用圓的參數(shù)方程

（1）在取定的坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x、y都是某個變數(shù)t的函數(shù)，即并且對于t的每一個允許值，由上述方程組所確定的點M（x,y）都在這條曲線上，那么上述方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x、y之間關系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。參數(shù)方程的參數(shù)可以是有物理、幾何意義的變數(shù)，也可以是沒有明顯意義的變數(shù)。（2）相對于參數(shù)方程來說，前面學過的直接給出曲線上點的坐標關系的方程，叫做曲線的普通方程。第1頁/共33頁第一頁，共34頁。（4）證明這個參數(shù)方程就是所由于的曲線的方程.參數(shù)方程求法:

（1）建立直角坐標系,設曲線上任一點P坐標為;（2）選取適當?shù)膮?shù);

（3）根據(jù)已知條件和圖形的幾何性質(zhì),物理意義,建立點P坐標與參數(shù)的函數(shù)式;第2頁/共33頁第二頁，共34頁。２、圓的參數(shù)方程第3頁/共33頁第三頁，共34頁。sinθ=cosθ=tanθ=cotθ=y／rx／ry／xx／y1三角函數(shù)定義A(x,y)yxoθrsecθ=r／xcscθ=r／y一復習回顧第4頁/共33頁第四頁，共34頁。①并且對于的每一個允許值,由方程組①所確定的點P(x,y),都在圓O上.

5o思考1：圓心為原點，半徑為r的圓的參數(shù)方程是什么呢？

我們把方程組①叫做圓心在原點、半徑為r的圓的參數(shù)方程，是參數(shù).第5頁/共33頁第五頁，共34頁。觀察2(a,b)r又所以第6頁/共33頁第六頁，共34頁。圓心為原點半徑為r的圓的參數(shù)方程.

其中參數(shù)θ的幾何意義是OM0繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到OM的位置時，OM0轉(zhuǎn)過的角度

圓心為，半徑為r的圓的參數(shù)方程一般地，同一條曲線，可以選取不同的變數(shù)為參數(shù)，另外，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。第7頁/共33頁第七頁，共34頁。例1、已知圓方程x2+y2+2x-6y+9=0，將它化為參數(shù)方程。解：x2+y2+2x-6y+9=0化為標準方程，（x+1）2+（y-3）2=1，∴參數(shù)方程為(θ為參數(shù))第8頁/共33頁第八頁，共34頁。練習：

1.填空：已知圓O的參數(shù)方程是(0≤＜2)⑴如果圓上點P所對應的參數(shù)，則點P的坐標是

第9頁/共33頁第九頁，共34頁。A的圓，化為標準方程為（2，-2）1第10頁/共33頁第十頁，共34頁。xMPAyO解:設M的坐標為(x,y),∴可設點P坐標為(4cosθ,4sinθ)∴點M的軌跡是以(6,0)為圓心、2為半徑的圓。由中點公式得:點M的軌跡方程為x=6+2cosθy=2sinθx=4cosθy=4sinθ

圓x2+y2=16的參數(shù)方程為2例2.

如圖,已知點P是圓x2+y2=16上的一個動點,

點A是x軸上的定點,坐標為(12,0).當點P在圓上運動時,線段PA中點M的軌跡是什么?例題：第11頁/共33頁第十一頁，共34頁。1解:設M的坐標為(x,y),∴點M的軌跡是以(6,0)為圓心、2為半徑的圓。由中點坐標公式得:

點P的坐標為(2x-12,2y)∴(2x-12)2+(2y)2=16即M的軌跡方程為(x-6)2+y2=4∵點P在圓x2+y2=16上xMPAyO例2.

如圖,已知點P是圓x2+y2=16上的一個動點,

點A是x軸上的定點,坐標為(12,0).當點P在圓上運動時,線段PA中點M的軌跡是什么?例題：第12頁/共33頁第十二頁，共34頁。例3、已知點P（x，y）是圓x2+y2-6x-4y+12=0上動點，求（1）x2+y2

的最值，（2）x+y的最值，（3）P到直線x+y-1=0的距離d的最值。解：圓x2+y2-6x-4y+12=0即（x-3）2+（y-2）2=1，用參數(shù)方程表示為由于點P在圓上，所以可設P（3+cosθ，2+sinθ），（1）x2+y2=(3+cosθ)2+(2+sinθ)2=14+4sinθ+6cosθ=14+2sin(θ+ψ).(其中tanψ=3/2)第13頁/共33頁第十三頁，共34頁?！鄕2+y2

的最大值為14+2，最小值為14-2。(2)x+y=3+cosθ+2+sinθ=5+sin（θ+）∴x+y的最大值為5+，最小值為5-。(3)顯然當sin（θ+）=1時，d取最大值，最小值，分別為，。第14頁/共33頁第十四頁，共34頁。參數(shù)方程和普通方程的互化第15頁/共33頁第十五頁，共34頁。把它化為我們熟悉的普通方程，有cosθ=x-3,sinθ=y;于是(x-3)2+y2=1，軌跡是什么就很清楚了在例1中，由參數(shù)方程直接判斷點M的軌跡是什么并不方便，

一般地,可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程；曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式.

在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致，否則，互化就是不等價的.把參數(shù)方程化為普通方程：第16頁/共33頁第十六頁，共34頁。

例1、把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線？解:(1)由得代入得到這是以（1，1）為端點的一條射線；所以把得到第17頁/共33頁第十七頁，共34頁。(1)(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2(1)(x-2)2+y2=9(2)y=1-2x2（-1≤x≤1）(3)x2-y=2（x≥2或x≤-2）練習、將下列參數(shù)方程化為普通方程：步驟：（1）消參；（2）求定義域。第18頁/共33頁第十八頁，共34頁。B例2求參數(shù)方程表示（）（A）雙曲線的一支,這支過點（1,1/2）;（B）拋物線的一部分,這部分過（1,1/2）;（C）雙曲線的一支,這支過點（–1,1/2);（D）拋物線的一部分,這部分過（–1,1/2).第19頁/共33頁第十九頁，共34頁。例3求橢圓的參數(shù)方程：(1)設為參數(shù)；(2)設為參數(shù).為什么兩個參數(shù)方程合起來才是橢圓的參數(shù)方程？第20頁/共33頁第二十頁，共34頁。在y=x2中，x∈R,y≥0，因而與y=x2不等價；練習:曲線y=x2的一種參數(shù)方程是（）.在A、B、C中，x,y的范圍都發(fā)生了變化，而在D中，x,y范圍與y=x2中x,y的范圍相同，代入y=x2后滿足該方程，從而D是曲線y=x2的一種參數(shù)方程.

在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致。否則，互化就是不等價的.解：第21頁/共33頁第二十一頁，共34頁。

練習P是雙曲線(t是參數(shù))上任一點，F(xiàn)1,F2是該焦點：求△F1F2的重心G的軌跡的普通方程。第22頁/共33頁第二十二頁，共34頁。

參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消參過程常見方法有三種：1.代入法：利用解方程的技巧求出參數(shù)t,然后代入消去參數(shù)2.三角法：利用三角恒等式消去參數(shù)3.整體消元法：根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征,整體上消去

化參數(shù)方程為普通方程為F(x,y)=0：在消參過程中注意變量x、y取值范圍的一致性，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范圍。小結(jié)第23頁/共33頁第二十三頁，共34頁。小結(jié):1、圓的參數(shù)方程2、參數(shù)方程與普通方程的概念3、圓的參數(shù)方程與普通方程的互化4、求軌跡方程的三種方法：⑴相關點點問題（代入法）；⑵參數(shù)法；⑶定義法5、求最值第24頁/共33頁第二十四頁，共34頁。解：x2+y2+2x-6y+9=0化為標準方程,(x+1)2+(y-3)2=1∴參數(shù)方程為(θ為參數(shù))例1已知圓方程x2+y2+2x-6y+9=0,將它化為參數(shù)方程。練習：第25頁/共33頁第二十五頁，共34頁。

例2如圖,圓O的半徑為2，P是圓上的動點，Q(6,0)是x軸上的定點，M是PQ的中點，當點P繞O作勻速圓周運動時，求點M的軌跡的參數(shù)方程。yoxPMQ解：設點M的坐標是(x,y),則點P的坐標是(2cosθ,2sinθ).由中點坐標公式可得因此，點M的軌跡的參數(shù)方程是第26頁/共33頁第二十六頁，共34頁。例3已知x、y滿足,求的最大值和最小值．解：由已知圓的參數(shù)方程為第27頁/共33頁第二十七頁，共34頁。2點P(x,y)是曲線為參數(shù))上任意一點，則的最大值為()A1B2CD練習1P(x,y)是曲線(α為參數(shù))上任意一點,則的最大值為()AA．36B．6C．26D．25D3圓的圓心的軌跡是()A．圓B．直線C．橢圓D．雙曲線A第28頁/共33頁第二十八頁，共34頁。(為參數(shù))上任意一點,則4點P(x,y)是曲線的最大值為

..5已知點P是圓上一個動點,定點A(12,0)，點M在線段PA上，且2|PM|=|MA|，當點P在圓上運動時，求點M的軌跡．解：設點M的坐標是(x,y),則點P的坐標是(4cosθ,4sinθ).∵2|PM|=|MA|,∴由題設∴(x-12,y)=

因此，點M的軌跡的參數(shù)方程是第29頁/共33頁第二十九頁，共34頁。

例4(1)點P(m,n)在圓x2+y2=1上運動,求點Q(m+n,2mn)的軌跡方程;(2)方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0.若該方程表示一個圓,求m的取值范圍和圓心的軌跡方程.

已知P(x,y)圓C：x2+y2－6x－