鎮(zhèn)江市網(wǎng)絡(luò)同步助學(xué)平臺專家系列講座課件

鎮(zhèn)江市網(wǎng)絡(luò)同步助學(xué)平臺專家系列講座九年級數(shù)學(xué)

同學(xué)們,當(dāng)老師提問或請同學(xué)們練習(xí)時，你可以按播放器上的暫停鍵思考或練習(xí)，然后再點(diǎn)擊播放鍵.圓的進(jìn)一步認(rèn)識

單位：鎮(zhèn)江市第十中學(xué)主講：姚凌云課題

審稿：鎮(zhèn)江市京口區(qū)教研室鄔一文學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1、理解圓及其有關(guān)概念，了解弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系、直徑所對的圓周角的特征2、了解圓的對稱性，會用垂徑定理進(jìn)行簡單的計算和證明3、了解點(diǎn)與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系4、了解三角形的內(nèi)心和外心5、了解切線的概念，會利用切線的性質(zhì)和判定解決問題，會過圓上一點(diǎn)畫圓的切線。6、會計算弧長和扇形的面積以及圓錐的側(cè)面積和全面積一、圓的定義知識回顧1（2）從集合觀點(diǎn)定義在同一平面內(nèi)，線段OP繞它固定的一個端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一端點(diǎn)P運(yùn)動所形成的圖形叫做圓。定點(diǎn)O叫做圓心。線段OP叫做圓的半徑。（1）描述性定義圓可以看作是平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合，定點(diǎn)為圓心，定長為半徑。圓是中心對稱圖形，二、圓的對稱性中心對稱性旋轉(zhuǎn)不變性弧、弦、圓心角這三組量之間的對應(yīng)關(guān)系軸對稱性垂徑定理旋轉(zhuǎn)折疊1、圓有旋轉(zhuǎn)不變性（即圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任何角度后，仍能與原來的圓重合），2、圓是軸對稱圖形，過圓心的任意一條直線都是它的對稱軸。每條直徑都是圓的對稱軸？×圖形的對稱軸是直線，而直徑是線段。每條直徑所在的直線都是圓的對稱軸圓心是對稱中心。知識回顧2垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。（二）垂徑定理MN注意：

（1）這里的垂徑可以是直徑、半徑、過圓心的直線或線段。

（2）條件中的“弦”可以為直徑，結(jié)論中的“平分弧”既意味著平分弦所對的劣弧，又意味著平分弦所對的優(yōu)弧。下列說法正確嗎？×如圖，若弦為直徑MN，兩條直徑本身就互相平分，但不一定垂直。平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。這個命題這樣改是正確的：三、圓周角的性質(zhì)①在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半。②直徑（或半圓）所對的圓周角是直角，

90°的圓周角所對的弦是直徑。知識回顧31、2、×圓周角等于圓心角的一半。相等的圓周角所對的弧相等?！帘嬉槐嫣貏e提示：不能忽略“同圓或等圓中的同弧或等弧”這個基本前提，不能簡單表述成“圓周角等于圓心角的一半”。特別提示：將性質(zhì)1中的“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”，則結(jié)論不一定成立。

在同圓或等圓中，同弦或等弦所對的圓周角相等或互補(bǔ)。3、同弦或等弦所對的圓周角相等。同一條弦所對的圓周角有兩種，如圖∠ACB和∠ADB都是弦AB所對的圓周角，但并不相等，且∠ACB＋∠ADB=180°×辨一辨2、直線和圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系圓心與直線的距離d與圓的半徑r的關(guān)系直線名稱直線與圓的交點(diǎn)個數(shù)相離相切相交●ldrd﹥r——0d=r切線1d﹤r割線23、切線的判定與性質(zhì)1.定義法：和圓有唯一的一個公共點(diǎn)2.距離法：d=r3.判定定理：過半徑的外端且垂直于半徑（2）切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑切線長的性質(zhì)：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，他們的切線長相等，這點(diǎn)與圓心的連線平分兩切線的夾角（1）切線的判定一般有三種方法：外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含01210d>R+rd=R+rR-r<d<R+rd=R-rd<R-r公共點(diǎn)圓心距和半徑的關(guān)系兩圓位置一圓在另一圓的外部一圓在另一圓的外部兩圓相交一圓在另一圓的內(nèi)部一圓在另一圓的內(nèi)部名稱4、圓與圓的位置關(guān)系內(nèi)含相交外離R＋r外切R－r內(nèi)切02、與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形。如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，△ABC是⊙O的外切三角形，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心。三角形的內(nèi)心是的交點(diǎn)

三角形三條角平分線弧長和扇形的面積弧長的計算公式為：

=·2r=扇形的面積公式為：

S=因此扇形面積的計算公式為S=或S=r弧知識回顧6圓錐的側(cè)面積和全面積S圓錐側(cè)=S扇形=·2πr·l=πrl圓錐的側(cè)面扇形展開母線半徑底面周長弧長

S圓錐全=S圓錐側(cè)＋S圓錐底面

=πrl＋πr2

llh圓錐的側(cè)面扇形展開母線半徑底面周長弧長知識回顧7變式:如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，E為垂足，若CD=6，BE=1，則AB=

。注意：連接OC后無法利用勾股定理直接求出半徑那該怎么辦呢？設(shè)半徑OC=x，則OE=x-1，利用勾股定理列出方程即可求解分析：求直徑，先求半徑。連接OC，解：連接OC，∵OB⊥CD于點(diǎn)E∴CE=DE=CD=3，設(shè)半徑OC=x，則OE=x-1，在Rt△OEC中根據(jù)勾股定理得OE2+CE2=OC2，（x-1）2+32=x2

解得x=5，∴AB=2OC=10一根水平放置的圓柱形輸水管道橫截面如圖所示，其中有水部分水面寬0.8米，最深處水深0.2米，則此輸水管道的直徑是（）

A．0.4米 B．0.5米 C．0.8米 D．1米O實(shí)際應(yīng)用ABCDD分析：有水部分水面寬就是弦AB的長，過點(diǎn)O作AB的垂線，垂足為點(diǎn)D，CD長就是最深處水深，將此實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，就是已知弦長AB和弓高CD，求半徑。試一試吧！及時反饋1及時反饋1、高速公路的隧道和橋梁最多．圖7是一個隧道的橫截面，若它的形狀是以O(shè)為圓心的圓的一部分，路面AB=10米，凈高CD=7米，則此圓的半徑=（

）A．5B．7C．D．OCBADD4.在半徑為2的⊙O中，弦AB的長為,則弦AB所對的圓心角∠AOB的度數(shù)是___.90°典型例題三:運(yùn)用垂徑定理、圓周角定理等證明典型例題例2、如圖，BC為⊙O的直徑，AD⊥BC于D，A是BP的中點(diǎn)，連結(jié)PB交AD于點(diǎn)E．求證：AE＝EB自己試一試(思路分析1：欲求AE＝EB，只需說明∠ABE=∠BAE，其中∠ABE是AP所對的圓周角，而由條件可知，AB=AP，因此只需找出AB所對的圓周角是否與∠ABE相等即可，((((而構(gòu)造AB所對的圓周角，需連接AC，此時恰好構(gòu)造了直徑BC所對的圓周角∠ACB(H思路分析2：欲求AE＝EB，只需說明∠ABE=∠BAE，其中∠ABE對著AP，只需找出∠BAE所對的弧與AP是否相等即可。((延長AD交圓于H，利用圓的對稱性可得AB=BH，從而得到BH=AP,則問題得解。((((H解法2：延長AD交圓于H∵AB是直徑，CD⊥AB∴AB=HB∵點(diǎn)A是BP的中點(diǎn)，∴AB=AP∴BH=AP∴∠ABE=∠BAE((((((

方法歸納（1）有關(guān)圓的題目，圓周角與它所對的弧常相互轉(zhuǎn)化，即欲證圓周角相等，可轉(zhuǎn)化為證“圓周角所對的弧相等”的問題來解決；弧相等的條件可轉(zhuǎn)化為它們所對的圓周角相等的結(jié)論。這是一種重要的解題思路。（2）在已知條件下，若有與半徑或直徑垂直的線段，常延長此線段與圓相交，這樣可利用“垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧”的性質(zhì)得線段相等、弧相等。及時反饋2及時反饋1、如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，E為上一點(diǎn)，若∠CEA=25°，則∠ABD=

。2、如圖，BC為⊙O的直徑，AD⊥BC于D，E是AD上一點(diǎn)，且AE＝EB

，延長BE交圓于點(diǎn)P．求證：AB=AP（（25°典型例題類型三：切線的性質(zhì)和判定典型例題四:切線的性質(zhì)和判定例3、已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長線上，PD切⊙O于點(diǎn)C，BD⊥PD，垂足為D，連接BC.求證：(1)BC平分∠PBD；

(2)BC2=AB·BD分析（1）連接OC，有切線性質(zhì)得OC⊥PD，則有OC∥BD，證明∠OBC=∠OCB=∠CBD即可。（2）將等積式化成比例式，證明△ACB∽△CDB即可。BCABBDBC=連接AC，解（1）連接OC，∵PD切⊙O于點(diǎn)C∴OC⊥PD∵BD⊥PD∴OC∥BD∴∠OCB=∠CBD∵OC=OB∴∠OBC=∠OCB∴∠OBC=∠CBD即BC平分∠PBD（2）連接AC∵AB是⊙O的直徑∴∠CBD=90°∵CD⊥PD∴∠D=90°∵∠ABC=∠CBD∴△ACB∽△CDB∴BCABBDBC=∴BC2=AB·BD反思提升1、遇到有關(guān)圓的切線問題，往往連接過切點(diǎn)的半徑，這是常見的添加輔助線方法。2、由于“同圓中半徑相等”，因此在圓中作圓的半徑，構(gòu)造等腰三角形，把圓的問題轉(zhuǎn)化為三角形問題。3、證明等積式，往往化成比例式，尋找或構(gòu)造相似三角形變式：如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC平分∠DAB交⊙O于點(diǎn)C，AD⊥DC．(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若AD＝2，AC＝4，求AB的長．分析（1）連接OC，只需證OC⊥CD即可，通過證明∠OAC=∠OCA=∠CAD則有OC∥AD即可。解（1）連接OC，∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∵AC平分∠DAB∴∠DAC=∠BAC∴∠DAC=∠OCA∴OC∥AD∵AD⊥CD∴OC⊥DC∴CD是⊙O的切線（2）連接BC∵AB是⊙O的直徑∴∠ACB=90°∵AD⊥CD∴∠ADC=90°∵∠DAC=∠CAB∴△ACD∽△ABC∴ADACACAB=∴AC2=AB·AD∵AD＝2，AC＝4∴AB=8及時反饋及時反饋32、如圖，∠PAQ是直角，⊙O與AP相切于點(diǎn)T，與AQ交于B、C兩點(diǎn).BT是否平分∠OBA？說明你的理由；(2)若已知AT＝4，弦BC＝6，試求⊙O的半徑R.1、如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC的中點(diǎn)于D，DE⊥AC.求證：△BAD∽△CED；求證：DE是⊙O的切線.（1）∵AB是⊙O的直徑∴∠ADB=90°∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)∴AD是BC的垂直平分線∴AB=AC∴∠B=∠C∵DE⊥AC∴∠DEC=90°∴∠ADB=∠DEC∴△ADB∽△DEC1、解：（2）連接OD，∵OD=OB∴∠ODB=∠OBD∵DE⊥AC∴∠C+∠CDE=90°∵∠B=∠C∴∠ODB+∠CDE=90°∴OD⊥DE∴DE是⊙O的切線2、解：∴OE=AT=4在Rt△OEB中，OB2=OE2+BE2=25∴OB=5（1）BT平分∠OBA。連接OT?！摺袿與AP相切于點(diǎn)T∴∠OTA=90°∵∠PAQ=90°∴OT∥AQ∴∠OTB=∠ABT∵OT=OB∴∠OTB=∠OBT∴∠OBT=∠ABT

即BT平分∠OBAE（2）過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，∴BE=CE=BC=3∵OE⊥BC∠OTA=90°∠PAQ=90°∴四邊形OTAE為矩形例4、如圖，△ABC中，AB=AC，O是BC的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心的圓與AB相切于點(diǎn)D，求證：AC是⊙O的切線E分析：從結(jié)論出發(fā)：由于未明確AC與圓的公共點(diǎn)，所以要證AC是⊙O的切線，只要證點(diǎn)O到AC的距離等于半徑，即過點(diǎn)O作OE⊥AC，證OE=OD。

從條件出發(fā)：有切線，連半徑，連接OD，則有OD⊥AB。這由角平分線的性質(zhì)可得?？吹降妊切危?lián)想等腰三角形“三線合一”，則易得AO是∠BAC的角平分線證明：連接OD，過點(diǎn)O作OE⊥AC，垂足為E∵AB=AC，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)∴AO是∠BAC的角平分線∵AB切⊙O于點(diǎn)D∴OD⊥AB又∵OE⊥AC，垂足為E∴OE=OD（角平分線上的點(diǎn)到腳的兩邊距離相等）∴AC是⊙O的切線（到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線）反思提升1、如果直線和圓的公共點(diǎn)沒有確定，則應(yīng)過圓心作直線的垂線段，然后證明這條垂線段等于圓的半徑，簡單的可稱為“作垂直，證半徑”。2、分析問題時，可以從條件出發(fā)，看由條件能得出哪些更多的結(jié)論，再從結(jié)論出發(fā)，想想要說明此結(jié)論需有哪些條件，這樣易于把條件和結(jié)論聯(lián)系起來，找到解決問題的途徑。及時反饋如圖，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，E為AB上一點(diǎn)，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，則以AB為直徑的圓與邊CD相切嗎？為什么？┘┐ABCDEF分析：要判斷以AB為直徑的圓與邊CD相切，只需探索AB中點(diǎn)到線段CD的距離與AB的一半相等。而看到角平分線，要聯(lián)想其性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，過點(diǎn)E作EF⊥CD，易得AE=EF=BE，即可得⊙E與CD相切。

方法歸納1、有關(guān)切線的題目，添加輔助線的常用方法有：知切線，連過切點(diǎn)的半徑；2、證明是切線的有：

a.連半徑，證垂直；

b.作垂直，證半徑。典型例題五：圓錐和它的側(cè)面展開圖

典型例題例5、（1）若圓錐的底面半徑是2，母線長為6，則圓錐的側(cè)面展開圖的