2018屆數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)寒假作業(yè)（十三）平行與垂直關(guān)系（注意命題點(diǎn)的區(qū)分度）理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE17學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精寒假作業(yè)(十三)平行與垂直關(guān)系(注意命題點(diǎn)的區(qū)分度）一、選擇題1．若直線a∥平面α,直線b∥直線a，點(diǎn)A∈b且A∈α，則b與α的位置關(guān)系是()A．b∩α＝A B．b∥αC．b∥α或b?α D．b?α解析：選D由a∥α，b∥a?b∥α或b?α，又b過α內(nèi)一點(diǎn)，故b?α.2．△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則直線l，m的位置關(guān)系是（)A．相交 B．異面C．平行 D．不確定解析：選Cl⊥AB，l⊥AC?l⊥α,m⊥BC，m⊥AC?m⊥α,故l∥m.3．設(shè)平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥m，則“a⊥b”是“α⊥β”的(）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析:選B因?yàn)棣痢挺?，b⊥m，所以b⊥α，又直線a在平面α內(nèi)，所以a⊥b;但直線a，m不一定相交，所以“a⊥b”是“α⊥β"的必要不充分條件，故選B。4。如圖，正方體ABCD.A1B1C1D1中,M，N分別為棱C1D1，C1C有以下四個結(jié)論:①直線AM與CC1是相交直線;②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結(jié)論為()A．①②B．②③C．③④D．①④解析：選C直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，故①②錯誤，顯然③④正確．5．已知l，m，n為不同的直線，α，β,γ為不同的平面，則下列結(jié)論正確的是()A．若m∥α,n∥α，則m∥nB．若m⊥α，n∥β,α⊥β，則m⊥nC．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，則m∥lD．若α∩β＝m,α∩γ＝n,l⊥m，l⊥n，則l⊥α解析:選CA．m，n可能的位置關(guān)系為平行,相交或異面，故A錯誤;B。根據(jù)面面垂直與線面平行的性質(zhì)可知B錯誤；C.根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知C正確;D.若m∥n，根據(jù)線面垂直的判定可知D錯誤，故選C。6．已知ABCD為空間四邊形,AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD,M，N分別是對角線AC與BD的中點(diǎn)，則MN與（)A．AC，BD之一垂直 B．AC，BD都垂直C．AC，BD都不垂直 D．AC，BD不一定垂直解析：選B∵AD＝BC，AB＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CDB，連接AN,CN,則AN＝CN。在等腰△ANC中，由M為AC的中點(diǎn)知MN⊥AC。同理可得MN⊥BD.7．（2017·福州模擬)已知直線a，b異面，給出以下命題：①一定存在平行于a的平面α使b⊥α；②一定存在平行于a的平面α使b∥α；③一定存在平行于a的平面α使b?α；④一定存在無數(shù)個平行于a的平面α與b交于一定點(diǎn)．則其中為真命題的是（)A．①④ B．②③C．①②③ D．②③④解析：選D對于①，若存在平面α使得b⊥α，則有b⊥a，而直線a，b未必垂直，因此①不正確；對于②，注意到過直線a，b外一點(diǎn)M分別引直線a，b的平行線a1,b1，顯然由直線a1，b1可確定平面α，此時平面α與直線a,b均平行,因此②正確；對于③，注意到過直線b上的一點(diǎn)B作直線a2與直線a平行,顯然由直線b與a2可確定平面α，此時平面α與直線a平行，且b?α，因此③正確；對于④，在直線b上取一定點(diǎn)N,過點(diǎn)N作直線c與直線a平行,經(jīng)過直線c的平面（除由直線a與c所確定的平面及直線c與b所確定的平面之外）均與直線a平行，且與直線b相交于一定點(diǎn)N,因此④正確．綜上所述,②③④正確．8.如圖所示，在斜三棱柱ABC。A1B1C1中，∠BAC＝90°,BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在()A．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上D．△ABC內(nèi)部解析：選A∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC。又AC⊥BC1，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1，又AC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1.∵平面ABC1∩平面ABC＝AB，∴點(diǎn)C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上．9．（2017·成都一診)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面α與棱AB，AC，A1C1,A1B1分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H,且直線AA1∥平面α.有下列三個命題：①四邊形EFGH是平行四邊形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面A．①② B．②③C．①③ D．①②③解析：選C因?yàn)锳A1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又ABC。A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四邊形EFGH是平行四邊形，故①若平面α∥平面BB1C1C，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH由AA1⊥平面BCFE,結(jié)合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH?平面α，所以平面α⊥平面BCFE.綜上可知，選C.10．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)P是平面AA1D1D的中心，點(diǎn)Q是上底面A1B1C1D1上一點(diǎn),且PQ∥平面AA1B1B，則線段A．1 B.eq\r（2）C。eq\f(\r（2），2) D。eq\f(\r（3),2)解析:選A由PQ∥平面AA1B1B知Q在過點(diǎn)P且平行于平面AA1B1B的平面上，易知點(diǎn)Q在A1D1,B1C1中點(diǎn)的連線MN上，故PQ的最小值為PM＝eq\f(1,2)AA1＝1.11．(2017·成都二診)把平面圖形M上的所有點(diǎn)在一個平面上的射影構(gòu)成的圖形M′稱為圖形M在這個平面上的射影．如圖，在長方體ABCD。EFGH中,AB＝5，AD＝4,AE＝3，則△EBD在平面EBC上的射影的面積是()A．2eq\r(34) B.eq\f(25，2)C．10 D．30解析：選A連接HC，過D作DM⊥HC，連接ME，MB，因?yàn)锽C⊥平面HCD，又DM?平面HCD,所以BC⊥DM，因?yàn)锽C∩HC＝C，所以DM⊥平面HCBE，即D在平面HCBE內(nèi)的射影為M，所以△EBD在平面HCBE內(nèi)的射影為△EBM，在長方體中，HC∥BE，所以△MBE的面積等于△CBE的面積，所以△EBD在平面EBC上的射影的面積為eq\f(1，2）×eq\r(52＋32)×4＝2eq\r(34)，故選A.12．已知E，F(xiàn)分別為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AA1上的點(diǎn)，且AE＝eq\f(1，2）AB,AF＝eq\f(1，3)AA1，M，N分別為線段D1E和線段C1F上的點(diǎn),則與平面ABCD平行的直線MN有(）A．1條 B．3條C．6條 D．無數(shù)條解析：選D取BH＝eq\f（1，3）BB1,連接FH，則FH∥C1D1，連接HE，D1H,在D1E上任取一點(diǎn)M，過M在平面D1HE中作MG∥HO，交D1H于點(diǎn)G，其中OE＝eq\f(1,3）D1E,過O作OK⊥平面ABCD于點(diǎn)K，連接KB，則四邊形OHBK為矩形,再過G作GN∥FH，交C1F于點(diǎn)N，連接MN，由于MG∥HO,HO∥KB，KB?平面ABCD，GM?平面ABCD，所以GM∥平面ABCD，同理,GN∥FH，可得GN∥平面ABCD，由面面平行的判定定理得，平面GMN∥平面ABCD，則MN∥平面ABCD，由于M為D1E上任一點(diǎn),故這樣的直線MN有無數(shù)條．二、填空題13。如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面,則四邊形EFGH的形狀為________．解析:∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG,∴EF∥HG.同理EH∥FG,∴四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．答案：平行四邊形14．已知平面α，β和直線m，給出條件：①m∥α;②m⊥α；③m?α;④α⊥β；⑤α∥β.當(dāng)滿足條件__________時，有m∥β.（填所選條件的序號)解析：根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得，當(dāng)m?α，α∥β時,m∥β,故滿足條件③⑤時,有m∥β。答案:③⑤15．設(shè)m，n是兩條不同的直線,α，β，γ是三個不同的平面,給出下列三個命題：①若m?α，n∥α，則m∥n;②若α∥β，β∥γ，m⊥α,則m⊥γ；③若α∩β＝n,m∥n，則m∥α且m∥β.其中真命題的個數(shù)是________．解析：①若n∥α，則α內(nèi)的直線m可能與n平行，也可能與n異面，故①錯誤;②若α∥β，β∥γ，則α∥γ,若m⊥α，則m⊥γ，故②正確；③中有可能m?α或m?β,顯然③錯誤．答案：116．如圖，在長方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC（端點(diǎn)除外)上一動點(diǎn)．現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABCF.在平面ABD內(nèi)過點(diǎn)D作DK⊥AB，K為垂足．設(shè)AK＝t,則t的取值范圍是________．解析：如圖,過D作DG⊥AF，垂足為G,連接GK.∵平面ABD⊥平面ABCF，又DK⊥AB,∴DK⊥平面ABCF，∴DK⊥AF.∵DK∩DG＝D,∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.法一：易知當(dāng)F接近點(diǎn)E時，K接近AB的中點(diǎn)，當(dāng)F接近點(diǎn)C時,K接近AB的四等分點(diǎn),故t的取值范圍是eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2）,1))。法二：即在平面圖形中，D，G，K三點(diǎn)共線，設(shè)∠FAK＝θ，則∠ADK＝θ,AK＝ADtanθ＝tanθ,又eq\f(1，2)＝tan∠CAB<tanθ〈tan∠EAB＝1，∴t∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，2)，1）).答案：eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1，2），1))三、解答題17.如圖,在三棱錐S。ABC中，已知點(diǎn)D，E,F分別為棱AC，SA,SC的中點(diǎn)．(1)求證:EF∥平面ABC;（2）若SA＝SC，BA＝BC,求證：平面SBD⊥平面ABC.證明：(1）∵EF是△SAC的中位線，∴EF∥AC.又EF?平面ABC,AC?平面ABC,∴EF∥平面ABC。(2)∵SA＝SC，D是AC的中點(diǎn)，∴SD⊥AC?！連A＝BC,D是AC的中點(diǎn)，∴BD⊥AC。又SD?平面SBD，BD?平面SBD，SD∩DB＝D,∴AC⊥平面SBD.又AC?平面ABC，∴平面SBD⊥平面ABC.18．（2017·合肥二檢）如圖，在平面五邊形ABCDE中，AB∥CE,且AE＝2,∠AEC＝60°,CD＝ED＝eq\r(7),cos∠EDC＝eq\f（5,7）。將△CDE沿CE折起，使點(diǎn)D到P的位置，且AP＝eq\r(3），得到四棱錐P。ABCE.(1)求證：AP⊥平面ABCE；(2）記平面PAB與平面PCE相交于直線l，求證：AB∥l.證明:（1）在△CDE中，∵CD＝ED＝eq\r（7),cos∠EDC＝eq\f（5,7)，由余弦定理得CE＝eq\r(CD2＋ED2－2CD·ED·cos∠EDC)＝2。在四棱錐P。ABCE中，連接AC，∵AE＝2,∠AEC＝60°，∴AC＝2.又AP＝eq\r(3）,∴在△PAE中,PA2＋AE2＝PE2，即AP⊥AE。同理，AP⊥AC.而AC?平面ABCE,AE?平面ABCE，AC∩AE＝A，故AP⊥平面ABCE.（2)∵AB∥CE，且CE?平面PCE,AB?平面PCE，∴AB∥平面PCE.又平面PAB∩平面PCE＝l,∴AB∥l。19。如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠BAD＝60°，E是AD的中點(diǎn),點(diǎn)Q在側(cè)棱PC上．（1)求證：AD⊥平面PBE；(2）若Q是PC的中點(diǎn),求證：PA∥平面BDQ；(3）若VP-BCDE＝2VQ.ABCD,試求eq\f（CP，CQ)的值．解：(1)證明:由E是AD的中點(diǎn)，PA＝PD，可得AD⊥PE.又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°,所以AB＝BD.又因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，所以AD⊥BE.又PE∩BE＝E,所以AD⊥平面PBE.（2）證明：連接AC,交BD于點(diǎn)O，連接OQ.因?yàn)镺是AC的中點(diǎn)，Q是PC的中點(diǎn)，所以O(shè)Q∥PA,又PA?平面BDQ，OQ?平面BDQ，所以PA∥平面BDQ.（3)設(shè)四棱錐P.BCDE，Q-ABCD的高分別為h1，h2，所以VP。BCDE＝eq\f(1，3）S四邊形BCDEh1，VQ。ABCD＝eq\f(1，3)S四邊形ABCDh2。又因?yàn)閂P.BCDE＝2VQ。ABCD，且S四邊形BCDE＝eq\f(3，4)S四邊形ABCD,所以eq\f（CP,CQ)＝eq\f(h1,h2)＝eq\f(8,3）。20.在直三棱柱ABC。A1B1C1中，AC＝2BC＝2AA1＝4，∠ACB＝60°,E，F(xiàn)分別是A1C1，BC（1)證明：平面AEB⊥平面BB1C（2)證明:C1F∥平面ABE(3）設(shè)P是BE的中點(diǎn)，求三棱錐P。B1C解:（1）證明：在△ABC中，∵AC＝2BC＝4，∠ACB＝60°，∴AB＝2eq\r(3)，∴AB2＋BC2＝AC2，∴AB⊥BC。由已知AB⊥BB1，且BC∩BB1＝B，可得AB⊥平面BB1C又AB?平面ABE，∴平面ABE⊥平面BB1C(2）證明：取AC的中點(diǎn)M，連接C1M,FM，在△ABC中，F(xiàn)M∥AB，而FM?平面ABE，AB?平面ABE，∴FM∥平面ABE，在矩形ACC1A1中,E，M分別是A1C1，∴C1M∥AE而C1M?平面ABE，AE?平面ABE∴C1M∥平面ABE∵C1M∩FM＝M，∴平面ABE∥平面F