雙曲線的切線和它的切點(diǎn)弦

雙曲線的切線和它的切點(diǎn)弦的性質(zhì)王安陶（安徽省淮南二中232038）證明證明本文探究雙曲線切線的作法，自雙曲線外一點(diǎn)所引切線的分布和切點(diǎn)弦的性質(zhì)。下面先給出切線的一個(gè)定理。定理1雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，各自關(guān)于它的所在支切線對(duì)稱點(diǎn)的軌跡，是以另一個(gè)焦點(diǎn)為圓心,實(shí)軸長(zhǎng)為半徑，且夾在各自焦點(diǎn)關(guān)于兩條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)間的兩段圓?。ú缓〉亩它c(diǎn)）.如圖1,設(shè)Q1，Q2分別是焦點(diǎn)F1關(guān)于漸近線L］和L2的對(duì)稱點(diǎn),T為左支上任意一點(diǎn),m為過(guò)T的切線.P為F］關(guān)于m的對(duì)稱點(diǎn),F］P交m于A.聯(lián)PF2,由軸對(duì)稱性質(zhì)及雙曲線的光學(xué)性質(zhì)知ITPI=ITF1I且ZF1TA=zATP=zATF^???tpf2三點(diǎn)共線。??.if2pi=if2ti-itpi=if2ti-itf1i=實(shí)軸長(zhǎng)。又漸近線是切線的極限位置，???P點(diǎn)的軌跡是以f2為圓心，以實(shí)軸長(zhǎng)為半徑的圓弧QQ2（不含q1.q2兩點(diǎn)）.同理,右焦點(diǎn)f2關(guān)于所在支動(dòng)切線對(duì)稱點(diǎn)的軌跡是以F1為圓心，以實(shí)軸長(zhǎng)為半徑的圓弧Q3Q4（不含q3.q4兩點(diǎn)）。兩段圓弧合起來(lái)就是所求的軌跡。用定理1作雙曲線的切線。如圖2,設(shè)M為雙曲線外一點(diǎn)（區(qū)域W內(nèi)），自M引雙曲線的切線作法如下：（1） 作焦點(diǎn)片和f2關(guān)于各自所在支切線對(duì)稱點(diǎn)的軌跡Q］Q2和q；q4；（2）以M為圓心，以IMFJ為半徑畫弧交Q1Q2于P］；以M為圓心，以MF2I為半徑畫弧交Q3Q4于P2;（3）聯(lián)P1F1和P2F2，分別作P1F1和P2F2的中垂線MR］和MR2.則MR］和MR2分別為雙曲線左,右兩支的切線（或作直線F2P1和F1P2，分別交雙曲線于T］和T2，再作直線MT1和MT2即得所求切線）。如圖2,兩條漸近線把雙曲線的外部分成四個(gè)區(qū)域。當(dāng)M在對(duì)稱中心時(shí)，自M不能引它的切線；當(dāng)M在漸近線上（除去對(duì)稱中心）時(shí)，自M能引它的一條切線；當(dāng)M在區(qū)域I或II時(shí)，自M分別能左支或右支的兩條切線；當(dāng)M在區(qū)域III或W時(shí)，自M都能引兩條分別與兩支相切的切線。下面給出雙曲線切點(diǎn)弦的性質(zhì)。x2y2定理2設(shè)M為雙曲線 —-—=1(a，a2 b2b>0）外一點(diǎn)（不在漸近線上）。過(guò)M作雙曲線的切線MA和MB，A.B為切點(diǎn)。又過(guò)M作一條割線交雙曲線于R、S,交切點(diǎn)弦2MR-MSAB于Q,則MQ=—MR+MS分析定理中的條件可分為以下四種種情形：⑴切線與同一支相切，割線與兩支相交；⑵切線與同一支相切，割線也與該支相交；⑶切線與兩支相切，割線也與兩支相交；⑷切線與兩支相切，割線只與一支相交。這四種情形的證法是相同的。這里任選一種（如情形⑴）加以證明。圖相交；⑶切線與兩支相切，割線也與兩支相交；⑷切線與兩支相切，割線只與一支相交。這四種情形的證法是相同的。這里任選一種（如情形⑴）加以證明。圖3 ―證明如圖3,設(shè)M的坐標(biāo)為（x0,y0）,MS為割線的正方向，其參數(shù)方程為2tt a2b2—b2x2+a2y2TOC\o"1-5"\h\z—1_^= 00>0t+1b2xcos6—a2ysin61 2 0 02ttt=1^一t+11 2用有向線段的數(shù)量表示就是2MR-MSMQ=—MR+MSx=x0+tcos9 （參數(shù)t為有向線段TOC\o"1-5"\h\z: 的數(shù)量） Qy=y0+tsin9xxyy而切點(diǎn)弦AB的方程為 0—=1Qa2 b2=1=1以Q代入Q得x(x+tcos6—0——0 a2

y(y+tsin0)0 0 b2a2b2—b2x2+a2y2

解得t= 0 0>0b2xcos6—a2ysin6(?.?9在MS割線的正方向上)以Q代入雙曲線方程，化簡(jiǎn)并整理得：(b2cos29-a2sin29)t2+2(b2x0cos9-a2y0sin9)t-(a2b2-b2x02+a2y02)=0由韋達(dá)定理得t1+t2=－2(bxcos6+a2ysin6