廣東省惠州市2023屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次調(diào)研考試試題理

廣東省惠州市2023屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次調(diào)研考試試題理廣東省惠州市2023屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次調(diào)研考試試題理全卷總分值150分，時間120分鐘．考前須知：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、座位號、學(xué)校、班級等考生信息填寫在答題卡上。2．作答選擇題時，選出每個小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案信息點涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，寫在本試卷上無效。3．非選擇題必須用黑色字跡簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題指定的位置上，寫在本試卷上無效。一、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分。在每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求。1．全集，，那么()．A．B．C．D．2．設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，那么在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第()象限．A．一B．二C．三D．四3．，，，那么()．A． B．C． D．4．在直角坐標(biāo)系中，角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊落在直線上，那么=()．A．B．C．D．5．在平行四邊形ABCD中，，，，為的中點，那么=()．A．B．C．D．6．設(shè)，那么“〞是“直線與直線平行〞的()條件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要7．?dāng)?shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，稱為斐波那契數(shù)列，它是由十三世紀意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列〞。該數(shù)列從第3項開始，每項等于其前相鄰兩項之和，即．記該數(shù)列的前項和為，那么以下結(jié)論正確的選項是()．A． B．C． D．8．?易經(jīng)?是中國傳統(tǒng)文化中的精髓之一。右圖是易經(jīng)八卦圖〔含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦〕，每一卦由三根線組成〔“〞表示一根陽線，“〞表示一根陰線〕。從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有三根陽線和三根陰線的概率為()．A．B．C．D．xyOxyOxyxyOxyOxyOxyOABCD10．如圖，平面過正方體的頂點A，平面平面平面，那么m、n所成角的正弦值為()．A．B．C．D．11．F為拋物線的焦點，點A、B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，其中O為坐標(biāo)原點，那么與面積之和的最小值是()．A．2 B．3 C． D．12．函數(shù)滿足，且在上有最小值，無最大值。給出下述四個結(jié)論：

；假設(shè)，那么；的最小正周期為3；在上的零點個數(shù)最少為1346個．

其中所有正確結(jié)論的編號是()．A． B． C． D．二、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分，其中第15題第一空2分，第二空3分。13．執(zhí)行如下圖的程序框圖，那么輸出的n值是________．14．假設(shè)，那么的值是________．15．設(shè)數(shù)列的前n項和為，假設(shè)，，，那么______，______．16．雙曲線的離心率，左、右焦點分別為，其中也是拋物線的焦點，與在第一象限的公共點為．假設(shè)直線斜率為，那么雙曲線離心率的值是________．三、解答題：共70分，解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答?！惨弧潮乜碱}：共60分。17．〔本小題總分值12分〕在平面四邊形中，，，．CADB〔1〕假設(shè)的面積為，求；CADB〔2〕假設(shè)，，求．18．〔本小題總分值12分〕如圖，等腰梯形ABCD中，，，，E為CD中點，以AE為折痕把折起，使點D到達點P的位置平面．〔1〕證明：；〔2〕假設(shè)直線PB與平面ABCE所成的角為，求二面角的余弦值．19.〔本小題總分值12分〕為發(fā)揮體育核心素養(yǎng)的獨特育人價值，越來越多的中學(xué)將某些體育工程納入到學(xué)生的必修課程?；葜菔心持袑W(xué)方案在高一年級開設(shè)游泳課程，為了解學(xué)生對游泳的興趣，某數(shù)學(xué)研究學(xué)習(xí)小組隨機從該校高一年級學(xué)生中抽取了100人進行調(diào)查?！?〕在被抽取的學(xué)生中高一班學(xué)生有6名，其中3名對游泳感興趣，現(xiàn)在從這6名學(xué)生中隨機抽取3人，求至少有2人對游泳感興趣的概率；〔2〕該研究性學(xué)習(xí)小組在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，對游泳感興趣的學(xué)生中有局部曾在市級或市級以上游泳比賽中獲獎，具體獲獎人數(shù)如下表所示。假設(shè)從高一班和高一班獲獎學(xué)生中隨機各抽取2人進行跟蹤調(diào)查，記選中的4人中市級以上游泳比賽獲獎的人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望。班級一一一一一一一一一一市級比賽獲獎人數(shù)2233443342市級以上比賽獲獎人數(shù)221023321220．〔本小題總分值12分〕在平面直角坐標(biāo)系中，過點的直線與橢圓交于不同的兩點，，其中.〔1〕假設(shè)，求的面積；〔2〕在x軸上是否存在定點T，使得直線TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形。21．〔此題總分值12分〕實數(shù)，設(shè)函數(shù)．〔1〕求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔2〕當(dāng)時，假設(shè)對任意的，均有，求的取值范圍。注：為自然對數(shù)的底數(shù)?！捕尺x考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，那么按所做的第一題計分。答題時請寫清題號并將相應(yīng)信息點涂黑。22．〔本小題總分值10分〕[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，假設(shè)極坐標(biāo)系內(nèi)異于的三點，，都在曲線上．〔1〕求證：；〔2〕假設(shè)過，兩點的直線參數(shù)方程為〔為參數(shù)〕，求四邊形的面積．23．〔本小題總分值10分〕[選修4－5：不等式選講]函數(shù)．〔1〕求不等式的解集；〔2〕假設(shè)對任意恒成立，求的取值范圍．惠州市2023屆高三第三次調(diào)研考試理科數(shù)學(xué)參考答案及評分細那么選擇題題號123456789101112答案DBDACADDADBC1.【解析】，，應(yīng)選D.2.【解析】，所以對應(yīng)的點在第二象限，應(yīng)選B.3.【解析】，，，所以.應(yīng)選D.4.【解析】因為角θ終邊落在直線上，所以，，所以應(yīng)選A.5.【解析】如下圖，＝－＝eq\f(1,2)－eq\f(4,5)＝eq\f(1,2)－eq\f(4,5)(＋)＝－(＋)＝－－.應(yīng)選C.6.【解析】依題意，知－＝－，且－≠，解得a＝±.應(yīng)選A.7.【解析】，所以，應(yīng)選D.8.【解析】應(yīng)選D.9.【解析】是偶函數(shù)，排除C、D，又應(yīng)選A.10.【解析】如圖：面，面，面，可知，，因為△是正三角形，所成角為60°．那么m、n所成角的正弦值為．應(yīng)選D．11.【解析】設(shè)直線AB的方程為：，點,，直線AB與x軸的交點為，由，根據(jù)韋達定理有,

，，結(jié)合及，得，點A、B位于x軸的兩側(cè)，，故．不妨令點A在x軸上方，那么,又,

．當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取“〞號，與面積之和的最小值是3．應(yīng)選B．12.【解析】區(qū)間中點為，根據(jù)正弦曲線的對稱性知,正確。假設(shè)，那么，即，不妨取，此時，滿足條件，但為上的最大值，不滿足條件，故錯誤。不妨令，，兩式相減得,

即函數(shù)的周期，故正確。區(qū)間的長度恰好為673個周期，當(dāng)時，即時，在開區(qū)間上零點個數(shù)至少為，故錯誤。故正確的選項是，應(yīng)選C．二、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分，其中第15題第一空2分，第二空3分。13、614、315、1〔2分〕；121〔3分〕16、13.【解析】①②③故答案為6.14.【解析】令，得，令，那么．所以15.【解析】由時，，可得，又，即，即有，解得；由，可得，由，可得，，．16.【解析】因為是雙曲線的右焦點且是拋物線的焦點，所以，解得，所以拋物線的方程為：；由，，如圖過作拋物線準線的垂線，垂足為，設(shè)，，那么，∴．由，可得在△中，，，，由余弦定理得即，化簡得，又，．故答案為．三、解答題：共70分，解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。17．〔本小題總分值12分〕【解析】〔1〕在中，因為，，，……1分所以，解得．………2分在中，由余弦定理得，……4分因為，所以．…………………5分〔2〕設(shè)，那么．………………6分在中，因為，所以．……………7分在中，，………8分由正弦定理得，即，……9分所以，所以，…………10分即，…………11分所以，即．……12分18.〔本小題總分值12分〕【解析】〔1〕證明：連接BD，設(shè)AE的中點為O，，，四邊形ABCE為平行四邊形，………………1分，為等邊三角形，……2分又，平面POB，平面POB…3分【注】無寫出此步驟不得分。平面POB……………4分又平面POB，．…………5分〔2〕【解法一】向量法在平面POB內(nèi)作平面ABCE，垂足為Q，那么Q在直線OB上，直線PB與平面ABCE夾角為，又，，、Q兩點重合，即平面ABCE,……………6分【注】無證明此得分點不給分。以O(shè)為原點，OE為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，那么0,，0,，，0,，………………7分設(shè)平面PCE的一個法向量為y,，那么，即,……………8分令，得………………9分又平面PAE，1,為平面PAE的一個法向量……10分設(shè)二面角為，那么……11分易知二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為．…………12分F【解法二】幾何法F在平面POB內(nèi)作平面ABCE，垂足為Q，那么Q在直線OB上，直線PB與平面ABCE夾角為，又，，、Q兩點重合，即平面ABCE，……………6分【注】無證明此得分點不給分。過點C作CH⊥AE交于點H，連結(jié)PH，那么二面角A-PE-C與二面角H-PE-C互為補角。又因為CH⊥PO，所以CH⊥面PAE，過H作HF⊥PE交于點F，連結(jié)CF，由三垂線定理知CF⊥PE所以∠CFH為二面角H-PE-C的平面角?！?分在Rt△CHE中，∠CEH=60°，CE=1，所以HE=，CE=，……8分在Rt△HFE中，∠FEH=60°，HE=，所以HF=……9分在Rt△CHF中，由勾股定理知CF=…………………10分故cos∠CFH==……………………11分所以二面角的余弦值為．………………12分19.〔本小題總分值12分〕【解析】〔1〕【解法一】記事件從6名學(xué)生抽取的3人中恰好有i人有興趣，，1，2，；那么與互斥………………………1分故所求概率為……………2分………………3分；…………………4分【解法二】記事件從6名學(xué)生抽取的3人中恰好有i人有興趣，，1，2，；那么與互斥………………………1分故所求概率為………2分………………3分；…………………4分〔2〕由題意知，隨機變量的所有可能取值有0，1，2，3；………………5分…………6分………………7分………………8分…………9分那么的分布列為：0123p………10分【注】無列表此得分點不得分。數(shù)學(xué)期望為．………12分20.〔本小題總分值12分〕【解析】〔1〕當(dāng)時，代入橢圓方程可得或……1分假設(shè)，此時直線l：…………………2分聯(lián)立，消x整理可得……………3分解得或，故B……………………4分所以的面積為.…………………5分，由對稱性知的面積也是，綜上可知，當(dāng)時，的面積為.……6分〔2〕【解法一】顯然直線l的斜率不為0，設(shè)直線l：……………7分聯(lián)立，消去x整理得由，得…………8分那么，,…………9分因為直線TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形，所以………………10分設(shè)，那么,

即,解得.…………………………11分故x軸上存在定點，使得直線TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形．……12分【解法二】顯然直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l：………7分聯(lián)立，消去整理得由，得,………8分那么，,…………9分因為直線TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形，所以……………10分設(shè)，那么即，解得.…………………………11分故x軸上存在定點，使得直線TA、TB與y軸圍成的三角形始終為等腰三角形．………12分21．〔此題總分值12分〕【解析】〔1〕【解法一】由，解得．………………1分假設(shè)，那么當(dāng)時，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，，故的單調(diào)遞減區(qū)間為．………2分假設(shè)，那么當(dāng)時，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，，故的單調(diào)遞減區(qū)間為．………3分綜上所述，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．……………4分【解法二】令其中.令得當(dāng)當(dāng)………………1分又當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在R上單調(diào)遞減?！?分由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．…………3分綜上所述，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．……………4分?！?〕，即〔﹡〕．令，得，那么．……………………5分當(dāng)時，不等式〔﹡〕顯然成立，當(dāng)時，兩邊取對數(shù)，即恒成立．…6分令函數(shù)，即在內(nèi)恒成立．……………7分由，得．故當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.………8分因此．………9分令函數(shù)，其中，那么，得，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．……10分又，，故當(dāng)時，恒成立，因此恒成立，…11分綜上知：當(dāng)時，對任意的，均有成立……12分22.〔本小題總分值10分〕【解析】〔1〕【解法1】由，，，…3分那么………………4分所以……………5分【解法2】的直角坐標(biāo)方程為，如下圖，……………1分假設(shè)直線OA、OB、OC的