ma數(shù)可表示氣體以亞聲速、接近聲速及超聲速流動時的動力特性。2.3流動相似原理的應(yīng)用例題［2］：一個物體浸沒在油中(P=864kg/m3,日=0.0258Pa-s)以七=13.72m/s的速度水平運(yùn)動，為了研究這一運(yùn)動過程，一個尺度比例系數(shù)為8：1的放大模型浸沒在15°C的水中進(jìn)行模型實驗。為了達(dá)到動力相似的條件，試確定放大模型在水中的運(yùn)動速度。假如放大模型的粘性阻力為3.56N，請預(yù)測原型的粘性阻力。解：物體浸沒在液體中運(yùn)動，考慮粘性阻力作用將雷諾相似準(zhǔn)數(shù)作為決定性相似準(zhǔn)數(shù)原型動力粘度系數(shù)u=~^=0.02584=2.99x10-5m2/spp864模型動力粘度系數(shù)對于15C的水um=1.141x10-6m2/s由雷諾相似準(zhǔn)數(shù)R =emvlvl―mm=—p—pu um pl=Repm1=§，v=13.72m/s得到v=0.065m/s根據(jù)式(4-6)，(4-7)F人=—pfFmpv212=—ppp=864x13.722x12 “…一=601.47pmvmlm1000x0.0652x82F=、x人=601.47x3.56=2142.2N3結(jié)論通過認(rèn)真研讀《工程流體力學(xué)》相關(guān)章節(jié)，在理解的同時著重應(yīng)用，讓我感受最受的是各方程前期的假設(shè)性，在假設(shè)的基礎(chǔ)上，由最簡單形式開始展開對公式的推導(dǎo)以及驗證。事務(wù)研究的基礎(chǔ)任務(wù)，例如假設(shè)性條件和忽略性因素，才是研究取得成功的根本。因此，要探究事物的根本，就應(yīng)該努力培養(yǎng)如何