（廣西課標(biāo)版）2023版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題能力訓(xùn)練14空間中的平行與垂直文

〔廣西課標(biāo)版〕2022版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題能力訓(xùn)練14空間中的平行與垂直文PAGEPAGE28專題能力訓(xùn)練14空間中的平行與垂直一、能力突破訓(xùn)練1.如圖,在以下四個(gè)正方體中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,Q為所在棱的中點(diǎn),那么在這四個(gè)正方體中,直線AB與平面MNQ不平行的是()2.如圖,在正方形ABCD中,E,F分別是BC,CD的中點(diǎn),沿AE,AF,EF把正方形折成一個(gè)四面體,使B,C,D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為P,點(diǎn)P在△AEF內(nèi)的射影為O.那么以下說法正確的選項(xiàng)是()A.O是△AEF的垂心 B.O是△AEF的內(nèi)心C.O是△AEF的外心 D.O是△AEF的重心3.m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,給出以下命題:①假設(shè)α⊥β,m∥α,那么m⊥β;②假設(shè)m⊥α,n⊥β,且m⊥n,那么α⊥β;③假設(shè)m⊥β,m∥α,那么α⊥β;④假設(shè)m∥α,n∥β,且m∥n,那么α∥β.其中正確命題的序號(hào)是()A.①④ B.②③C.②④ D.①③4.平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,那么m,n所成角的正弦值為()A.32 B.C.33 D.5.正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)為2,高為2,E是邊BC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在外表上運(yùn)動(dòng),并且總保持PE⊥AC,那么動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為.

6.(2022全國(guó)Ⅰ,文16)∠ACB=90°,P為平面ABC外一點(diǎn),PC=2,點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC,BC的距離均為3,那么點(diǎn)P到平面ABC的距離為.

7.如圖,在多面體ABCDPE中,四邊形ABCD和CDPE都是直角梯形,AB∥DC,PE∥DC,AD⊥DC,PD⊥平面ABCD,AB=PD=DA=2PE,CD=3PE,F是CE的中點(diǎn).(1)求證:BF∥平面ADP;(2)O是BD的中點(diǎn),求證:BD⊥平面AOF.8.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.(1)求證:DC⊥平面PAC;(2)求證:平面PAB⊥平面PAC;(3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),在棱PB上是否存在點(diǎn)F,使得PA∥平面CEF?說明理由.9.(2022全國(guó)Ⅲ,文19)圖1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合,連接DG,如圖2.(1)證明:圖2中的A,C,G,D四點(diǎn)共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求圖2中的四邊形ACGD的面積.10.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分別為AD,PB的中點(diǎn).(1)求證:PE⊥BC;(2)求證:平面PAB⊥平面PCD;(3)求證:EF∥平面PCD.二、思維提升訓(xùn)練11.如圖①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=π2,AB=BC=12AD=a,E是AD的中點(diǎn),O是AC與BE的交點(diǎn).將△ABE沿BE折起到圖②中△A1BE的位置,得到四棱錐A1圖①圖②(1)證明:CD⊥平面A1OC;(2)當(dāng)平面A1BE⊥平面BCDE時(shí),四棱錐A1-BCDE的體積為362,求a的值.12.如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是AB的中點(diǎn),點(diǎn)V是圓O所在平面外一點(diǎn),D是AC的中點(diǎn),AB=2,VA=VB=VC=2.(1)求證:OD∥平面VBC;(2)求證:AC⊥平面VOD;(3)求棱錐C-ABV的體積.13.(2022廣東佛山一中模擬,18)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面四邊形ABCD是菱形,AC∩BD=O,△PAC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,PB=PD=6,AP=4AF.(1)求四棱錐P-ABCD的體積VP(2)在線段PB上是否存在一點(diǎn)M,使得CM∥平面BDF?如果存在,求BMBP的值;如果不存在,請(qǐng)說明理由14.如圖①,在△ABC中,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),O為DE的中點(diǎn),AB=AC=25,BC=4.將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使得平面A1DE⊥平面BCED,F為A1C的中點(diǎn),如圖②.圖①圖②(1)求證:EF∥平面A1BD;(2)求證:平面A1OB⊥平面A1OC;(3)在線段OC上是否存在點(diǎn)G,使得OC⊥平面EFG?說明理由.

專題能力訓(xùn)練14空間中的平行與垂直一、能力突破訓(xùn)練1.A解析易知選項(xiàng)B中,AB∥MQ,且MQ?平面MNQ,AB?平面MNQ,那么AB∥平面MNQ;選項(xiàng)C中,AB∥MQ,且MQ?平面MNQ,AB?平面MNQ,那么AB∥平面MNQ;選項(xiàng)D中,AB∥NQ,且NQ?平面MNQ,AB?平面MNQ,那么AB∥平面MNQ,故排除選項(xiàng)B,C,D.應(yīng)選A.2.A解析如圖,易知PA,PE,PF兩兩垂直,∴PA⊥平面PEF,從而PA⊥EF,而PO⊥平面AEF,那么PO⊥EF,∴EF⊥平面PAO,∴EF⊥AO.同理可知AE⊥FO,AF⊥EO,∴O為△AEF的垂心.3.B解析當(dāng)α⊥β,m∥α?xí)r,有m⊥β,m∥β,m?β等多種可能情況,所以①不正確;當(dāng)m⊥α,n⊥β,且m⊥n時(shí),由面面垂直的判定定理知α⊥β,所以②正確;因?yàn)閙⊥β,m∥α,所以α⊥β,③正確;假設(shè)m∥α,n∥β,且m∥n,那么α∥β或α,β相交,④不正確.應(yīng)選B.4.A解析(方法一)∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1.∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1,∴n∥CD1.∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即∠B1D1C等于m,n所成的角.∵△B1D1C為正三角形,∴∠B1D1C=60°,∴m,n所成角的正弦值為32(方法二)由題意畫出圖形如圖,將正方體ABCD-A1B1C1D1平移,補(bǔ)形為兩個(gè)全等的正方體如圖,易證平面AEF∥平面CB1D1,所以平面AEF即為平面α,m即為AE,n即為AF,所以AE與AF所成的角即為m與n所成的角.因?yàn)椤鰽EF是正三角形,所以∠EAF=60°,故m,n所成角的正弦值為325.2+6解析如圖,取CD的中點(diǎn)F,SC的中點(diǎn)G,連接EF,EG,設(shè)EF交AC于點(diǎn)H,連接GH,易知AC⊥EF.又GH∥SO,∴GH⊥平面ABCD,∴AC⊥GH.又GH∩EF=H,∴AC⊥平面EFG.故點(diǎn)P的軌跡是△EFG,其周長(zhǎng)為2+6.2解析作PD,PE分別垂直于AC,BC,PO⊥平面ABC.連接CO,OD,知CD⊥PD,CD⊥PO,PD∩PO=P,∴CD⊥平面PDO,OD?平面PDO,∴CD⊥OD.∵PD=PE=3,PC=2,∴sin∠PCE=sin∠PCD=32∴∠PCB=∠PCA=60°.∴PO⊥CO,CO為∠ACB平分線,∴∠OCD=45°,∴OD=CD=1,OC=2.又PC=2,∴PO=4-7.證明(1)如圖,取PD的中點(diǎn)G,連接FG,AG.∵F是CE的中點(diǎn),∴FG是梯形CDPE的中位線.∵CD=3PE,∴FG=2PE,FG∥CD.∵CD∥AB,AB=2PE,∴AB∥FG,AB=FG,即四邊形ABFG是平行四邊形.∴BF∥AG.又BF?平面ADP,AG?平面ADP,∴BF∥平面ADP.(2)延長(zhǎng)AO交CD于M,連接BM,FM,∵AB∥DC,AD⊥DC,∴BA⊥AD.又CD⊥DA,AB=AD,O為BD的中點(diǎn),∴四邊形ABMD是正方形,∴BD⊥AM,MD=2PE,∴FM∥PD.∵PD⊥平面ABCD,∴FM⊥平面ABCD,∴FM⊥BD.∵AM∩FM=M,∴BD⊥平面AMF,∴BD⊥平面AOF.8.(1)證明因?yàn)镻C⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.又因?yàn)镈C⊥AC,所以DC⊥平面PAC.(2)證明因?yàn)锳B∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.因?yàn)镻C⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.所以AB⊥平面PAC.所以平面PAB⊥平面PAC.(3)解在棱PB上存在點(diǎn)F,使得PA∥平面CEF.證明如下:取PB的中點(diǎn)F,連接EF,CE,CF.又因?yàn)镋為AB的中點(diǎn),所以EF∥PA.又因?yàn)镻A?平面CEF,所以PA∥平面CEF.9.(1)證明由得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG確定一個(gè)平面,從而A,C,G,D四點(diǎn)共面.由得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.又因?yàn)锳B?平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)解取CG的中點(diǎn)M,連接EM,DM.因?yàn)锳B∥DE,AB⊥平面BCGE,所以DE⊥平面BCGE,故DE⊥CG.由,四邊形BCGE是菱形,且∠EBC=60°得EM⊥CG,故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.在Rt△DEM中,DE=1,EM=3,故DM=2.所以四邊形ACGD的面積為4.10.證明(1)∵PA=PD,且E為AD的中點(diǎn),∴PE⊥AD.∵底面ABCD為矩形,∴BC∥AD,∴PE⊥BC.(2)∵底面ABCD為矩形,∴AB⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥PD.又PA⊥PD,PA∩AB=A,∴PD⊥平面PAB.∵PD?平面PCD,∴平面PAB⊥平面PCD.(3)如圖,取PC的中點(diǎn)G,連接FG,GD.∵F,G分別為PB和PC的中點(diǎn),∴FG∥BC,且FG=12BC∵四邊形ABCD為矩形,且E為AD的中點(diǎn),∴ED∥BC,ED=12BC∴ED∥FG,且ED=FG,∴四邊形EFGD為平行四邊形,∴EF∥GD.又EF?平面PCD,GD?平面PCD,∴EF∥平面PCD.二、思維提升訓(xùn)練11.(1)證明在題圖①中,因?yàn)锳B=BC=12AD=a,E是AD的中點(diǎn),∠BAD=π2,所以BE⊥即在題圖②中,BE⊥A1O,BE⊥OC,從而BE⊥平面A1OC,又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.(2)解由,平面A1BE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE=BE,又由(1),A1O⊥BE,所以A1O⊥平面BCDE,即A1O是四棱錐A1-BCDE的高.由題圖①知,A1O=22AB=22a,平行四邊形BCDE的面積S=BC·AB=a從而四棱錐A1-BCDE的體積為V=13×S×A1O=13×a2×22a=26a3,由26a3=3612.(1)證明∵O,D分別是AB和AC的中點(diǎn),∴OD∥BC.又OD?平面VBC,BC?平面VBC,∴OD∥平面VBC.(2)證明∵VA=VB,O為AB中點(diǎn),∴VO⊥AB.在△VOA和△VOC中,OA=OC,VO=VO,VA=VC,∴△VOA≌△VOC,∴∠VOA=∠VOC=90°,∴VO⊥OC.∵AB∩OC=O,AB?平面ABC,OC?平面ABC,∴VO⊥平面ABC.又AC?平面ABC,∴AC⊥VO.∵VA=VC,D是AC的中點(diǎn),∴AC⊥VD.∵VO?平面VOD,VD?平面VOD,VO∩VD=V,∴AC⊥平面VOD.(3)解由(2)知VO是棱錐V-ABC的高,且VO=VA∵點(diǎn)C是AB的中點(diǎn),∴CO⊥AB,且CO=1,AB=2,∴△ABC的面積S△ABC=12AB·CO=12×2×1∴棱錐V-ABC的體積為VV-ABC=13S△ABC·VO=13×1×3=3313.解(1)∵底面ABCD是菱形,∴O為AC,BD的中點(diǎn).又PA=PC,PB=PD,∴PO⊥AC,PO⊥BD.∵AC∩BD=O,AC?平面ABCD,BD?平面ABCD,∴PO⊥底面ABCD.在△PAC中,AC=2,∴PO=3.在△PBD中,PB=PD=6,BD=23.∴VP-ABCD=13·PO·S菱形ABCD=13×3×12×(2)過C作CE∥BD交AB延長(zhǎng)線于E,過E作EH∥BF交PA于H,EH與PB的交點(diǎn)為M.∵CE∥BD,BD?平面BDF,CE?平面BDF,∴CE∥平面BDF.∵EH∥BF,BF?平面BDF,EH?平面BDF,∴EH∥平面BDF.又CE∩EH=E,CE?平面CEM,EH?平面CEM,∴平面BDF∥平面CEM.∵CM?平面CEM,∴CM∥平面BDF.∵BD∥CE,DC∥BE,∴四邊形BECD為平行四邊形,∴DC=BE=AB,∴B為AE中點(diǎn).∵AP=4AF,EH∥BF,∴H為PA的中點(diǎn),∴M為中線PB與中線EH的交點(diǎn),∴M是△APE的重心,∴BMBP14.(1)證明取線段A1B的中點(diǎn)H,連接HD,HF.∵D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),∴DE∥BC,DE=12BC∵H,F分別為A1B,A1C的中點(diǎn),∴HF∥BC,HF=12BC∴HF∥DE,HF=DE,∴四邊形DEFH為平行四邊形,∴EF∥HD.∵EF?平面A1BD,HD?平面A1BD,∴EF∥平面A1BD.(2)證明∵在△ABC中,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),AB=AC,∴AD=AE,∴A1D=A1E.