2022屆湖南省新寧縣名校高三年級(jí)下冊(cè)學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷 【含答案】

2022屆高三第三次模擬考試卷數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】，，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，落在第二象限，故選B．2．已知集合，，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹偷淖钚」稊?shù)為，故，故選A．3．從某中學(xué)隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將他們的身高數(shù)據(jù)（單位cm）繪制成頻率分布直方圖，若要從身高在，，三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取16人參加一次活動(dòng)．則從身高在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為（）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】B【解析】依題意，解得，身高在，，三組內(nèi)的學(xué)生比例為，用分層抽樣的方法選取16人參加一次活動(dòng)，則從身高在內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為人，故選B．4．在一次獨(dú)立性檢驗(yàn)中得到如下列聯(lián)表：A1A2總計(jì)B12008001000B2180a180＋a總計(jì)380800＋a1180＋a若這兩個(gè)分類變量A和B沒有關(guān)系，則a的可能值是（）A．200 B．720 C．100 D．180【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，易知此時(shí)兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系，故選B．5．在三棱錐中，已知底面，，．若三棱錐的頂點(diǎn)均在球的表面上，則球的半徑為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，外接圓半徑，底面，球的半徑，故選B．6．設(shè)分別是函數(shù)和的零點(diǎn)(其中)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，得，即，所以是圖象與圖象的交點(diǎn)，且顯然，令，得，即，所以是圖象與圖象的交點(diǎn)，因?yàn)榕c關(guān)于對(duì)稱，所以兩根也關(guān)于對(duì)稱，所以有，所以，令在上單調(diào)遞減，所以，故選C．7．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，焦距為4，點(diǎn)關(guān)于雙曲線C的一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為P，若，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2【答案】D【解析】如圖設(shè)與漸近線的交點(diǎn)為，則，且，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以，所以，則，所以，在中，，即，即，所以，又焦距，所以，所以離心率，故選D．8．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則△ABC面積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可得，由余弦定理可得．因?yàn)榈拿娣e，所以，因?yàn)?，所以，故?dāng)時(shí)，取得最大值3，此時(shí)，故選B．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．是兩條不同的直線，是空間兩個(gè)不同的平面，如下有四個(gè)命題，其中正確的命題是（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】對(duì)于A，由、，可得，又，所以，故A正確；對(duì)于B，由、，可得，又，則或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，則或，又，則或或與相交（不垂直）或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由、，可得，又，所以，故D正確，故選AD．10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的（）A．若，則是等差數(shù)列B．若，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則D．若是等比數(shù)列，且，，則【答案】ABC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，由，得，兩式相減得，又當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以，故是等差數(shù)列，選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由，得，兩式相減得，又，滿足上式，所以，故，即是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由是等差數(shù)列，得，選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，若等比數(shù)列的公比，則，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選ABC．11．已知函數(shù)，則（）A．為偶函數(shù) B．的最小正周期為C．在上單調(diào)遞增 D．在內(nèi)有2個(gè)解【答案】AD【解析】對(duì)于A中，函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又由，所以為偶函數(shù)，所以A正確；對(duì)于B中，由，可得函數(shù)的最小正周期為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，則或，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)解，無(wú)解，所以在內(nèi)有2個(gè)解，所以D正確，故選AD．12．棱長(zhǎng)為a且體積為V的正四面體的底面內(nèi)有一點(diǎn)H，它到平面、、的距離分別為，，，E，F(xiàn)在與上，且，，下列結(jié)論正確的是（）A．若a為定值，則為定值B．若，則C．存在H，使，，成等比數(shù)列D．若，則，，成等差數(shù)列【答案】ACD【解析】正四面體的高為，由，即，所以，所以，故A正確；由A知，，∴，B不正確；當(dāng)H是中心時(shí)，，此時(shí)，，成等比數(shù)列，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，，若，則，則，設(shè)H到，，的距離為，，，∴，又因?yàn)槠矫?、平面、平面與平面所成角相等，∴，所以，，成等差數(shù)列，故D正確，故選ACD．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知是非零向量，若，與的夾角是，則_________．【答案】2【解析】因?yàn)?，與的夾角是，所以，故答案為2．14．的展開式中項(xiàng)的系數(shù)是______．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為：，故答案為．15．已知圓，在圓內(nèi)任取一點(diǎn)，以為弦中點(diǎn)作弦，則弦長(zhǎng)的概率為_________．【答案】（或）【解析】由題意可知：在圓內(nèi)任取一點(diǎn)，以為弦中點(diǎn)作弦，當(dāng)時(shí)，，故的軌跡方程是，要使弦長(zhǎng)，則必須在內(nèi)（含圓周），所以弦長(zhǎng)的概率為，故答案為．16．已知函數(shù)（，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2．71828…）．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為________；若，，則實(shí)數(shù)a的最大值為________．【答案】，e【解析】由題意當(dāng)時(shí)，，，則，，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．因?yàn)?，即，則，令，故，在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，得，即，記，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的最小值是，故，即實(shí)數(shù)a的最大值是，故答案為，．四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．（10分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，，成等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，得，∵，∴，所以，又知，所以是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由成等差數(shù)列可知，，所以．所以，①，②由①-②，得，故．18．（12分）電影《長(zhǎng)津湖》讓那些在冰雪里為國(guó)而爭(zhēng)的戰(zhàn)士和他們的故事，仿佛活在了我們眼前；讓我們重回那段行軍千里，只為保家衛(wèi)國(guó)的崢嶸歲月；也讓我們記住，今天的美好盛世，是那群最可愛的人歷經(jīng)何種困苦才奪來(lái)的．某校高三年級(jí)8個(gè)班共400人，其中男生240名，女生160名，現(xiàn)對(duì)學(xué)生觀看《長(zhǎng)津湖》情況進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，各班觀影男生人數(shù)記為組，各班觀影女生人數(shù)記為組，得到如下莖葉圖．（1）根據(jù)莖葉圖完成列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為觀看《長(zhǎng)津湖》電影與性別有關(guān)；觀影人數(shù)沒觀影人數(shù)合計(jì)男生女生合計(jì)（2）若從高三年級(jí)所有學(xué)生中按男女比例分層抽樣選取人參加座談，并從參加座談的學(xué)生中隨機(jī)抽取位同學(xué)采訪，記為抽取的男生人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：，．【答案】（1）列聯(lián)表見解析，沒有的把握認(rèn)為觀看該影片與性別有關(guān)；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為．【解析】（1）解：列聯(lián)表如下表所示：觀影人數(shù)沒觀影人數(shù)合計(jì)男生女生合計(jì)，所以沒有的把握認(rèn)為觀看該影片與性別有關(guān)．（2）解：選出的女生人數(shù)為，選出的男生人數(shù)為，從參加座談的學(xué)生中隨機(jī)抽取男生人數(shù)為，則的可能取值為、、，則，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：．19．（12分）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，．（1）若，求C；（2）點(diǎn)D在邊AB上，且，證明：CD平分∠ACB．【答案】（1）；（2）證明見解析﹒【解析】（1）由，，∵，∴﹒（2）設(shè)，，∵，∴由正弦定理得，在中，由正弦定理得，①在中，由正弦定理得，②，，∴得，，∵、，，即平分．20．（12分）已知一圓形紙片的圓心為，直徑，圓周上有、兩點(diǎn)．如圖，，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)．沿將紙片折為直二面角，并連接，，，．（1）當(dāng)平面時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的余弦值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因平面，平面內(nèi)，平面平面，則有，因此，，而，則，所以的長(zhǎng)是．（2）因，平面平面，平面平面，平面ABC，則平面，三棱錐的體積，因此，三棱錐的體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)，即，取PD中點(diǎn)M，連接OM，CM，由，可得，如圖，于是得，即是二面角的平面角，而，在中，，則，，所以二面角的余弦值是．21．（12分）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)是橢圓C上第一象限的點(diǎn)，直線過(guò)P且與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．①求直線的方程（用，表示）；②設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別與x軸，y軸相交于點(diǎn)M，N，求面積的最小值．【答案】（1）；（2）①；②．【解析】（1）由題意知，橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)，則，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）①因?yàn)槭菣E圓在第一象限的點(diǎn)，所以，即()，設(shè)直線l方程為，則，消去y，整理得，則，整理，得，即，則，解得，所以直線l方程為，即．②令，得；令，得，即，，由()，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，得，所以，此時(shí)，故當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，的面積最小，最小值為．22．（12分）已知，．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明．【答案】（1）函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間