江西省上饒市東塘中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

江西省上饒市東塘中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，∠BAC＝，AA1⊥平面ABC，則該三棱柱的外接球的表面積為A.36π

B.48π

C.72π

D.108π參考答案：C2.《九章算術(shù)》中有“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則該竹子的容積為（

）A．升 B．升 C．升 D．升參考答案：D3.已知命題對(duì)任意，總有；“”是“”的充分不必要條件，則下列命題為真命題的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D4.函數(shù)f(x)＝(x2－1)cos2x在區(qū)間[0,2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(

)(A)．6

(B)．5

(C)．4

(D)．3參考答案：B略5.等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n+1，其前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列前10項(xiàng)的和為(

)A．120 B．70 C．75 D．100參考答案：C【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，可得Sn==n（n+2），進(jìn)而可得=n+2，分析可得數(shù)列也是等差數(shù)列，且其通項(xiàng)公式為則=n+2，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n+1，則其首項(xiàng)為3，公差為2，其前n項(xiàng)和為Sn==n（n+2），則=n+2，數(shù)列也是等差數(shù)列，且其通項(xiàng)公式為則=n+2，有a1=3，a10=12，則其前10項(xiàng)的和為=75；故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的求和，關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項(xiàng)，推出數(shù)列的性質(zhì)，進(jìn)而選擇合適的求和公式．6.已知為虛數(shù)單位，，若為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)的模等于（）A．

B． C．

D．參考答案：C7.下列函數(shù)中，在內(nèi)有零點(diǎn)且單調(diào)遞增的是

（A） （B）

（C） (D)參考答案：B略8.等差數(shù)列{an}中，a1，a4025是函數(shù)的極值點(diǎn)，則log2a2013等于（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：A【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)為0求得a1+a4025=8，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求得a2013，代入log2a2013得答案．【解答】解：由，得f′（x）=x2﹣8x+6．由f′（x）=x2﹣8x+6=0，得x1+x2=8，又a1，a4025是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴a1+a4025=8，則，∴l(xiāng)og2a2013=log24=2．故選：A．9.把二進(jìn)制數(shù)110011（2）化為十進(jìn)制數(shù)為（）A．50 B．51 C．52 D．53參考答案：B【考點(diǎn)】算法思想的歷程．

【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)所給的二進(jìn)制的數(shù)字，寫出用二進(jìn)制的數(shù)字的最后一位乘以2的0次方，倒數(shù)第二位乘以2的1次方，以此類推，寫出后相加得到結(jié)果．【解答】解：∵110011（2）=1×20+1×2+1×24+1×25=51故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查進(jìn)位制之間的轉(zhuǎn)化，本題解題的關(guān)鍵是用二進(jìn)制的最后一位乘以2的0次方，注意這里的數(shù)字不用出錯(cuò)．10.已知平面向量，，，則λ的值為（）A．1+ B．﹣1 C．2 D．1參考答案：C【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】求出的坐標(biāo)，代入模長(zhǎng)公式列出方程解出λ．【解答】解：=（2，2﹣λ），∵||=2，∴22+（2﹣λ）2=4，解得λ=2．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，.若或

，則的取值范圍是

.參考答案： 12.如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的大小是____________。參考答案：

本題有兩種方法，一、幾何法：連接，則,又，易知，所以與所成角的大小是；二、坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式計(jì)算得異面直線與所成角的大小是.13.給出定義：若函數(shù)f(x)在D上可導(dǎo)，即f′(x)存在，且導(dǎo)函數(shù)f′(x)在D上也可導(dǎo)，則稱f(x)在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記f″(x)＝(f′(x))′，

若f″(x)<0在D上恒成立，則稱f(x)在D上為凸函數(shù)，以下四個(gè)函數(shù)在(0，)上不是凸函數(shù)的是(把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上)①f(x)＝sinx＋cosx；

②f(x)＝lnx－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；

④f(x)＝xex.參考答案：④略14.某地自行車的牌照號(hào)碼由六個(gè)數(shù)字組成，號(hào)碼中每個(gè)數(shù)字可以是到這十個(gè)數(shù)字中的任一個(gè),那么某人的一輛自行車牌照號(hào)碼中六個(gè)數(shù)字中恰好出現(xiàn)兩次的概率是

（精確到）。參考答案：15.某校有名學(xué)生，各年級(jí)男、女生人數(shù)如表，已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取一名志愿者，抽到高一男生的概率是，則高二的學(xué)生人數(shù)為______．

高一高二高三女生男生參考答案：120016.函數(shù)的定義域是________．參考答案：略17.已知函數(shù)f（x）=，若函數(shù)y=f（x）﹣a|x|恰有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是．參考答案：a=0或a≥2【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系；分段函數(shù)的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【解答】解：由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，作出函數(shù)y=f（x），y=a|x|的圖象．當(dāng)a=0，滿足條件，當(dāng)a≥2時(shí)，此時(shí)y=a|x|與f（x）有三個(gè)交點(diǎn)，故答案為：a=0或a≥2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）某班50名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組，第二組，…，第五組．右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.（1）若成績(jī)大于或等于14秒且小于16秒認(rèn)為良好，求該班在這次百米測(cè)試中成績(jī)良好的人數(shù)；（2）設(shè)表示該班某兩位同學(xué)的百米測(cè)試成績(jī)，且已知參考答案：若時(shí)，有6種情況┉7分若分別在和內(nèi)時(shí)，共有12種情況.┉┉┉9分

19.（12分）已知函數(shù)f（x）=ax（lnx﹣1）（a≠0）．（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)a＞0時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）=x3﹣f（x），函數(shù)h（x）=g′（x），①若h（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②證明：ln（1×2×3×…×n）2e＜12+22+32+…+n2（n∈N*）．參考答案：【分析】（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，分a＞0，a＜0，由導(dǎo)數(shù)大于0，解得增區(qū)間；（2）①當(dāng)a＞0時(shí)，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得≥的最大值，求出右邊函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間、極值和最值，即可得到所求a的范圍；②由①可得＜，x∈N，可得2elnn＜n2，由累加法和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得證．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=ax（lnx﹣1）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=a（lnx﹣1）+a=alnx，當(dāng)a＞0時(shí)，x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；當(dāng)a＜0時(shí)，0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增；x＞1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減．即有a＞0，f（x）的遞增區(qū)間為（1，+∞）；a＜0時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間為（0，1）；（2）①當(dāng)a＞0時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）=x3﹣f（x）=x3﹣ax（lnx﹣1），函數(shù)h（x）=g′（x）=x2﹣alnx，x＞0，h（x）≥0恒成立，即為≥的最大值，由y=的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)x＞時(shí)，函數(shù)y遞減；當(dāng)0＜x＜時(shí)，函數(shù)y遞增，即有x=取得最大值，則有≥，解得0＜a≤e；②證明：由①可得＜，x∈N，即有2elnn＜n2，可得2e（ln1+ln2+ln3+…+lnn）＜12+22+32+…+n2，則ln（1?2?3…n）2e＜12+22+32+…+n2（n∈N*）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查不等式成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)，考查不等式的證明，注意運(yùn)用已知不等式，考查運(yùn)算和推理能力，屬于中檔題．20.（本小題滿分12分）若的圖像與直線相切，并且切點(diǎn)橫坐標(biāo)依次成公差為的等差數(shù)列.(1)求和的值；(2)⊿ABC中a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊.若是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，且a=4，求⊿ABC周長(zhǎng)的取值范圍.參考答案：21.已知函數(shù)f（x）=sin（﹣2x）﹣2sin（x﹣）cos（x+）．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若x∈[，]，且F（x）=﹣4λf（x）﹣cos（4x﹣）的最小值是﹣，求實(shí)數(shù)λ的值．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）先利用兩角和余差和二倍角等基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）x∈[，]時(shí)，化解F（x），求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最小值，可得實(shí)數(shù)λ的值．【解答】解：函數(shù)f（x）=sin（﹣2x）﹣2sin（x﹣）cos（x+）．化簡(jiǎn)可得：f（x）=sincos2x﹣cossin2x﹣2sin（x﹣）cos（π﹣+x）=cos2x+sin2x+sin（2x﹣）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）（1）函數(shù)f（x）的最小正周期T=，∵2x﹣∈[，]，k∈Z單調(diào)遞增區(qū)間；即≤2x﹣≤，解得：≤x≤，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[，]，k∈Z．（2）由F（x）=﹣4λf（x）﹣cos（4x﹣）=﹣4λsin（2x﹣）﹣cos（4x