線代同濟(jì)5第三章3節(jié)

1§3

矩陣的秩一、矩陣秩的概念例:求解三元線性方程組其系數(shù)行列式為克拉默法則失效.上頁下頁返回解:(2)-(3),得2將x3看作參數(shù)變形得:其系數(shù)行列式為上頁下頁返回從而可得到一同解方程組.

3即在系數(shù)矩陣選取任何一個不為零的2階行列式作為系數(shù)行列式,所對應(yīng)的方程組都可組成相應(yīng)的同解方程組.由克拉默法則方程組的解不惟一;且同解方程組也不惟一.上頁下頁返回4定義4:m×n矩陣A中，位于任意取定的k行和k列交叉點(diǎn)上的k2個元素,按原來的相對位置組成的k階行列式，稱為矩陣A的一個k階子式.上頁下頁返回二階子式三階子式5定義5:m×n矩陣A中，有一個r階子式不為零，R(A)=r.且任意r+1階子式都為零，則稱數(shù)r為矩陣A的秩.記為規(guī)定:零矩陣的秩為0.上頁下頁返回對于n階矩陣A,當(dāng)時，R(A)=n；即可逆矩陣的秩等于矩陣的階數(shù)，故可逆矩陣又稱為滿秩矩陣，不可逆矩陣又稱為降秩矩陣.

6(3)由行列式的性質(zhì)知,R(AT)=R(A),R(kA)=R(A),(k≠0).(4)若A中有一個k階子式不為零,則R(A)≥k；若A中所有k階子式全為零，則R(A)＜k.(2)由行列式的性質(zhì)知,當(dāng)A中r+1階子式全為0時,

所有高于r+1階的子式也全為0，因此R(A)=r就是A的非零子式的最高階數(shù).上頁下頁返回(1)由R(A)的定義知,若A=(aij)m×n,注:則R(A)≤min{m,n}.7例1:求矩陣的秩.解:

利用定義1來計(jì)算各階子式的值.A的一個二階子式故R(A)≥2,即A中的4個三階子式均為0.∴R(A)=2.上頁下頁返回8二、用初等變換求矩陣的秩例1用的求矩陣的秩的方法,當(dāng)矩陣的階數(shù)較高時,計(jì)算量就較大，而且容易漏算.下面介紹用初等變換求矩陣的秩的方法.例2:求的秩.解:

矩陣B中的最后一行的元素全是零,即知B的所有4階行列式全為零,∴R(B)=3.上頁下頁返回而有一個3階行列式不為零.9看行階梯形矩陣上頁下頁返回顯然，行階梯型矩陣的秩等于其非零的行數(shù)

.10定理4:若A→B,則R(A)=R(B).上頁下頁返回證對矩陣作初等列變換相當(dāng)于對其轉(zhuǎn)置矩陣作初等行變換,所以只需證結(jié)論對初等行變換成立.當(dāng)或時,設(shè)R(A)=

r,則Ａ的某r階子式在B中總

能找到與D對應(yīng)的r階子式D1,或或故有,所有的r+1階子式都為零．而所有的r+1階子式都為零，從而11當(dāng)上頁下頁返回12當(dāng)中不含第i行元素，則B中有對應(yīng)的Ｄ1,從而當(dāng)中含第i行元素,上頁下頁返回13當(dāng)中含第j行元素，有D2=0,故當(dāng)中不含第j行元素，則D2也是B的r階子式則由得D1與D2不同時為零，上頁下頁返回14由定理4得到一個簡便的求秩的方法用初等變換求矩陣的秩.即B中存在不為零的r階子式，故綜上所述，A經(jīng)過一次初等變換變?yōu)锽時，有由于B也可經(jīng)過一次初等變換變因此為A，故也有經(jīng)過一次初等變換矩陣的秩不變,所以經(jīng)過有限次初等變換后,矩陣的秩也仍然不變.上頁下頁返回15推論1:設(shè)A是任一m×n矩陣,B是m階滿秩矩陣,則

R(BA)=R(A).因?yàn)锽可逆，由定理3的知證:即BA是A經(jīng)過有限次初等行變換得到的.因此,由定理4，R(BA)=R(A).同理R(AB)=R(A)(B可逆)即:用m階(n階)可逆陣左(右)乘矩陣A,不改變A的秩.上頁下頁返回16例3:設(shè)求A的秩，并求A的一個最高階非零子式.解:上頁下頁返回1.求A的秩17此為行階梯形矩陣，且有3個非零行,∴R(A)=3.上頁下頁返回182．∵R(A)=3,故A的最高階非零子式為3階.A的3階子式共有考察最后那個行階梯型陣，其中非零行的非零首元素在1,2,4列,并注意到對A只進(jìn)行過初等行變換,故可取A的子矩陣C對應(yīng)的行階梯形矩陣為可知R(C)=3,故C中必有3階非零子式，上頁下頁返回19計(jì)算C的前三行構(gòu)成的子式此子式即為A的一個最高階非零子式.上頁下頁返回20例4:證明:存在n×m矩陣B,使AB=Em.

證:即存在m階可逆陣P和n階可逆陣Q，使兩邊分別左乘P-1,右乘Q-1,得故取即為所求.上頁下頁返回∵R(A)=m,故A的標(biāo)準(zhǔn)形為（Em,0）.PAQ=(Em

,0）設(shè)A是m×n(m≤n)矩陣，且R(A)=m.21(1)A=(aij

)m×n

,則0≤R(A)≤min{m,n}.(2)R(AT)=R(A),R(k