初中數(shù)學人教版九年級下冊銳角三角函數(shù)單元復習 市賽獲獎

專訓1解直角三角形的幾種常見類型名師點金：解直角三角形是中考的重要內(nèi)容之一，直角三角形邊、角關系的知識是解直角三角形的基礎．解直角三角形時，要注意三角函數(shù)的選取，避免計算復雜．在解題中，若求解的邊、角不在直角三角形中，應先添加輔助線，構造直角三角形．已知兩直角邊解直角三角形1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對邊，a＝2eq\r(3)，b＝6，解這個直角三角形．(第1題)已知一直角邊和斜邊解直角三角形2．如圖，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin∠BAC的值和點B到直線MC的距離．【導學號：16872076】(第2題)已知一直角邊和一銳角解直角三角形3．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3.(1)求AC的長；(2)求BC的長．(第3題)4．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，D為AC邊上一點，∠BDC＝45°，求AD的長．(第4題)已知斜邊和一銳角解直角三角形5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對邊，c＝10，解這個直角三角形．(第5題)6.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分線，與BC相交于點D，且AB＝4eq\r(3)，求AD的長．(第6題)已知非直角三角形中的邊(或角或三角函數(shù)值)解直角三角形eq\a\vs4\al(題型1：)化斜三角形為直角三角形問題(化斜為直法)7．如圖，在△ABC中，點D是AB的中點，DC⊥AC，且tan∠BCD＝eq\f(1,3)，求∠A的三角函數(shù)值．【導學號：16872077】(第7題)eq\a\vs4\al(題型2：)化解四邊形問題為解直角三角形問題8．(中考·北京)如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝eq\r(2)，BE＝2eq\r(2).求CD的長和四邊形ABCD的面積．(第8題)eq\a\vs4\al(題型3：)化解方程問題為解直角三角形問題9．已知a，b，c分別是△ABC中∠A，∠B，∠C的對邊，關于x的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有兩個相等的實數(shù)根，且3c＝a＋3b.(1)判斷△ABC的形狀；(2)求sinA＋sinB的值．【導學號：16872078】專訓2構造三角函數(shù)基本圖形解實際問題的幾種數(shù)學模型名師點金：解直角三角形及其應用是近幾年各地中考命題的熱點之一，考查內(nèi)容不僅有傳統(tǒng)的計算距離、高度、角度的應用題，還有要求同學們根據(jù)題中給出的信息構建三角函數(shù)的基本圖形，建立數(shù)學模型，將某些簡單的實際問題轉化為數(shù)學問題，把數(shù)學問題轉化為銳角三角函數(shù)問題來求解．運用銳角三角函數(shù)知識解決與實際生活、生產(chǎn)相關的應用題是近年來中考的熱點題型．構造一個直角三角形解實際問題1．(2016·山西)太陽能光伏發(fā)電因其清潔、安全、便利、高效等特點，已成為世界各國普遍關注和重點發(fā)展的新興產(chǎn)業(yè)．如圖是太陽能電池板支撐架的截面圖，其中的粗線表示支撐角鋼，太陽能電池板與支撐角鋼AB的長度相同，均為300cm，AB的傾斜角為30°，BE＝CA＝50cm，支撐角鋼CD，EF與底座地基臺面接觸點分別為D，F(xiàn)，CD垂直于地面，F(xiàn)E⊥AB于點E.兩個底座地基高度相同(即點D，F(xiàn)到地面的垂直距離相同)，均為30cm，點A到地面的垂直距離為50cm，求支撐角鋼CD和EF的長度各是多少厘米(結果保留根號)．(第1題)2．如圖，大樓AB右側有一障礙物，在障礙物的旁邊有一幢小樓DE，在小樓的頂端D處測得障礙物邊緣點C的俯角為30°，測得大樓頂端A的仰角為45°(點B，C，E在同一水平直線上)，已知AB＝80m，DE＝10m，求障礙物B，C兩點間的距離(結果精確到m)(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈，eq\r(3)≈(第2題)構造形如“”的兩個直角三角形解實際問題3．(2016·資陽)如圖，“中國海監(jiān)50”正在南海海域A處巡邏，島礁B上的中國海軍發(fā)現(xiàn)點A在點B的正西方向上，島礁C上的中國海軍發(fā)現(xiàn)點A在點C的南偏東30°方向上，已知點C在點B的北偏西60°方向上，且B，C兩地相距120海里．(1)求出此時點A到島礁C的距離；(2)若“中國海監(jiān)50”從A處沿AC方向向島礁C駛去，當?shù)竭_點A′時，測得點B在A′的南偏東75°的方向上，求此時“中國海監(jiān)50”的航行距離．(注：結果保留根號)(第3題)4．(2016·黔東南州)黔東南州某校吳老師組織九(1)班同學開展數(shù)學活動，帶領同學們測量學校附近一電線桿的高．已知電線桿直立于地面上，某天在太陽光的照射下，電線桿的影子(折線BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D處測得電線桿頂端A的仰角為30°，在C處測得電線桿頂端A的仰角為45°，斜坡與地面成60°角，CD＝4m，請你根據(jù)這些數(shù)據(jù)求電線桿的高(AB)．(結果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈，eq\r(3)≈【導學號：16872079】(第4題)5．(中考·安徽)如圖，防洪大堤的橫斷面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α＝60°.汛期來臨前對其進行了加固，改造后的背水面坡角β＝45°.若原坡長AB＝20m，求改造后的坡長AE(結果保留根號)．(第5題)構造形如“”的兩個直角三角形解實際問題6．(2016·深圳)某興趣小組借助無人飛機航拍校園．如圖，無人飛機從A處水平飛行至B處需8s，在地面C處同一方向上分別測得A處的仰角為75°，B處的仰角為30°.已知無人飛機的飛行速度為4m/s，求這架無人飛機的飛行高度．(結果保留根號)．(第6題)7．(2016·河南)如圖，小東在教學樓距地面9米高的窗口處，測得正前方旗桿頂部A點的仰角為37°，旗桿底部B點的俯角為45°，升旗時，國旗上端懸掛在距地面米處，若國旗隨國歌聲冉冉升起，并在國歌播放45秒結束時到達旗桿頂端，則國旗應以多少米/秒的速度勻速上升？(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈(第7題)構造形如“”的兩個直角三角形解實際問題8．如圖，小剛同學在廣場上觀測新華書店樓房墻上的電子屏幕CD，點A是小剛的眼睛，測得屏幕下端D處的仰角為30°，然后他正對屏幕方向前進了6米到達B處，又測得該屏幕上端C處的仰角為45°，延長AB與樓房垂直相交于點E，測得BE＝21米，請你幫小剛求出該屏幕上端與下端之間的距離CD(結果保留根號)．【導學號：16872080】(第8題)答案eq\a\vs4\al(專訓1)1．解：∵a＝2eq\r(3)，b＝6，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(12＋36)＝eq\r(48)＝4eq\r(3).∵tanA＝eq\f(a,b)＝eq\f(2\r(3),6)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠A＝30°，∴∠B＝60°.2．解：∵AB＝13，AC＝12，∠ACB＝90°，∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(169－144)＝eq\r(25)＝5.∴sin∠BAC＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(5,13).過點B作BD⊥MC于點D.設點B到直線MC的距離為d，則BD＝d，∵∠BCM＝∠BAC，∴sin∠BAC＝sin∠BCM.∴sin∠BCM＝eq\f(d,BC)＝eq\f(5,13)，即eq\f(d,5)＝eq\f(5,13)，∴d＝eq\f(25,13).即點B到直線MC的距離為eq\f(25,13).3．解：(1)由題意知sinC＝eq\f(AB,AC)，即eq\f(1,2)＝eq\f(3,AC)，則AC＝6.(2)由題意知tanC＝eq\f(AB,BC)，即eq\f(\r(3),3)＝eq\f(3,BC)，則BC＝3eq\r(3).4．解：∵∠C＝90°，∠BDC＝45°，BC＝3，∴CD＝3.∵∠A＝30°，BC＝3，∴tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(3,AC)＝eq\f(\r(3),3)，即AC＝3eq\r(3).∴AD＝AC－CD＝3eq\r(3)－3.5．解：∵∠B＝45°，∠C＝90°，c＝10，∴∠A＝45°.a＝b＝5eq\r(2).6．解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4eq\r(3)，∴∠CAB＝60°，AC＝AB·sin30°＝4eq\r(3)×eq\f(1,2)＝2eq\r(3).又∵AD是∠BAC的平分線，∴∠CAD＝30°.∵cos∠CAD＝eq\f(AC,AD)＝eq\f(\r(3),2)＝eq\f(2\r(3),AD)，∴AD＝4.7．解：過點D作CD的垂線交BC于點E，如圖．在Rt△CDE中，∵tan∠BCD＝eq\f(1,3)＝eq\f(DE,CD)，∴可設DE＝x，則CD＝3x.∵CD⊥AC，∴DE∥AC.又∵點D為AB的中點，∴點E為BC的中點．∴DE＝eq\f(1,2)AC.∴AC＝2DE＝2x.在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，AC＝2x，CD＝3x，∴AD＝eq\r(AC2＋CD2)＝eq\r(4x2＋9x2)＝eq\r(13)x.∴sinA＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(3x,\r(13)x)＝eq\f(3\r(13),13)，cosA＝eq\f(AC,AD)＝eq\f(2x,\r(13)x)＝eq\f(2\r(13),13)，tanA＝eq\f(CD,AC)＝eq\f(3x,2x)＝eq\f(3,2).方法技巧：本題中出現(xiàn)了tan∠BCD＝eq\f(1,3)，由于∠BCD所在的三角形并非直角三角形，因此應用正切函數(shù)的定義，構造出一個與之相關的直角三角形進行求解．(第7題)(第8題)8．解：如圖，過點D作DH⊥AC于點H.∵∠CED＝45°，DH⊥EC，DE＝eq\r(2)，∴EH＝DE·cos45°＝eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1，∴DH＝1.又∵∠DCE＝30°，∴HC＝eq\f(DH,tan30°)＝eq\r(3)，CD＝eq\f(DH,sin30°)＝2.∵∠AEB＝45°，∠BAC＝90°，BE＝2eq\r(2)，∴AB＝AE＝2，∴AC＝AE＋EH＋HC＝2＋1＋eq\r(3)＝3＋eq\r(3)，∴S四邊形ABCD＝eq\f(1,2)×2×(3＋eq\r(3))＋eq\f(1,2)×1×(3＋eq\r(3))＝eq\f(3\r(3)＋9,2).方法技巧：題目中所給的有直角和30°，45°角，因此我們可以通過構造另一個直角三角形，然后運用特殊角的三角函數(shù)值求出某些邊的長，進而求出四邊形的面積．9．解：(1)將方程整理，得(c－a)x2＋2bx＋(a＋c)＝0，則Δ＝(2b)2－4(c－a)(a＋c)＝4(b2＋a2－c2)．∵方程有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝0，即b2＋a2＝c2.∴△ABC為直角三角形．(2)由3c＝a＋3b，得a＝3c－3b.①將①代入a2＋b2＝c2，得(3c－3b)2＋b2＝c2.∴4c2－9bc＋5b2＝0，即(4c－5b)(c－b)＝0.由①可知，b≠c，∴4c＝5b.∴b＝eq\f(4,5)c.②將②代入①，得a＝eq\f(3,5)c.∴在Rt△ABC中，sinA＋sinB＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)＝eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)＝eq\f(7,5).點撥：解決本題的突破口是由一元二次方程根與判別式的關系得到一個關于a，b，c的等式．從解題過程可以看出，求三角函數(shù)值時，只分析出直角三角形中三邊的比例關系即可求出其值．eq\a\vs4\al(專訓2)1．解：如圖，過A作AG⊥CD于G，則∠CAG＝30°，在Rt△ACG中，CG＝ACsin30°＝50×eq\f(1,2)＝25，∵GD＝50－30＝20，∴CD＝CG＋GD＝25＋20＝45，連接FD并延長與BA的延長線交于H，則∠H＝30°，在Rt△CDH中，CH＝eq\f(CD,sin30°)＝2CD＝90，∴EH＝EC＋CH＝AB－BE－AC＋CH＝300－50－50＋90＝290，在Rt△EFH中，EF＝EH·tan30°＝290×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(290\r(3),3).答：支撐角鋼CD和EF的長度各是45cm，eq\f(290\r(3),3)cm.(第1題)2．解：如圖，過點D作DF⊥AB于點F，過點C作CH⊥DF于點H.則DE＝BF＝CH＝10m，在直角△ADF中，∵AF＝80m－10m＝70m，∠ADF＝45°，∴DF＝AF＝70m.在直角△CDE中，∵DE＝10m，∠DCE＝30°，∴CE＝eq\f(DE,tan30°)＝eq\f(10,\f(\r(3),3))＝10eq\r(3)(m)，∴BC＝BE－CE＝70－10eq\r(3)≈70－≈(m)．答：障礙物B，C兩點間的距離約為m.(第2題)(第3題)3．解：(1)如圖所示，延長BA，過點C作CD⊥BA交BA延長線于點D，由題意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，則DC＝60海里，故cos30°＝eq\f(DC,AC)＝eq\f(60,AC)＝eq\f(\r(3),2)，解得：AC＝40eq\r(3)，答：點A到島礁C的距離為40eq\r(3)海里；(2)如圖所示：過點A′作A′N⊥BC于點N，可得∠1＝30°，∠BA′A＝45°，A′N＝A′E，則∠2＝15°，即BA′平分∠CBA，設AA′＝x，則A′E＝eq\f(\r(3),2)x，故CA′＝2A′N＝2×eq\f(\r(3),2)x＝eq\r(3)x，∵eq\r(3)x＋x＝40eq\r(3)，∴解得：x＝20(3－eq\r(3))，答：此時“中國海監(jiān)50”的航行距離為20(3－eq\r(3))海里．4．解：延長AD交BC的延長線于G，作DH⊥BG于H，如圖所示．(第4題)在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4，則CH＝CD·cos∠DCH＝4×cos60°＝2，DH＝CD·sin∠DCH＝4×sin60°＝2eq\r(3)，∵DH⊥BG，∠G＝30°，∴HG＝eq\f(DH,tanG)＝eq\f(2\r(3),tan30°)＝6，∴CG＝CH＋HG＝2＋6＝8，設AB＝xm，∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，∴BC＝x，BG＝eq\f(AB,tanG)＝eq\f(x,tan30°)＝eq\r(3)x，∵BG－BC＝CG，∴eq\r(3)x－x＝8，解得：x≈11(m)．答：電線桿的高約為11m.5．解：如圖，過點A作AF⊥BC于點F.在Rt△ABF中，∠ABF＝α＝60°，∴AF＝AB·sin60°＝20×eq