因式分解全課程學(xué)習(xí)

15.4.1因式分解（初級(jí)篇）——因式分解的定義與提公因式法第1頁(yè)/共73頁(yè)第一頁(yè)，共74頁(yè)。復(fù)習(xí)回顧口答：第2頁(yè)/共73頁(yè)第二頁(yè)，共74頁(yè)。問題：630可以被哪些整數(shù)整除？

解決這個(gè)問題，需要對(duì)630進(jìn)行分解質(zhì)因數(shù)630=2×32×5×7類似地，在式的變形中，有時(shí)需要將一個(gè)多項(xiàng)式寫成幾個(gè)整式的乘積的形式以便于更好的解決一些問題新課引入第3頁(yè)/共73頁(yè)第三頁(yè)，共74頁(yè)。試試看(將下列多項(xiàng)式寫成幾個(gè)整式的乘積)回憶前面整式的乘法第4頁(yè)/共73頁(yè)第四頁(yè)，共74頁(yè)。上面我們把一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式

，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式

。分解因式因式分解因式分解整式乘法因式分解與整式乘法是逆變形第5頁(yè)/共73頁(yè)第五頁(yè)，共74頁(yè)。

依照定義，判斷下列變形是不是因式分解（把多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積）第6頁(yè)/共73頁(yè)第六頁(yè)，共74頁(yè)。創(chuàng)設(shè)情景

學(xué)校打算把操場(chǎng)重新規(guī)劃一下，分為綠化帶、運(yùn)動(dòng)場(chǎng)、主席臺(tái)三個(gè)部分，如下圖，計(jì)算操場(chǎng)總面積。abcm第7頁(yè)/共73頁(yè)第七頁(yè)，共74頁(yè)。abcm方法一：S=m(a+b+c)方法二：S=ma+mb+mcmm第8頁(yè)/共73頁(yè)第八頁(yè)，共74頁(yè)。方法一：S=m(a+b+c)方法二：S=ma+mb+mcm(a+b+c)=ma+mb+mc下面兩個(gè)式子中哪個(gè)是因式分解？

在式子ma+mb+mc中，m是這個(gè)多項(xiàng)式中每一個(gè)項(xiàng)都含有的因式，叫做

。公因式ma+mb+mc=m(a+b+c)第9頁(yè)/共73頁(yè)第九頁(yè)，共74頁(yè)。ma+mb+mc=m(a+b+c)

在下面這個(gè)式子的因式分解過程中，先找到這個(gè)多項(xiàng)式的公因式，再將原式除以公因式，得到一個(gè)新多項(xiàng)式，將這個(gè)多項(xiàng)式與公因式相乘即可。這種方法叫做提公因式法。提公因式法一般步驟：

1、找到該多項(xiàng)式的公因式，

2、將原式除以公因式，得到一個(gè)新多項(xiàng)式，

3、把它與公因式相乘。第10頁(yè)/共73頁(yè)第十頁(yè)，共74頁(yè)。

如何準(zhǔn)確地找到多項(xiàng)式的公因式呢？

1、系數(shù)所有項(xiàng)的系數(shù)的最大公因數(shù)

2、字母應(yīng)提取每一項(xiàng)都有的字母，且字母的指數(shù)取最低的

3、系數(shù)與字母相乘第11頁(yè)/共73頁(yè)第十一頁(yè)，共74頁(yè)。例題精講最大公因數(shù)為3=3a的最低指數(shù)為1ab的最低指數(shù)為1b(3a–5bc)=–4st2(3s2–2t+1)pq(5q+7p+3)=第12頁(yè)/共73頁(yè)第十二頁(yè)，共74頁(yè)。做一做

按照提公因式法因式分解。第13頁(yè)/共73頁(yè)第十三頁(yè)，共74頁(yè)。提高訓(xùn)練(一)第14頁(yè)/共73頁(yè)第十四頁(yè)，共74頁(yè)。提高訓(xùn)練(二)第15頁(yè)/共73頁(yè)第十五頁(yè)，共74頁(yè)。TheEnd第16頁(yè)/共73頁(yè)第十六頁(yè)，共74頁(yè)。15.4.2公式法（中級(jí)篇）利用完全平方公式因式分解第3課時(shí)利用平方差公式因式分解第2課時(shí)第17頁(yè)/共73頁(yè)第十七頁(yè)，共74頁(yè)。15.4.2公式法（中級(jí)篇1）——利用平方差公式進(jìn)行因式分解第18頁(yè)/共73頁(yè)第十八頁(yè)，共74頁(yè)。復(fù)習(xí)回顧還記得學(xué)過的兩個(gè)最基本的乘法公式嗎？平方差公式：完全平方公式：計(jì)算：第19頁(yè)/共73頁(yè)第十九頁(yè)，共74頁(yè)。=(999+1)(999–1)此處運(yùn)用了什么公式?新課引入試計(jì)算：9992–112=1000×998=998000平方差公式逆用因式分解:（1）x2–;（2）y2–4252252=(x+2)(x–2)=(y+5)(y–5)

這些計(jì)算過程中都逆用了平方差公式即：第20頁(yè)/共73頁(yè)第二十頁(yè)，共74頁(yè)。此即運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解用文字表述為：

兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積。

嘗試練習(xí)(對(duì)下列各式因式分解)：①a2–9=___________________②49–n2=__________________③5s2–20t2=________________④100x2–9y2=_______________(a+3)(a–3)(7+n)(7–n)5(s+2t)(s–2t)(10x+3y)(10x–3y)第21頁(yè)/共73頁(yè)第二十一頁(yè)，共74頁(yè)。判斷下列各式是否可以運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解①x2+4②–4x2+y2③x4–1④x2–x6⑤6x3–54xy2⑥(x+p)2–(x–q)2例(1)第22頁(yè)/共73頁(yè)第二十二頁(yè)，共74頁(yè)。=y2–4x2=(y+2x)(y–2x)=(x2)2–12

=(x2+1)(x2–1)②–4x2+y2③x4–1(x2–1)=–(4x2–y2)=–(2x+y)(2x–y)(x+1)(x–1)將前面②~⑥各式運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解例(2)因式分解一定要分解徹底!第23頁(yè)/共73頁(yè)第二十三頁(yè)，共74頁(yè)。④x2–x6=x2–(x3)2=(x+x3)(x–x3)=x·(1+x2)·x·(1–x2)=x2(1+x2)(1+x)(1–x)將前面②~⑥各式運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解例(2)④x2–x6=x2(1–x4)=x2

(1+x2)(1–x2)=x2(1+x2)(1+x)(1–x)更簡(jiǎn)便！

在我們現(xiàn)學(xué)過的因式分解方法中，先考慮提取公因式，再考慮用公式法。第24頁(yè)/共73頁(yè)第二十四頁(yè)，共74頁(yè)。⑤6x3–54xy2=6x(x2–9y2)=6x

(x+3y)(x–3y)⑥(x+p)2–(x–q)2=[(x+p)+(x–q)]·[(x+p)–(x–q)]=(2x+p–q)(p+q)將前面②~⑥各式運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解例(2)YXYXYX第25頁(yè)/共73頁(yè)第二十五頁(yè)，共74頁(yè)。做一做

利用平方差公式因式分解。第26頁(yè)/共73頁(yè)第二十六頁(yè)，共74頁(yè)。提高訓(xùn)練(一)④

設(shè)m、n為自然數(shù)且滿足關(guān)系式12+92+92+22+m2=n2，則m=____，n=____。第27頁(yè)/共73頁(yè)第二十七頁(yè)，共74頁(yè)。提高訓(xùn)練(二)3、n是自然數(shù)，代入n3–n中計(jì)算時(shí)，四個(gè)同學(xué)算出如下四個(gè)結(jié)果，其中正確的只可能是()。A.421800B.438911C.439844D.428158第28頁(yè)/共73頁(yè)第二十八頁(yè)，共74頁(yè)。TheEnd第29頁(yè)/共73頁(yè)第二十九頁(yè)，共74頁(yè)。15.4.2公式法（中級(jí)篇2）——利用完全平方公式進(jìn)行因式分解第30頁(yè)/共73頁(yè)第三十頁(yè)，共74頁(yè)。復(fù)習(xí)回顧還記得前面學(xué)的完全平方公式嗎？計(jì)算：第31頁(yè)/共73頁(yè)第三十一頁(yè)，共74頁(yè)。新課引入試計(jì)算：9992+1998+12×999×1=(999+1)2

=106此處運(yùn)用了什么公式?完全平方公式逆用

就像平方差公式一樣，完全平方公式也可以逆用，從而進(jìn)行一些簡(jiǎn)便計(jì)算與因式分解。即：第32頁(yè)/共73頁(yè)第三十二頁(yè)，共74頁(yè)。這個(gè)公式可以用文字表述為：

兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的兩倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方。

牛刀小試(對(duì)下列各式因式分解)：①a2+6a+9=_________________②n2–10n+25=_______________③4t2–8t+4=_________________④4x2–12xy+9y2=_____________(a+3)2(n–5)24(t–1)2(2x–3y)2第33頁(yè)/共73頁(yè)第三十三頁(yè)，共74頁(yè)。判斷下列各式是否可以運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解①16x2+24x+9②–4x2+4xy–y2③x2+2x–1④4x2–8xy+4y2⑤1–2a2+a4⑥(p+q)2–12(p+q)+36例(1)

形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式。

完全平方式一定可以利用完全平方公式因式分解第34頁(yè)/共73頁(yè)第三十四頁(yè)，共74頁(yè)。完全平方式的特點(diǎn)：

1、必須是三項(xiàng)式（或可以看成三項(xiàng)的）

2、有兩個(gè)同號(hào)的平方項(xiàng)

3、有一個(gè)乘積項(xiàng)（等于平方項(xiàng)底數(shù)的±2倍）簡(jiǎn)記口訣：首平方，尾平方，首尾兩倍在中央。第35頁(yè)/共73頁(yè)第三十五頁(yè)，共74頁(yè)。將例(1)中的完全平方式利用完全平方公式進(jìn)行因式分解例(2)①16x2+24x+9②–4x2+4xy–y2④4x2–8xy+4y2=(4x+3)2=–(4x2–4xy+y2)=–(2x–y)2=4(x2–2xy+y2)=4(x–y)2第36頁(yè)/共73頁(yè)第三十六頁(yè)，共74頁(yè)。–2a2+⑥(p+q)2–12(p+q)+36將例(1)中的完全平方式利用完全平方公式進(jìn)行因式分解例(2)a41=(a2–1)2=(a+1)2(a–1)2=[(a+1)

(a–1)]2=(p+q–6)2XXX第37頁(yè)/共73頁(yè)第三十七頁(yè)，共74頁(yè)。做一做

用完全平方公式進(jìn)行因式分解。第38頁(yè)/共73頁(yè)第三十八頁(yè)，共74頁(yè)。做一做

用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行因式分解。備選方法：提公因式法平方差公式完全平方公式第39頁(yè)/共73頁(yè)第三十九頁(yè)，共74頁(yè)。提高訓(xùn)練(一)④

給4x2+1加上一個(gè)單項(xiàng)式，使它成為一個(gè)完全平方式，這個(gè)單項(xiàng)式可以是________。第40頁(yè)/共73頁(yè)第四十頁(yè)，共74頁(yè)。提高訓(xùn)練(二)第41頁(yè)/共73頁(yè)第四十一頁(yè)，共74頁(yè)。提高訓(xùn)練(三)第42頁(yè)/共73頁(yè)第四十二頁(yè)，共74頁(yè)。TheEnd第43頁(yè)/共73頁(yè)第四十三頁(yè)，共74頁(yè)。13.4.3*因式分解（高級(jí)篇）——因式分解的其他常用方法第44頁(yè)/共73頁(yè)第四十四頁(yè)，共74頁(yè)。知識(shí)結(jié)構(gòu)因式分解常用方法提公因式法公式法十字相乘法分組分解法拆項(xiàng)添項(xiàng)法配方法待定系數(shù)法求根法……第45頁(yè)/共73頁(yè)第四十五頁(yè)，共74頁(yè)。一、提公因式法

只需找到多項(xiàng)式中的公因式，然后用原多項(xiàng)式除以公因式，把所得的商與公因式相乘即可。往往與其他方法結(jié)合起來用。提公因式法隨堂練習(xí)：1）15(m–n)+2x(n–m)2）4(x+y)+4(x–3y)第46頁(yè)/共73頁(yè)第四十六頁(yè)，共74頁(yè)。二、公式法

只需發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，再將符合其形式的公式套進(jìn)去即可完成因式分解，有時(shí)需和別的方法結(jié)合或多種公式結(jié)合。接下來是一些常用的乘法公式，可以逆用進(jìn)行因式分解。第47頁(yè)/共73頁(yè)第四十七頁(yè)，共74頁(yè)。常用公式1、(a+b)(a–b)=a2–b2（平方差公式）2、(a±b)2=a2±2ab+b2（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2)及

a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)（立方和、差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推導(dǎo)第48頁(yè)/共73頁(yè)第四十八頁(yè)，共74頁(yè)。這是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推導(dǎo)過程不要與(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆第49頁(yè)/共73頁(yè)第四十九頁(yè)，共74頁(yè)。公式法隨堂練習(xí)：1）(a2–10a+25)(a2–25)2）x3+3x2+3x+1二、公式法

只需發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，再將符合其形式的公式套進(jìn)去即可完成因式分解，有時(shí)需和別的方法結(jié)合或多種公式結(jié)合。第50頁(yè)/共73頁(yè)第五十頁(yè)，共74頁(yè)。三、十字相乘法①前面出現(xiàn)了一個(gè)公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq我們可以用它進(jìn)行因式分解（適用于二次三項(xiàng)式）例1：因式分解x2+4x+3可以看出常數(shù)項(xiàng)3=1×3而一次項(xiàng)系數(shù)4=1+3∴原式=(x+1)(x+3)暫且稱為p、q型因式分解第51頁(yè)/共73頁(yè)第五十一頁(yè)，共74頁(yè)。例2：因式分解x2–7x+10可以看出常數(shù)項(xiàng)10=(–2)×(–5)而一次項(xiàng)系數(shù)–7=(–2)+(–5)∴原式=(x–2)(x–5)這個(gè)公式簡(jiǎn)單的說，就是把常數(shù)項(xiàng)拆成兩個(gè)數(shù)的乘積，而這兩個(gè)數(shù)的和剛好等于一次項(xiàng)系數(shù)十字相乘法①隨堂練習(xí)：1）a2–6a+52）a2–5a+63）x2–(2m+1)x+m2+m–2第52頁(yè)/共73頁(yè)第五十二頁(yè)，共74頁(yè)。三、十字相乘法②試因式分解6x2+7x+2。這里就要用到十字相乘法（適用于二次三項(xiàng)式）。既然是二次式，就可以寫成(ax+b)(cx+d)的形式。(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd

所以，需要將二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別拆成兩個(gè)數(shù)的積，而這四個(gè)數(shù)中，兩個(gè)數(shù)的積與另外兩個(gè)數(shù)的積之和剛好等于一次項(xiàng)系數(shù)，那么因式分解就成功了。第53頁(yè)/共73頁(yè)第五十三頁(yè)，共74頁(yè)。=173x2+11x+106x2+7x+223124+3=7∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)13522+15=1113255+6∴3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)第54頁(yè)/共73頁(yè)第五十四頁(yè)，共74頁(yè)。=–65x2–6xy–8y2試因式分解5x2–6xy–8y2。這里仍然可以用十字相乘法。15–244–10∴5x2–6xy–8y2=(x–2y)(5x+4y)簡(jiǎn)記口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中。十字相乘法②隨堂練習(xí)：1）4a2–9a+22）7a2–19a–63）2(x2+y2)+5xy第55頁(yè)/共73頁(yè)第五十五頁(yè)，共74頁(yè)。四、分組分解法

要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過交換項(xiàng)的位置，添、去括號(hào)等一些變換達(dá)到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd

。解：原式=(ab–ac)+(bd–cd)=a

(b–c)+d

(b–c)=(a+d)(b–c)還有別的解法嗎？第56頁(yè)/共73頁(yè)第五十六頁(yè)，共74頁(yè)。四、分組分解法

要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過交換項(xiàng)的位置，添、去括號(hào)等一些變換達(dá)到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd

。解：原式=(ab+bd)–(ac+cd)=b

(a+d)–c

(a+d)=(a+d)(b–c)第57頁(yè)/共73頁(yè)第五十七頁(yè)，共74頁(yè)。例2：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。解：原式=(x5+x4+x3)+(x2+x+1)=(x3+1)(x2+x+1)=

(x+1)(x2–x+1)(x2+x+1)立方和公式分組分解法隨堂練習(xí)：1）xy–xz–y2+2yz–z22）a2–b2–c2–2bc–2a+1第58頁(yè)/共73頁(yè)第五十八頁(yè)，共74頁(yè)?；仡櫪}：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。另解：原式=(x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)=(x+1)(x4+x2+1)=(x+1)(x4+2x2+1–x2)=(x+1)[(x2+1)2–x2]=

(x+1)(x2+x+1)(x2–x+1)五*、拆項(xiàng)添項(xiàng)法怎么結(jié)果與剛才不一樣呢？因?yàn)樗€可以繼續(xù)因式分解第59頁(yè)/共73頁(yè)第五十九頁(yè)，共74頁(yè)。

拆項(xiàng)添項(xiàng)法對(duì)數(shù)學(xué)能力有著更高的要求，需要觀察到多項(xiàng)式中應(yīng)拆哪一項(xiàng)使得接下來可以繼續(xù)因式分解，要對(duì)結(jié)果有一定的預(yù)見性，嘗試較多，做題較繁瑣。最好能根據(jù)現(xiàn)有多項(xiàng)式內(nèi)的項(xiàng)猜測(cè)可能需要使用的公式，有時(shí)要根據(jù)形式猜測(cè)可能的系數(shù)。五*、拆項(xiàng)添項(xiàng)法第60頁(yè)/共73頁(yè)第六十頁(yè)，共74頁(yè)。例因式分解x4+4解：原式

=x4

+

4x2+4–4x2=(x2+2)2–(2x)2=(x2+2x+2)(x2–2x+2)都是平方項(xiàng)猜測(cè)使用完全平方公式完全平方公式平方差公式拆項(xiàng)添項(xiàng)法隨堂練習(xí)：1）x4–23x2y2+y42）(m2–1)(n2–1)+4mn第61頁(yè)/共73頁(yè)第六十一頁(yè)，共74頁(yè)。配方法

配方法是一種特殊的拆項(xiàng)添項(xiàng)法，將多項(xiàng)式配成完全平方式，再用平方差公式進(jìn)行分解。因式分解a2–b2+4a+2b+3。解：原式=(a2+4a+4)–(b2–2b+1)=(a+2)2–(b–1)2=(a+b+1)(a–b+3)配方法(拆項(xiàng)添項(xiàng)法)分組分解法完全平方公式平方差公式第62頁(yè)/共73頁(yè)第六十二頁(yè)，共74頁(yè)。六*、待定系數(shù)法試因式分解2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。通過十字相乘法得到(2x–3y)(x+3y)設(shè)原式等于(2x–3y+a)(x+3y+b)通過比較兩式同類項(xiàng)的系數(shù)可得：解得：，∴原式=(2x–3y+4)(x+3y+5)第63頁(yè)/共73頁(yè)第六十三頁(yè)，共74頁(yè)。=3=1410+42x2+3xy–9y2+14x–3y+20雙十字相乘