版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí)7.1計(jì)數(shù)原理、二項(xiàng)式定理學(xué)案理PAGE22-第1講計(jì)數(shù)原理、二項(xiàng)式定理eq\a\vs4\al\co1()考點(diǎn)1排列組合與計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用1.分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理如果每種方法都能將規(guī)定的事件完成,那么要用分類加法計(jì)數(shù)原理將方法種數(shù)相加;如果需要通過假設(shè)干步才能將規(guī)定的事件完成,那么要用分步乘法計(jì)數(shù)原理將各步的方法種數(shù)相乘.2.名稱排列組合相同點(diǎn)都是從n個(gè)不同元素中取m(m≤n)個(gè)元素,元素?zé)o重復(fù)不同點(diǎn)①排列與順序有關(guān);②兩個(gè)排列相同,當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)排列的元素及其排列順序完全相同①組合與順序無關(guān);②兩個(gè)組合相同,當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)組合的元素完全相同[例1](1)[2022·陜西西安模擬]把15人分成前、中、后三排,每排5人,那么不同的排法種數(shù)共有()A.eq\f(A\o\al(15,15),A\o\al(3,3))B.Aeq\o\al(5,15)Aeq\o\al(5,10)Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(3,3)C.Aeq\o\al(15,15)D.Aeq\o\al(5,15)Aeq\o\al(5,10)(2)[2022·安徽合肥質(zhì)檢]某社區(qū)新建了一個(gè)休閑小公園,幾條小徑將公園分成5個(gè)區(qū)域,如圖.社區(qū)準(zhǔn)備從4種顏色不同的花卉中選擇假設(shè)干種種植在各個(gè)區(qū)域中,要求每個(gè)區(qū)域種植一種顏色的花卉,且相鄰區(qū)域(有公共邊的)所種花卉顏色不能相同,那么不同種植方法的種數(shù)共有()A.96B.114C.168D.240【解析】(1)把位置從1到15標(biāo)上號(hào),問題就轉(zhuǎn)化為15人站在15個(gè)位置上,共有Aeq\o\al(15,15)種情況.(2)先在a中種植,有4種不同的種植方法,再在b中種植,有3種不同的種植方法,再在c中種植,假設(shè)c與b同色,那么d中有3種不同的種植方法,假設(shè)c與b不同色,那么c中有2種不同的種植方法,d中有2種不同的種植方法,再在e中種植,有2種不同的種植方法,所以共有4×3×1×3×2+4×3×2×2×2=168(種).應(yīng)選C.【答案】(1)C(2)C解排列、組合的應(yīng)用題,通常有以下途徑:(1)以元素為主體,即先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素.(2)以位置為主體,即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置.(3)先不考慮附加條件,計(jì)算出排列或組合數(shù),再減去不符合要求的排列或組合數(shù).『對(duì)接訓(xùn)練』1.[2022·河南十所名校尖子生聯(lián)考]5位同學(xué)站成一排照相,其中甲與乙必須相鄰且甲不站在兩端的排法種數(shù)是()A.40B.36C.32D.24解析:由題可得,甲與乙相鄰的排法種數(shù)為Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)=48,甲站在兩端且與乙相鄰的排法種數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)=12,所以甲與乙相鄰且甲不站在兩端的排法種數(shù)是48-12=36.應(yīng)選B.答案:B2.[2022·廣東六校聯(lián)考]從兩個(gè)不同的紅球、兩個(gè)不同的黃球、兩個(gè)不同的藍(lán)球共六個(gè)球中任取兩個(gè),放入紅、黃、藍(lán)三個(gè)袋子中,每個(gè)袋子至多放入一個(gè)球,且球色與袋色不同,那么不同的放法共有()A.42種B.36種C.72種D.46種解析:分以下幾種情況:①取出的兩球同色時(shí),有3種可能,取出的球只能放在與球的顏色不同的兩個(gè)袋子中,有Aeq\o\al(2,2)種不同的放法,故不同的放法共有3Aeq\o\al(2,2)=6(種);②取出的兩球不同色時(shí),有一紅一黃、一紅一藍(lán)、一黃一藍(lán)3種可能,由于球不同,所以取球的方法數(shù)為3Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)=12(種),取球后將兩球放入袋子中的方法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)-3=3(種),所以不同的放法有12×3=36(種).綜上可得不同的放法共有42種,應(yīng)選A.答案:Aeq\a\vs4\al\co1()考點(diǎn)2二項(xiàng)式定理1.通項(xiàng)與二項(xiàng)式系數(shù)Tr+1=Ceq\o\al(r,n)an-rbr,其中Ceq\o\al(r,n)(r=0,1,2,…,n)叫做二項(xiàng)式系數(shù).2.各二項(xiàng)式系數(shù)之和(1)Ceq\o\al(0,n)+Ceq\o\al(1,n)+Ceq\o\al(2,n)+…+Ceq\o\al(n,n)=2n.(2)Ceq\o\al(1,n)+Ceq\o\al(3,n)+…=Ceq\o\al(0,n)+Ceq\o\al(2,n)+…=2n-1.[例2](1)[2022·全國卷Ⅲ](1+2x2)(1+x)4的展開式中x3的系數(shù)為()A.12B.16C.20D.24(2)[2022·浙江卷]在二項(xiàng)式(eq\r(2)+x)9的展開式中,常數(shù)項(xiàng)是________,系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是________.解析:(1)展開式中含x3的項(xiàng)可以由“1與x3”和“2x2與x〞的乘積組成,那么x3的系數(shù)為Ceq\o\al(3,4)+2Ceq\o\al(1,4)=4+8=12.(2)該二項(xiàng)展開式的第k+1項(xiàng)為Tk+1=Ceq\o\al(k,9)(eq\r(2))9-kxk,當(dāng)k=0時(shí),第1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),所以常數(shù)項(xiàng)為(eq\r(2))9=16eq\r(2);當(dāng)k=1,3,5,7,9時(shí),展開式的項(xiàng)的系數(shù)為有理數(shù),所以系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為5.答案:(1)A(2)16eq\r(2)5(1)利用二項(xiàng)式定理求解的兩種常用思路①二項(xiàng)式定理中最關(guān)鍵的是通項(xiàng)公式,求展開式中特定的項(xiàng)或者特定項(xiàng)的系數(shù)均是利用通項(xiàng)公式和方程解決的.②二項(xiàng)展開式的系數(shù)之和通常是通過對(duì)二項(xiàng)式及其展開式中的變量賦值得出的,注意根據(jù)展開式的形式給變量賦值.(2)[警示]在應(yīng)用通項(xiàng)公式時(shí),要注意以下幾點(diǎn):①它表示二項(xiàng)展開式的任意項(xiàng),只要n與r確定,該項(xiàng)就隨之確定;②Tr+1是展開式中的第r+1項(xiàng),而不是第r項(xiàng);③公式中,a,b的指數(shù)和為n,且a,b不能隨便顛倒位置;④對(duì)二項(xiàng)式(a-b)n展開式的通項(xiàng)公式要特別注意符號(hào)問題.『對(duì)接訓(xùn)練』3.[2022·天津卷]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(1,8x3)))8的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______.解析:此題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tr+1=Ceq\o\al(r,8)(2x)8-req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,8x3)))r=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,8)))r·28-r·Ceq\o\al(r,8)x8-4r,令8-4r=0可得r=2,故常數(shù)項(xiàng)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,8)))2×26×Ceq\o\al(2,8)=28.答案:284.[2022·浙江金華十校聯(lián)考](x+1)4+(x-2)8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a8(x-1)8,那么a3=()A.64B.48C.-48D.-64解析:由(x+1)4+(x-2)8=[(x-1)+2]4+[(x-1)-1]8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a8(x-1)8,得a3·(x-1)3=Ceq\o\al(1,4)·(x-1)3·2+Ceq\o\al(5,8)·(x-1)3·(-1)5,∴a3=8-Ceq\o\al(5,8)=-48.應(yīng)選C.答案:C課時(shí)作業(yè)17計(jì)數(shù)原理、二項(xiàng)式定理1.[2022·湘贛十四校聯(lián)考]有一數(shù)學(xué)問題可用綜合法和分析法兩種方法證明,有5名同學(xué)只會(huì)用綜合法證明,有3名同學(xué)只會(huì)用分析法證明,現(xiàn)從這些同學(xué)中任選1名同學(xué)證明這個(gè)問題,不同的選法種數(shù)為()A.8B.15C.18D.30解析:由題意知此題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題:證明方法分成兩類,一是用綜合法證明,有5種選法,二是用分析法證明,有3種選法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知共有3+5=8種選法,應(yīng)選A.答案:A2.[2022·云南昆明一中檢測(cè)]從一顆骰子的六個(gè)面中任意選取三個(gè)面,其中只有兩個(gè)面相鄰的不同的選法共有()A.20種B.16種C.12種D.8種解析:從一顆骰子的六個(gè)面中任意選取三個(gè)面共有Ceq\o\al(3,6)=20種選法,其中有三個(gè)面彼此相鄰的有8種,所以只有兩個(gè)面相鄰的不同的選法共有20-8=12(種).答案:C3.[2022·河北唐山期末]在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(x),2)-\f(2,\r(x))))6的展開式中,x2的系數(shù)為()A.eq\f(15,4)B.-eq\f(15,4)C.eq\f(3,8)D.-eq\f(3,8)解析:eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(x),2)-\f(2,\r(x))))6的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=Ceq\o\al(r,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(x),2)))6-req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(2,\r(x))))r=(-1)rCeq\o\al(r,6)22r-6x3-r,令r=1,可得x2的系數(shù)為(-1)1×Ceq\o\al(1,6)×22×1-6=-eq\f(3,8).應(yīng)選D.答案:D4.[2022·海南三亞華僑學(xué)校期末]六位選手依次演講,其中選手甲不是第一個(gè)也不是最后一個(gè)演講,那么不同的演講次序共有()A.480種B.360種C.240種D.120種解析:解法一因?yàn)榱贿x手依次演講,其中選手甲不是第一個(gè)也不是最后一個(gè)演講,所以甲有Ceq\o\al(1,4)種情況,剩余的選手有Aeq\o\al(5,5)種情況,所以不同的演講次序共有Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(5,5)=480(種),應(yīng)選A.解法二六位選手全排列有Aeq\o\al(6,6)種演講次序,其中選手甲第一個(gè)或最后一個(gè)演講有2Aeq\o\al(5,5)種情況,故不同的演講次序共有Aeq\o\al(6,6)-2Aeq\o\al(5,5)=480(種).應(yīng)選A.答案:A5.[2022·河北保定期末](1-2x)5(2+x)的展開式中,x3的系數(shù)是()A.-160B.-120C.40D.200解析:(1-2x)5(2+x)的展開式中x3的系數(shù)是(1-2x)5的展開式中x3的系數(shù)的2倍與(1-2x)5的展開式中x2的系數(shù)的和,易知(1-2x)5的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=(-2)rCeq\o\al(r,5)xr,令r=3,得x3的系數(shù)為-8Ceq\o\al(3,5)=-80,令r=2,得x2的系數(shù)為4Ceq\o\al(2,5)=40,所以(1-2x)5(2+x)的展開式中x3的系數(shù)是-80×2+40=-120.應(yīng)選B.答案:B6.[2022·浙江七彩聯(lián)盟聯(lián)考]假設(shè)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2-\f(1,\r(x))))n的展開式中,所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,那么該展開式的常數(shù)項(xiàng)為()A.10B.-10C.5D.-5解析:由二項(xiàng)式系數(shù)之和為32,知2n=32,可得n=5,Tr+1=Ceq\o\al(r,5)(2x2)5-req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,\r(x))))r=(-1)r·25-rCeq\o\al(r,5)x.令10-eq\f(5,2)r=0,可得r=4,所以常數(shù)項(xiàng)為(-1)4×21×Ceq\o\al(4,5)=10,應(yīng)選A.答案:A7.[2022·廣東廣州調(diào)研]某電臺(tái)做?一校一特色?訪談節(jié)目,分A,B,C三期播出,A期播出兩所學(xué)校,B期、C期各播出1所學(xué)校.現(xiàn)從8所候選學(xué)校中選出4所參與這三期節(jié)目的錄制,不同的選法共有()A.140種B.420種C.840種D.1680種解析:由題易知,不同的選法共有Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,5)=840(種).應(yīng)選C.答案:C8.[2022·河北定州模擬]將“福〞“祿〞“壽〞三個(gè)字填入如下圖的4×4小方格中,每個(gè)小方格內(nèi)只能填入一個(gè)字,且任意兩個(gè)字既不同行也不同列,那么不同的填寫方法有()A.288種B.144種C.576種D.96種解析:依題意可分為以下3步:(1)先從16個(gè)格子中任選一格放入第一個(gè)字,有16種方法;(2)因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)字既不同行也不同列,所以第二個(gè)字有9個(gè)格子可以放,有9種方法;(3)第三個(gè)字有4個(gè)格子可以放,有4種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的填寫方法有16×9×4=576(種).應(yīng)選C.答案:C9.[2022·海南三亞華僑學(xué)校期末]在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)+\f(1,\r(3,x))))24的展開式中,x的指數(shù)是整數(shù)的項(xiàng)數(shù)是()A.2B.3C.4D.5解析:∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)+\f(1,\r(3,x))))24的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=Ceq\o\al(r,24)(eq\r(x))24-req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))r=Ceq\o\al(r,24)x,∴當(dāng)r=0,6,12,18,24時(shí),x的指數(shù)是整數(shù),故x的指數(shù)是整數(shù)的有5項(xiàng),應(yīng)選D.答案:D10.[2022·第一次全國大聯(lián)考]假設(shè)二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(1,\r(x))))n的展開式中第m項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),那么m,n應(yīng)滿足()A.2n=3(m-1)B.2n=3mC.2n=(3m+1)D.2n=m解析:由題意得,eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(1,\r(x))))n的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=(-1)rCeq\o\al(r,n)x,當(dāng)n=eq\f(3,2)r,即2n=3r時(shí),為常數(shù)項(xiàng),此時(shí)r=m-1,所以m,n應(yīng)滿足2n=3(m-1),應(yīng)選A.答案:A11.[2022·甘肅蘭州實(shí)戰(zhàn)模擬]某國際會(huì)議結(jié)束后,中、美、俄等21國領(lǐng)導(dǎo)人合影留念,他們站成兩排,前排11人,后排10人,中國領(lǐng)導(dǎo)人站在前排正中間位置,美、俄兩國領(lǐng)導(dǎo)人也站在前排并與中國領(lǐng)導(dǎo)人相鄰,如果對(duì)其他國家領(lǐng)導(dǎo)人所站位置不做要求,那么不同的站法共有()A.Aeq\o\al(18,18)種B.Aeq\o\al(20,20)種C.Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,18)Aeq\o\al(10,10)種D.Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(18,18)種解析:中國領(lǐng)導(dǎo)人站在前排正中間位置,美、俄兩國領(lǐng)導(dǎo)人站在前排并與中國領(lǐng)導(dǎo)人相鄰,有Aeq\o\al(2,2)種站法;其他18國領(lǐng)導(dǎo)人可以任意站,因此有Aeq\o\al(18,18)種站法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(18,18)種不同的站法,應(yīng)選D.答案:D12.[2022·遼寧營口模擬](1+x)2n(n∈N*)的展開式中,系數(shù)最大的項(xiàng)是()A.第eq\f(n,2)+1項(xiàng)B.第n項(xiàng)C.第n+1項(xiàng)D.第n項(xiàng)與第n+1項(xiàng)解析:在(1+x)2n(n∈N*)的展開式中,第r+1項(xiàng)的系數(shù)與第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同,再根據(jù)中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,展開式共有2n+1項(xiàng),可得第n+1項(xiàng)的系數(shù)最大,應(yīng)選C.答案:C13.[2022·陜西西安質(zhì)檢]如果把個(gè)位數(shù)是1,且恰有3個(gè)數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)〞,那么在由1,2,3,4四個(gè)數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中,“好數(shù)〞共有________個(gè).解析:當(dāng)相同的數(shù)字不是1時(shí),有Ceq\o\al(1,3)個(gè)“好數(shù)〞;當(dāng)相同的數(shù)字是1時(shí),有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)個(gè)“好數(shù)〞,由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有Ceq\o\al(1,3)+Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)=12個(gè)“好數(shù)〞.答案:1214.[2022·江西南昌重點(diǎn)中學(xué)段考](x-y+2)6的展開式中y4的系數(shù)為________.解析:解法一因?yàn)?x-y+2)6=[(x+2)-y]6,所以展開式中含y4的項(xiàng)為Ceq\o\al(4,6)(x+2)2y4=15x2y4+60xy4+60y4,所以展開式中y4的系數(shù)為60.解法二由于(x-y+2)6的展開式中y4項(xiàng)不含x,所以(x-y+2)6的展開式中y4項(xiàng)就是(2-y)6的展開式中的y4項(xiàng),所以Ceq\o\al(4,6)×22(-y)4=60y4,所以(x-y+2)6的展開式中y4的系數(shù)為60.答案:6015.[2022·安徽示范高中高三測(cè)試]現(xiàn)有16張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張.從中任取3張,要求這3張卡片不能是同一種顏色,且紅色卡片至多1張,不同取法的種數(shù)為________.解析:解法一從16張不同的卡片中任取3張,不同取法的種數(shù)為Ceq\o\al(3,16),其中有2張紅色卡片的不同取法的種數(shù)為Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(1,12),3張卡片顏色相同的不同取法的種數(shù)為Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(3,4),所以3張卡片不能是同一種顏色,且紅色卡片至多1張的不同取法的種數(shù)為Ceq\o\al(3,16)-Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(1,12)-Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(3,4)=472.解法二假設(shè)取出的3張卡片中沒有紅色卡片,那么需從黃
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 專項(xiàng)定制旅游接待協(xié)議樣式(2024年版)版B版
- 專業(yè)游泳館運(yùn)營勞務(wù)輸出協(xié)議2024
- 2025年度廠房抵押貸款風(fēng)險(xiǎn)控制合同范本4篇
- 專業(yè)地面打蠟工程協(xié)議范本一
- 2025年度智能辦公空間租賃合作協(xié)議范本4篇
- 二零二五年度影視基地場(chǎng)地租賃及影視制作合同范本3篇
- 專業(yè)汽油運(yùn)輸業(yè)務(wù)協(xié)議(2024年版)版B版
- 個(gè)人土地使用與承包2024版協(xié)議樣本版
- 2025年度高端商業(yè)區(qū)場(chǎng)地租賃及安全管理服務(wù)合同3篇
- 專業(yè)軟件外部開發(fā)合同樣本2024
- 2025年河北供水有限責(zé)任公司招聘筆試參考題庫含答案解析
- Unit3 Sports and fitness Discovering Useful Structures 說課稿-2024-2025學(xué)年高中英語人教版(2019)必修第一冊(cè)
- 農(nóng)發(fā)行案防知識(shí)培訓(xùn)課件
- 社區(qū)醫(yī)療抗菌藥物分級(jí)管理方案
- NB/T 11536-2024煤礦帶壓開采底板井下注漿加固改造技術(shù)規(guī)范
- 2024年九年級(jí)上德育工作總結(jié)
- 中文版gcs electrospeed ii manual apri rev8v00印刷稿修改版
- 新生兒預(yù)防接種護(hù)理質(zhì)量考核標(biāo)準(zhǔn)
- 除氧器出水溶解氧不合格的原因有哪些
- 沖擊式機(jī)組水輪機(jī)安裝概述與流程
- 畢業(yè)論文-水利水電工程質(zhì)量管理
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論