初中數(shù)學(xué)人教版九年級上冊二次函數(shù)2二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)“十市聯(lián)賽”一等獎

22．1二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)22．二次函數(shù)1．從實際情景中讓學(xué)生經(jīng)歷探索分析和建立兩個變量之間的二次函數(shù)關(guān)系的過程，進一步體驗如何用數(shù)學(xué)的方法去描述變量之間的數(shù)量關(guān)系．2．理解二次函數(shù)的概念，掌握二次函數(shù)的形式．3．會建立簡單的二次函數(shù)的模型，并能根據(jù)實際問題確定自變量的取值范圍．重點二次函數(shù)的概念和解析式．難點本節(jié)“合作學(xué)習(xí)”涉及的實際問題有的較為復(fù)雜，要求學(xué)生有較強的概括能力．一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課問題1現(xiàn)有一根12m長的繩子，用它圍成一個矩形，如何圍法，才使矩形的面積最大？小明同學(xué)認為當圍成的矩形是正方形時，它的面積最大問題2很多同學(xué)都喜歡打籃球，你知道嗎：投籃時，籃球運動的路線是什么曲線？怎樣計算籃球達到最高點時的高度？這些問題都可以通過學(xué)習(xí)二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決，今天我們學(xué)習(xí)“二次函數(shù)”(板書課題)．二、合作學(xué)習(xí)，探索新知請用適當?shù)暮瘮?shù)解析式表示下列情景中的兩個變量y與x之間的關(guān)系：(1)圓的半徑x(cm)與面積y(cm2)；(2)王先生存入銀行2萬元，先存一個一年定期，一年后銀行將本息自動轉(zhuǎn)存為又一個一年定期，設(shè)一年定期的年存款利率為x，兩年后王先生共得本息y元；(3)擬建中的一個溫室的平面圖如圖，如果溫室外圍是一個矩形，周長為120m，室內(nèi)通道的尺寸如圖，設(shè)一條邊長為x(m)，種植面積為y(m(一)教師組織合作學(xué)習(xí)活動：1．先個體探求，嘗試寫出y與x之間的函數(shù)解析式．2．上述三個問題先易后難，在個體探求的基礎(chǔ)上，小組進行合作交流，共同探討．(1)y＝πx2(2)y＝20000(1＋x)2＝20000x2＋40000x＋20000(3)y＝(60－x－4)(x－2)＝－x2＋58x－112(二)上述三個函數(shù)解析式具有哪些共同特征？讓學(xué)生充分發(fā)表意見，提出各自看法．教師歸納總結(jié)：上述三個函數(shù)解析式經(jīng)化簡后都具有y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的形式．板書：我們把形如y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)(quadraticfunction)，稱a為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)，c為常數(shù)項．請講出上述三個函數(shù)解析式中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項．三、做一做1．下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？(1)y＝x2(2)y＝－eq\f(1,x2)(3)y＝2x2－x－1(4)y＝x(1－x)(5)y＝(x－1)2－(x＋1)(x－1)2．分別說出下列二次函數(shù)的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項：(1)y＝x2＋1(2)y＝3x2＋7x－12(3)y＝2x(1－x)3．若函數(shù)y＝(m2－1)xm2－m為二次函數(shù)，則m的值為________．四、課堂小結(jié)反思提高，本節(jié)課你有什么收獲？五、作業(yè)布置教材第41頁第1，2題.22.1.2二次函數(shù)y＝ax2通過畫圖，了解二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖象是一條拋物線，理解其頂點為何是原點，對稱軸為何是y軸，開口方向為何向上(或向下)，掌握其頂點、對稱軸、開口方向、最值和增減性與解析式的內(nèi)在關(guān)系，能運用相關(guān)性質(zhì)解決有關(guān)問題．重點從“數(shù)”(解析式)和“形”(圖象)的角度理解二次函數(shù)y＝ax2的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)解析式y(tǒng)＝ax2與函數(shù)圖象的內(nèi)在關(guān)系．難點畫二次函數(shù)y＝ax2的圖象．一、引入新課1．下列哪些函數(shù)是二次函數(shù)？哪些是一次函數(shù)？(1)y＝3x－1(2)y＝2x2＋7(3)y＝x－2(4)y＝3(x－1)2＋12．一次函數(shù)的圖象，正比例函數(shù)的圖象各是怎樣的呢？它們各有什么特點，又有哪些性質(zhì)呢？3．上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的概念，掌握了它的一般形式，這節(jié)課我們先來探究二次函數(shù)中最簡單的y＝ax2的圖象和性質(zhì)．二、教學(xué)活動活動1：畫函數(shù)y＝－x2的圖象．(1)多媒體展示畫法(列表，描點，連線)．(2)提出問題：它的形狀類似于什么？(3)引出一般概念：拋物線，拋物線的對稱軸、頂點．活動2：在坐標紙上畫函數(shù)y＝－，y＝－2x2的圖象．(1)教師巡視，展示學(xué)生的作品并進行點撥；教師再用多媒體課件展示正確的畫圖過程．(2)引導(dǎo)學(xué)生觀察二次函數(shù)y＝－，y＝－2x2與函數(shù)y＝－x2的圖象，提出問題：它們有什么共同點和不同點？(3)歸納總結(jié)：共同點：①它們都是拋物線；②除頂點外都處于x軸的下方；③開口向下；④對稱軸是y軸；⑤頂點都是原點(0，0)．不同點：開口大小不同．(4)教師強調(diào)指出：這三個特殊的二次函數(shù)y＝ax2是當a＜0時的情況．系數(shù)a越大，拋物線開口越大．活動3：在同一個直角坐標系中畫函數(shù)y＝x2，y＝，y＝2x2的圖象．類似活動2：讓學(xué)生歸納總結(jié)出這些圖象的共同點和不同點，再進一步提煉出二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖象和性質(zhì)．二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖象和性質(zhì)圖象(草圖)開口方向頂點對稱軸最高或最低點最值a＞0當x＝____時，y有最____值，是________.a＜0當x＝____時，y有最____值，是________.活動4：達標檢測(1)函數(shù)y＝－8x2的圖象開口向________，頂點是________，對稱軸是________，當x________時，y隨x的增大而減?。?2)二次函數(shù)y＝(2k－5)x2的圖象如圖所示，則k的取值范圍為________．(3)如圖，①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.比較a，b，c，d的大小，用“＞”連接________．答案：(1)下，(0，0)，x＝0，＞0；(2)k＞；(3)a＞b＞d＞c.三、課堂小結(jié)與作業(yè)布置課堂小結(jié)1．二次函數(shù)的圖象都是拋物線．2．二次函數(shù)y＝ax2的圖象性質(zhì)：(1)拋物線y＝ax2的對稱軸是y軸，頂點是原點．(2)當a＞0時，拋物線的開口向上，頂點是拋物線的最低點；當a＜0時，拋物線的開口向下，頂點是拋物線的最高點；|a|越大，拋物線的開口越小．作業(yè)布置教材第32頁練習(xí)．22．二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象和性質(zhì)1．經(jīng)歷二次函數(shù)圖象平移的過程；理解函數(shù)圖象平移的意義．2．了解y＝ax2，y＝a(x－h(huán))2，y＝a(x－h(huán))2＋k三類二次函數(shù)圖象之間的關(guān)系．3．會從圖象的平移變換的角度認識y＝a(x－h(huán))2＋k型二次函數(shù)的圖象特征．重點從圖象的平移變換的角度認識y＝a(x－h(huán))2＋k型二次函數(shù)的圖象特征．難點對于平移變換的理解和確定，學(xué)生較難理解．一、復(fù)習(xí)引入二次函數(shù)y＝ax2的圖象和特征：1．名稱________；2.頂點坐標________；3.對稱軸________；4.當a＞0時，拋物線的開口向________，頂點是拋物線上的最________點，圖象在x軸的________(除頂點外)；當a＜0時，拋物線的開口向________，頂點是拋物線上的最________點，圖象在x軸的________(除頂點外)．二、合作學(xué)習(xí)在同一坐標系中畫出函數(shù)y＝eq\f(1,2)x2，y＝eq\f(1,2)(x＋2)2，y＝eq\f(1,2)(x－2)2的圖象．(1)請比較這三個函數(shù)圖象有什么共同特征？(2)頂點和對稱軸有什么關(guān)系？(3)圖象之間的位置能否通過適當?shù)淖儞Q得到？(4)由此，你發(fā)現(xiàn)了什么？三、探究二次函數(shù)y＝ax2和y＝a(x－h(huán))2圖象之間的關(guān)系1．結(jié)合學(xué)生所畫圖象，引導(dǎo)學(xué)生觀察y＝eq\f(1,2)(x＋2)2與y＝eq\f(1,2)x2的圖象位置關(guān)系，直觀得出y＝eq\f(1,2)x2的圖象eq\o(→,\s\up7(向左平移兩個單位))y＝eq\f(1,2)(x＋2)2的圖象．教師可以采取以下措施：①借助幾何畫板演示幾個對應(yīng)點的位置關(guān)系，如：(0，0)eq\o(→,\s\up7(向左平移兩個單位))(－2，0)；(2，2)eq\o(→,\s\up7(向左平移兩個單位))(0，2)；(－2，2)eq\o(→,\s\up7(向左平移兩個單位))(－4，2)．②也可以把這些對應(yīng)點在圖象上用彩色粉筆標出，并用帶箭頭的線段表示平移過程．2．用同樣的方法得出y＝eq\f(1,2)x2的圖象eq\o(→,\s\up7(向右平移兩個單位))y＝eq\f(1,2)(x－2)2的圖象．3．請你總結(jié)二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的圖象和性質(zhì)．y＝ax2(a≠0)的圖象eq\o(→,\s\up7(當h＞0時，向右平移h個單位),\s\do5(當h＜0時，向左平移|h|個單位))y＝a(x－h(huán))2的圖象．函數(shù)y＝a(x－h(huán))2的圖象的頂點坐標是(h，0)，對稱軸是直線x＝h.4．做一做(1)拋物線開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標y＝2(x＋3)2y＝－3(x－1)2y＝－4(x－3)2(2)填空：①拋物線y＝2x2向________平移________個單位可得到y(tǒng)＝2(x＋1)2；②函數(shù)y＝－5(x－4)2的圖象可以由拋物線________向________平移________個單位而得到．四、探究二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k和y＝ax2圖象之間的關(guān)系1．在上面的平面直角坐標系中畫出二次函數(shù)y＝eq\f(1,2)(x＋2)2＋3的圖象．首先引導(dǎo)學(xué)生觀察比較y＝eq\f(1,2)(x＋2)2與y＝eq\f(1,2)(x＋2)2＋3的圖象關(guān)系，直觀得出：y＝eq\f(1,2)(x＋2)2的圖象eq\o(→,\s\up7(向上平移3個單位))y＝eq\f(1,2)(x＋2)2＋3的圖象．(結(jié)合多媒體演示)再引導(dǎo)學(xué)生觀察剛才得到的y＝eq\f(1,2)x2的圖象與y＝eq\f(1,2)(x＋2)2的圖象之間的位置關(guān)系，由此得出：只要把拋物線y＝eq\f(1,2)x2先向左平移2個單位，在向上平移3個單位，就可得到函數(shù)y＝eq\f(1,2)(x＋2)2＋3的圖象．2．做一做：請?zhí)顚懴卤恚汉瘮?shù)解析式圖象的對稱軸圖象的頂點坐標y＝eq\f(1,2)x2y＝eq\f(1,2)(x＋2)2y＝eq\f(1,2)(x＋2)2＋33.總結(jié)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象和y＝ax2圖象的關(guān)系y＝ax2(a≠0)的圖象eq\o(→,\s\up7(當h＞0時，向右平移h個單位),\s\do5(當h＜0時，向左平移|h|個單位))y＝a(x－h(huán))2的圖象eq\o(→,\s\up7(當k＞0時，向上平移k個單位),\s\do5(當k＜0時，向下平移|k|個單位))y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象．y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象的對稱軸是直線x＝h，頂點坐標是(h，k)．口訣：(h，k)正負左右上下移(h左加右減，k上加下減)從二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象可以看出：如果a＞0，當x＜h時，y隨x的增大而減小，當x＞h時，y隨x的增大而增大；如果a＜0，當x＜h時，y隨x的增大而增大，當x＞h時，y隨x的增大而減?。?．練習(xí)：課本第37頁練習(xí)五、課堂小結(jié)1．函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象和函數(shù)y＝ax2圖象之間的關(guān)系．2．函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象在開口方向、頂點坐標和對稱軸等方面的性質(zhì)．六、作業(yè)布置教材第41頁第5題22.1.4二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì)(2課時第1課時二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì)1．掌握用描點法畫出二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象．2．掌握用圖象或通過配方確定拋物線y＝ax2＋bx＋c的開口方向、對稱軸和頂點坐標．3．經(jīng)歷探索二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標以及配方的過程，理解二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的性質(zhì)．重點通過圖象和配方描述二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的性質(zhì)．難點理解二次函數(shù)一般形式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的配方過程，發(fā)現(xiàn)并總結(jié)y＝ax2＋bx＋c與y＝a(x－h(huán))2＋k的內(nèi)在關(guān)系．一、導(dǎo)入新課1．二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象，可以由函數(shù)y＝ax2的圖象先向________平移________個單位，再向________平移________個單位得到．2．二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象的開口方向________，對稱軸是________，頂點坐標是________．3．二次函數(shù)y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21，你能很容易地說出它的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標，并畫出圖象嗎？二、教學(xué)活動活動1：通過配方，確定拋物線y＝eq\f(1,2)x2－6x＋21的開口方向、對稱軸和頂點坐標，再描點畫圖．(1)多媒體展示畫法(列表，描點，連線)；(2)提出問題：它的開口方向、對稱軸和頂點坐標分別是什么？(3)引導(dǎo)學(xué)生合作、討論觀察圖象：在對稱軸的左右兩側(cè)，拋物線從左往右的變化趨勢．活動2：1.不畫出圖象，你能直接說出函數(shù)y＝－x2＋2x－3的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標嗎？2．你能畫出函數(shù)y＝－x2＋2x－3的圖象，并說明這個函數(shù)具有哪些性質(zhì)嗎？(1)在學(xué)生畫函數(shù)圖象的同時，教師巡視、指導(dǎo)；(2)抽一位或兩位同學(xué)板演，學(xué)生自糾，老師點評；(3)讓學(xué)生思考函數(shù)的最大值或最小值與函數(shù)圖象的開口方向有什么關(guān)系？這個值與函數(shù)圖象的頂點坐標有什么關(guān)系？活動3：對于任意一個二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何確定它的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標？你能把結(jié)果寫出來嗎？(1)組織學(xué)生分組討論，教師巡視；(2)各組選派代表發(fā)言，全班交流，達成共識，抽學(xué)生板演配方過程；教師課件展示二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)和y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的圖象．(3)引導(dǎo)學(xué)生觀察二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象，在對稱軸的左右兩側(cè)，y隨x的增大有什么變化規(guī)律？(4)引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象和性質(zhì)．活動4：已知拋物線y＝x2－2ax＋9的頂點在坐標軸上，求a的值．活動5：檢測反饋1．填空：(1)拋物線y＝x2－2x＋2的頂點坐標是________；(2)拋物線y＝2x2－2x－1的開口________，對稱軸是________；(3)二次函數(shù)y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，則a＝________.2．寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標．(1)y＝3x2＋2x；(2)y＝－2x2＋8x－8.3．求二次函數(shù)y＝mx2＋2mx＋3(m＞0)的圖象的對稱軸，并說出該圖象具有哪些性質(zhì)．4．拋物線y＝ax2＋2x＋c的頂點是(－1，2)，則a，c的值分別是多少？答案：1.(1)(1，1)；(2)向上，x＝eq\f(1,2)；(3)－1；2.(1)開口向上，x＝－eq\f(1,3)，(－eq\f(1,3)，－eq\f(1,3))；(2)開口向下，x＝2，(2，0)；3.對稱軸x＝－1，當m＞0時，開口向上，頂點坐標是(－1，3－m)；＝1，c＝3.三、課堂小結(jié)與作業(yè)布置課堂小結(jié)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與性質(zhì)．作業(yè)布置教材第41頁第6題．第2課時用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式1．掌握二次函數(shù)解析式的三種形式，并會選用不同的形式，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．2．能根據(jù)二次函數(shù)的解析式確定拋物線的開口方向，頂點坐標，對稱軸，最值和增減性．3．能根據(jù)二次函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象，并能從圖象上觀察出函數(shù)的一些性質(zhì)．重點二次函數(shù)的解析式和利用函數(shù)的圖象觀察性質(zhì)．難點利用圖象觀察性質(zhì)．一、復(fù)習(xí)引入1．拋物線y＝－2(x＋4)2－5的頂點坐標是________，對稱軸是________，在________________側(cè)，即x________－4時，y隨著x的增大而增大；在________________側(cè)，即x________－4時，y隨著x的增大而減小；當x＝________時，函數(shù)y最________值是________．2．拋物線y＝2(x－3)2＋6的頂點坐標是________，對稱軸是________，在________________側(cè)，即x________3時，y隨著x的增大而增大；在________________側(cè)，即x________3時，y隨著x的增大而減??；當x＝________時，函數(shù)y最________值是________．二、例題講解例1根據(jù)下列條件求二次函數(shù)的解析式：(1)函數(shù)圖象經(jīng)過點A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－2)；(2)函數(shù)圖象的頂點坐標是(2，4)，且經(jīng)過點(0，1)；(3)函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝3，且圖象經(jīng)過點(1，0)和(5，0