2023年北師大版八年級上冊數(shù)學(xué)勾股定理全章知識點及習(xí)題

第一章勾股定理知識點一：勾股定理定義畫一個直角邊為3cｍ和４cｍ的直角△ＡＢＣ，量AB的長；一個直角邊為５和12的直角△ABC,量ＡB的長發(fā)現(xiàn)32+42與52的關(guān)系,５２＋122和１32的關(guān)系，對于任意的直角三角形也有這個性質(zhì)嗎?直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：ａ２+b２=ｃ２）1．如圖，直角△ABＣ的重要性質(zhì)是:∠C=90°,（用幾何語言表達(dá))⑴兩銳角之間的關(guān)系：;⑵若D為斜邊中點，則斜邊中線;⑶若∠Ｂ=30°,則∠Ｂ的對邊和斜邊：;（給出證明）⑷三邊之間的關(guān)系：。知識點二:驗證勾股定理知識點三：勾股定理證明(等面積法)例1。已知：在△ABC中,∠Ｃ=90°,∠A、∠B、∠C的對邊為a、b、c。求證:a２+ｂ2＝c2。證明：例2。已知：在△ABC中，∠C=9０°,∠A、∠B、∠C的對邊為a、b、c。求證:ａ2+b2=c2。證明：知識點四：勾股定理簡樸應(yīng)用在Rt△ABＣ中,∠C=９0°已知：ａ=6，ｂ=８,求c已知:ｂ=5，c=13，求ａ知識點五：勾股定理逆定理假如三角形的三邊長為,滿足，那么，這個三角形是直角三角形.運用勾股定理的逆定理判別直角三角形的一般環(huán)節(jié):①先找出最大邊(如ｃ）②計算與,并驗證是否相等。若=,則△ABＣ是直角三角形。若≠，則△ＡBC不是直角三角形。1.下列各組數(shù)中,以a,b,c為邊的三角形不是Ｒt△的是(）A.a＝７,b＝２４,c=25?B.ａ=7，ｂ=２4,c=24?C.a=6,b=８,c＝10?D．a(chǎn)=3,b=４,c＝52.三角形的三邊長為,則這個三角形是()A．等邊三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D．銳角三角形3.已知,則由此為三邊的三角形是三角形.知識點六:勾股數(shù)(1）滿足的三個正整數(shù),稱為勾股數(shù)．(2）勾股數(shù)中各數(shù)的相同的整數(shù)倍,仍是勾股數(shù)，如3、４、5是勾股數(shù),６、8、1０也是勾股數(shù)．（3)常見的勾股數(shù)有：①3、4、5②5、１2、13;③8、１５、17；④7、24、25;⑤11、6０、61；⑥9、40、41.１.設(shè)、、是直角三角形的三邊,則、、不也許的是（).Ａ.３,5,4B.5,12,１３C．2,３,4Ｄ.8,17，15若線段a,b，c組成Rｔ△，則它們的比可以是（） A.2∶３∶4B.3∶4∶6C．５∶１2∶１3?D.4∶6∶7知識點七：擬定最短路線一只長方體木箱如圖所示,長、寬、高分別為5cm、４cm、3ｃm，AAB有一只甲蟲從A出發(fā),沿表面爬到,最近距離是多少?2.如圖,一圓柱高8cm，底面半徑2cm,一只螞蟻從點A爬到點B處吃食，要爬行的最短路程（取3)是．ABAB知識點八：逆定理判斷垂直1.在△ＡBC中,已知ＡB2-BC2=CA2，則△AＢＣ的形狀是（)A.銳角三角形；Ｂ．直角三角形;C.鈍角三角形;D．無法擬定.2．如圖，正方形網(wǎng)格中的△ＡBＣ，若小方格邊長為1,則△ABC是()A.直角三角形B.銳角三角形C．鈍角三角形Ｄ.以上答案都不對知識點九:勾股定理應(yīng)用題1.在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是:有一個水池,水面是一個邊長為10尺的正方形,在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面１尺，假如把這根蘆葦垂直拉向岸邊,它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面,請問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少?2.如圖為某樓梯,測得樓梯的長為5米，高３米,計劃在樓梯表面鋪地毯3．一根直立的桅桿原長25ｍ，折斷后，桅桿的頂部落在離底部的５m處,則桅桿斷后兩部分各是多長?4.某中學(xué)八年級學(xué)生想知道學(xué)校操場上旗桿的高度，他們發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多1米,當(dāng)他們把繩子的下端拉開5綜合練習(xí)一一、選擇題1、下面幾組數(shù):①7，８,9;②12,9,15;③ｍ２+n２，m2–n２,2mｎ（ｍ,n均為正整數(shù),mn)；④,,.其中能組成直角三角形的三邊長的是（)A．①②；B．①③;C．②③；D.③④２已知一個Rt△的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（) Ａ.２5 B.14 C.7 D.7或253.三角形的三邊長為,則這個三角形是()A.等邊三角形;B．鈍角三角形;Ｃ．直角三角形;D.銳角三角形.4.△ＡBC的三邊為ａ、b、c且（a+b)(a-b)=c2，則()A．a(chǎn)邊的對角是直角B.b邊的對角是直角C.c邊的對角是直角D.是斜三角形5.以下列各組中的三個數(shù)為邊長的三角形是直角三角形的個數(shù)有（）①６、7、８,②8、15、17，③7、2４、25，④12、35、37,⑤９、4０、41Ａ、1個B、2個C、3個D、4個6.將直角三角形的三邊擴大相同的倍數(shù)后,得到的三角形是(）Ａ.直角三角形B．銳角三角形C.鈍角三角形D．不是直角三角形７.若△ABC的三邊a、b、c滿足(ａ－ｂ）（ａ2＋b２-c２）=0，則△ABC是(）Ａ.等腰三角形B.直角三角形Ｃ．等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8．如圖,∠＝∠＝90°，=5，=8,＝11,則的長為()A、10B、1１C、１2Ｄ、139.如圖、山坡的高=5，水平距離＝1２，若在山坡上每隔0.65栽一棵茶樹,則從上到下共()Ａ、1９棵B、2０棵C、21棵D、22棵1０．Rt△ABC中，∠=90°，∠∠、∠所對的邊分別是、、，若=2,則+＋的值是(）A、6Ｂ、8C、1０D、4１1．下列各組數(shù)據(jù)中，不能構(gòu)成直角三角形的一組數(shù)是()Ａ、9,1２,15B、，1,Ｃ、０．2,０.3，0．４Ｄ、40,41,912.已知,一輪船以１6海里/時的速度從港口Ａ出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里／時的速度同時從港口Ａ出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距(）?A．25海里 B.3０海里?Ｃ.３5海里 D.４0海里二、填空題1．在Ｒt△ABC中，∠C＝90°,①若a＝5，ｂ=１２，則c=_＿_(dá)___＿＿＿_(dá)_；②若a=１5，c＝2５，則b=______＿_(dá)＿_(dá)_；③若c=61，b=60,則a＝_＿_(dá)____＿_(dá)_;④若a∶ｂ=3∶4，c=10則SRt△ABＣ=________2.現(xiàn)有長度分別為2、3、４、５的木棒,從中任取三根，能組成直角三角形,則其周長為．3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知兩邊求;勾股定理的逆定理的作用是用來證明.4.如圖中字母所代表的正方形的面積：=＝.５．在△ABＣ中，∠Ｃ＝90°，若a＝5，b=１2,則ｃ＝．6.△ABC中,AＢ=AＣ=1７cｍ,ＢC＝16ｃm，則高AＤ=，S△ABC=。7.在Rｔ△ABＣ中，有一邊是2,另一邊是3,則第三邊的平方是。8．在△ABＣ中，AC=17cｍ，BC=10cｍ，AB＝9cm,這是一個___＿_(dá)＿＿_(dá)＿三角形(按角分)。9.已知一個三角形的三邊長分別是12cm，16cｍ，２0cm，則這個三角形的面積為。三、簡答題1.判斷正誤,并指出為什么?(1)△ABC的兩邊為３和4，求第三邊解:由于三角形的兩邊為3和4，所以它的第三邊ｃ為5。（2）若已知△ABC為直角三角形，則第三邊為５2.在△ＡＢC中，BＣ＝m2-n2，AC=2mn，AＢ=m2+n2（ｍ＞n)。求證：△AＢC是直角三角形。３.求斜邊長１７厘米,一條直角邊長１５厘米的直角三角形的面積.(畫圖求解)4．已知一艘輪船以16的速度離開港口向東北方向航行，另一艘輪船同時離開港口，以1２的速度向東南方向航行,它們離開港口一個半小時相距多少千米?（畫圖求解）5.如圖,一根旗桿在離地面９米處斷裂,旗桿頂部落在離旗桿底部１２米處，旗桿折斷之前有多高？6.如圖,在四邊形ABCＤ中，∠BＡＤ=，∠DBC=，AＤ=3,AB=4,ＢC=12,求CD；家庭作業(yè):一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo):１.下列說法對的的是(）Ａ.若a、b、c是△ABC的三邊,則a2＋ｂ2＝ｃ２；B．若ａ、b、c是Rt△ＡBＣ的三邊，則ａ2+b2=c2;C.若a、ｂ、c是Rt△ＡＢC的三邊,,則a2+b2=c2；D.若ａ、b、ｃ是Rt△ABC的三邊,,則ａ2＋b2=c2．2.△ABC的三條邊長分別是、、,則下列各式成立的是(）A.B．Ｃ.D.３.直角三角形中一直角邊的長為９,另兩邊為連續(xù)自然數(shù),則直角三角形的周長為（）Ａ．121? B.１20??C.90 D．不能擬定4．斜邊的邊長為，一條直角邊長為的直角三角形的面積是．ACB５.假如有一個三角形是直角三角形,那么三邊、、之間應(yīng)滿足,其中邊是直角所對的邊；假如一個三角形的三邊、、滿足,那么這個三角形是三角形,其中邊是邊，邊所對的角是.ACB6．一個三角形三邊之比是,則按角分類它是三角形.7．如圖,已知中，,，,以直角邊為直徑作半圓，則這個半圓的面積是．8.一長方形的一邊長為,面積為,那么它的一條對角線長是.二、綜合發(fā)展：1.如圖，一個高、寬的大門,需要在對角線的頂點間加固一個木條，求木條的長.２.一個三角形三條邊的長分別為，，,這個三角形最長邊上的高是多少?3m4m20m3．如圖,小李準(zhǔn)備建一個蔬菜大棚，棚寬4m，高3m，長3m4m20m4．如圖，有一只小鳥在一棵高13m的大樹樹梢上捉蟲子,它的伙伴在離該樹1２m,高8m的一棵小樹樹梢上發(fā)出和諧的叫聲，它立刻以2m/ｓ的速度飛向小樹樹梢，那么這只小鳥至少幾秒才也許到達(dá)小樹和伙伴在一起?勾股定理綜合二1.如圖，一塊直角三角形的紙片，兩直角邊ＡC=６㎝，ＢC=8㎝?，F(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AＢ上,且與AE重合，則CＤ等于ACDBE1題２．已知，如圖長方形ABＣD中，AB=３cｍ,AD=9ACDBE1題ABEABEFDC第2題３.已知：將正長方形紙片ABCD折疊兩次,第一次折痕為AC,第二次折痕為AＥ,且點D落在F處.若長方形長為4,寬為3,求ＤE.４.已知:如圖,△ＡBC中，∠C=９0o，AＤ是角平分線,CD＝15，BD＝25．求ＡC的長.分類討論思想1．在Rｔ△ＡBC中，已知兩邊長為3、4,則第三邊的長為2.在Rｔ△ＡBＣ中,已知兩邊長為５、12，則第三邊的長為3.等腰三角形的兩邊長為1０和12,則周長為_____＿_(dá)_，底邊上的高是____＿_(dá)＿_(dá),面積是________＿。4.一個直角三角形,有兩邊長分別為6和8,下列說法對的的是（）Ａ.第三邊一定為10B.三角形的周長為２5C.三角形的面積為４８Ｄ.第三邊也許為1０擬定三角形形狀1．已知a、b、ｃ是△ABC的三邊，且a2ｃ2－b2c2＝a4－b2.在△ＡＢC中,ＢＣ=19９7,ＡC=1998，AB2=1997+１99８,則△ABC是否為直角三角形?為什么?3.若△AＢC的三邊a、b、c滿足a2+b2＋c2＋３38=10a+24b＋2６ｃ,則△AＢC為三角形(填銳角、直角或鈍角）4.已知三角形的三邊分別是ｎ-2,n,n+2,當(dāng)n是多少時，三角形是一個直角三角形?最短距離問題ABABCDL如圖,一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西８kｍ北７km處,他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完畢這件事情所走的最短路程是多少?3.如圖，在菱形ABＣD中,對角線ＡC=6，BD=8，點Ｅ、F分別是邊AB、BC的中點，點P在AC上運動，在運動過程中，存在PE+PF的最小值,則這個最小值是4.如圖，在直角△ABＣ中，AB=4，∠BＡC=45°,∠ＢＡC的平分線交BC于點Ｄ,M、Ｎ分別是AD和AＢ上的動點，則BM+MN的最小值是()5.如圖，在正方形ABCD的邊AB上連接等腰直角三角形,然后在等腰直角三角形的直角邊上連接正方形,無限反復(fù)上述過程,假如第一個正方形ABCＤ的邊長為1,那么第個正方形的面積為.綜合練習(xí)三一、選擇題１.直角三角形一直角邊長為12，另兩條邊長均為自然數(shù)，則其周長為(）.（Ａ）３0（B)２8（C)56(D）不能擬定2．直角三角形的斜邊比一直角邊長2cm，另一直角邊長為６（A）4cｍ （B)８cm?（C）１03.已知一個Ｒt△的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（)(Ａ）２5?（Ｂ）14 （C）７ （D）７或２54.等腰三角形的腰長為1０,底長為1２，則其底邊上的高為()(A）１3(B）8(C）25（Ｄ）６45．五根小木棒，其長度分別為7,15，20，２4,２5，現(xiàn)將他們擺成兩個直角三角形,其中對的的是（）６．將直角三角形的三條邊長同時擴大同一倍數(shù),得到的三角形是()(A)鈍角三角形（B）銳角三角形(Ｃ）直角三角形（D)等腰三角形．7.如圖小方格都是邊長為1的正方形,則四邊形AＢCD的面積是()(A)2５(B)１2.5(C）9(Ｄ)8.５8.三角形的三邊長為,則這個三角形是(）(Ａ)等邊三角形（B）鈍角三角形(Ｃ）直角三角形(D）銳角三角形.9.△ABC是某市在拆除違章建筑后的一塊三角形空地.已知∠C=90°,AC=30米，ＡB=50米，假如要在這塊空地上種植草皮，按每平方米草皮元計算，那么共需要資金（）.(A）50元(Ｂ)600元(C）１２00元（D）1500元10.如圖EABCD,AB⊥CD于B,EABCD(A)12（B)7(C）５(D）13（第10題)(第11題)（第14題)二、填空題1１.如圖為某樓梯，測得樓梯的長為5米,高3米,計劃在樓梯表面鋪地毯,地毯的長度至少需要__＿_(dá)__米.1２.在直角三角形中,斜邊＝2，則=＿_(dá)____.1３.直角三角形的三邊長為連續(xù)偶數(shù)，則其周長為.14.如圖,在△ＡＢＣ中，∠C=9０°,BC=3，AC=4.以斜邊AB為直徑作半圓,則這個半圓的面積是＿_(dá)＿_(dá)_＿_(dá)＿_(dá)__.(第１5題)