2023學(xué)年安徽省望江高三一診考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式為4=2〃+2,將這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)擺放成如圖所示的數(shù)陣.記仇，為數(shù)陣從左至右的〃列,

n

從上到下的〃行共〃2個(gè)數(shù)的和，則數(shù)列丁的前2020項(xiàng)和為（）

?la2a3…an

a2%%…4”

%4%…4+2

aa

n4+14+2…2rt-l

1011201920201010

A.-------B.-------C.-------D.-------

2020202020212021

2.設(shè)〃2，〃是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是（）

A.若（3型cdIBB.若/n_La,機(jī)_1_〃，則

C.若m_1_二，〃2〃幾,則〃_LaD.若2_1_/?,m_1。,則加//4

3.已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰，甲、丁兩人必須相鄰，則滿足要求的排隊(duì)方法數(shù)為（）.

A.432B.576C.696D.960

4.復(fù)數(shù)2i（l+i）的模為（）.

1廠

A.-B.1C.2D.2V2

5.設(shè)全集U=R,集合A={x［（x—l）（x—3）20},x|W>；,.則集合（2A）DB等于（）

A.(1,2)B.(2,3]C.(1,3)D.(2⑶

則冬+的最小值為（）

6.已知實(shí)數(shù)。〉0,6〉1滿足/+35,

ab-\

3+20?3+4收3+2、口3+4收

A.-------B.-------c

4466

7.定義兩種運(yùn)算“★”與“?力對任意〃eN*，滿足下列運(yùn)算性質(zhì)：①2★2018=1,2018*1=1；②（2〃）

★2018=2[（2n+2）*2018],2018?（"+D=2（2018?〃），則（2018.2020）（2020*2018）的值為（）

A.21011B.21010C.2'009D.2'008

22

8.若AB為過橢圓工+上=1中心的弦，耳為橢圓的焦點(diǎn)，則46AB面積的最大值為（）

16925

A.20B.30C.50D.60

9.一個(gè)幾何體的三視圖及尺寸如下圖所示，其中正視圖是直角三角形，側(cè)視圖是半圓，俯視圖是等腰三角形，該幾何

體的表面積是（）

側(cè)視圖

俯視圖

A.16夜+16%

B.16夜+8萬

C.8&+16萬

D.8應(yīng)+8萬

10.已知雙曲線。：j—2V=13＞0,。＞0）,點(diǎn)P（%,%）是直線/求一。＞+4a=0上任意一點(diǎn)，若圓

ab“

（刀一%）2+（丁一%）2=1與雙曲線。的右支沒有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率取值范圍是（）.

A.（1,2]B.（1,4]C.[2,+00）D.[4,+00）

11.已知數(shù)列組/滿足力且a“+】=4a“+3（”CN*）,則數(shù)列口）的通項(xiàng)公式為（）

-2〃-1,-1,-2n,?2門,

A.2+1B.2-1c.2+1Y）.2-1

12.若不等式“111（》+1）-丁+2->0在區(qū)間（0,+00）內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

―932］（932、

121n2ln5j121n2ln5j

（932119、

C.----，---D.----,+°o

121n2ln5j121n2J

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.四面體A-3QD中，AB_L底面8CO,AB=BD=42?CB=CD=\,則四面體A-BCD的外接球的表面積為

14.在區(qū)間［-6,2］內(nèi)任意取一個(gè)數(shù)%,則.％恰好為非負(fù)數(shù)的概率是.

15.若sin（a+四）=—」,ae（O,7t）,貝！Jcos（E-a）=_______.

6312

16.（2x-if的展開式中/的系數(shù)為（用具體數(shù)據(jù)作答）.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù)/（x）=Asin（3x+e）（A〉O,69>O,-5<e<q］的最小正周期是不，且當(dāng)x=C時(shí)，f（x）

取得最大值2.

（1）求/（》）的解析式；

（2）作出“X）在［0,句上的圖象（要列表）.

18.（12分）如圖，已知橢圓E的右焦點(diǎn)為鳥。,0）,P,。為橢圓上的兩個(gè)動點(diǎn)，APQK周長的最大值為8.

（I）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（11）直線/經(jīng)過工，交橢圓￡于點(diǎn)4,8,直線，"與直線/的傾斜角互補(bǔ)，且交橢圓E于點(diǎn)M,N,|MN『=4|AB|,

求證：直線"?與直線/的交點(diǎn)T在定直線上.

19.（12分）如圖，在矩形A8C。中，AB=2,BC=3,點(diǎn)E是邊A￡>上一點(diǎn)，且AE=2ED,點(diǎn)”是8E的中點(diǎn),

將/XABE沿著的折起，使點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)S處，且滿足SC=SO.

(1)證明：5”_1平面8。?！?；

(2)求二面角C—S3—￡的余弦值.

27

20.(12分)橢圓C：廠「=1(4>8>0)的右焦點(diǎn)/(、/10),過點(diǎn)F且與X軸垂直的直線被橢圓截得的弦長為

3vL

(1)求橢圓。的方程；

(2)過點(diǎn)(2,0)且斜率不為0的直線與橢圓。交于“，N兩點(diǎn).。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓。的右頂點(diǎn)，求四邊形

OM4N面積的最大值.

21.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=|x+a],a>0.

(1)當(dāng)。=2時(shí)，求不等式的解集；

(n)若函數(shù)g(x)="X)+/(I-X)的圖象與直線y=11所圍成的四邊形面積大于20,求a的取值范圍.

22.(10分)如圖，在四棱錐P—ABC。中，PA_L底面ABC。，AD±AB,AB//DC,AD=DC=AP=2,

A6=l,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).

(1)證明：BE工DC：

(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；

(3)若尸為棱PC上一點(diǎn)，滿足8EJ.AC,求二面角/—AB—P的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

由題意，設(shè)每一行的和為q,可得q=6+4+1+…+4+IT=〃(”+2i+l),繼而可求解

a=q+C2+...+c,,=2〃2(〃+l),表示力裂項(xiàng)相消即可求解.

bn2n[n+1)

【詳解】

由題意，設(shè)每一行的和為q

故q=%+4+]+...+a/1="=n(幾+21+1)

因此：bn=Cj+。2+.??+%=疥(〃+3)+(〃+5)+.??+(〃+2〃+1)]=2〃2(〃+1)

bn2〃(〃+l)2nn+1

…111111、1八1、1010

故*^2020=—(]-----1---------F??.H------------------)=—(1---------)=------

2020222320202021220212021

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列型數(shù)陣的求和，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

2.C

【解析】

在A中，a與力相交或平行；在B中，〃//a或九ua；在c中，由線面垂直的判定定理得〃，a；在D中，加與

夕平行或根u6.

【詳解】

設(shè)是兩條不同的直線，外乃是兩個(gè)不同的平面，貝！j：

在A中，若加//a,mtIp,則a與夕相交或平行，故A錯(cuò)誤;

在B中，若/〃_La,mLn,則〃//。或〃ua,故B錯(cuò)誤；

在C中，若加_La,m//n,則由線面垂直的判定定理得〃，a,故C正確；

在D中，若。，，，加_La,則加與尸平行或機(jī)u耳，故D錯(cuò)誤.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，是中檔題.

3.B

【解析】

先把沒有要求的3人排好，再分如下兩種情況討論：1.甲、丁兩者一起，與乙、丙都不相鄰，2.甲、丁一起與乙、丙二

者之一相鄰.

【詳解】

首先將除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有A；種不同排列方式，甲、丁排在一起共有否種不同方式；

若甲、丁一起與乙、丙都不相鄰，插入余下三人產(chǎn)生的空檔中，共有A：種不同方式；

若甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰，插入余下三人產(chǎn)生的空檔中，共有種不同方式；

根據(jù)分類加法、分步乘法原理，得滿足要求的排隊(duì)方法數(shù)為A；（圖+C；A：）=576種.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，在分類時(shí)，要注意不重不漏的原則，本題是一道中檔題.

4.D

【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解.

【詳解】

解：v2/（1+0=-2+2/,

復(fù)數(shù)2/（1+/）的模為7（-2）2+22=20.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題.

5.A

【解析】

先算出集合電A,再與集合8求交集即可.

【詳解】

因?yàn)锳={x|xN3或x〈l}.所以,A={x11<x<3},又因?yàn)?={x12'<4|={x\x<2}.

所以（6A）cB={x[l<x<2}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合間的基本運(yùn)算，涉及到解一元二次不等式、指數(shù)不等式，是一道容易題.

6.A

【解析】

21191

所求一+—的分母特征，利用。+。=5變形構(gòu)造。+（。-1）=4,再等價(jià)變形一（一+—）口+（。-1）］,利用基本不

ab-14ab-\

等式求最值.

【詳解】

解：因?yàn)??！?3〉1滿足a+/?=5,

貝（12H--——（―H—--）ra+（z?—i）-ix—

ab-\a。-11'〃4

1P2（6-1）Mi，

-3+———L+——a

4ab-\

當(dāng)且僅當(dāng)坐心=」一時(shí)取等號，

ab-1

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查通過拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.（1）拼湊的

技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形;（2）代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的

定值為目標(biāo)（3）拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提.

7.B

【解析】

根據(jù)新運(yùn)算的定義分別得出2018?ZOZO和2020*2018的值，可得選項(xiàng).

【詳解】

由（2〃）*2018=2［（2n+2）*2018］,得（2〃+2）★2018=-（2n*2018）,

又2*2018=1,所以2018=(,6*2018=(；］，8*2018=^，…，以此類推,

1010-1/?\1009

2020*2018=(2x101())★2018

又2018?(〃+1)=2(2018?〃)，2018*1=1,

所以2018.2=2,201843=22，2018+4=23，…，以此類推，2018?2020=22019.

所以(2018.2020)(2020*2018)=11Ix22019=2101%

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查定義新運(yùn)算，關(guān)鍵在于理解，運(yùn)用新定義進(jìn)行求值，屬于中檔題.

8.D

【解析】

先設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)對稱性可得8(-x,-y),在表示出面積，由圖象遏制，當(dāng)點(diǎn)4在橢圓的頂點(diǎn)時(shí),

此時(shí)AKAB面積最大，再結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解.

【詳解】

由題意，設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(為丫)，根據(jù)對稱性可得

則A8的面積為S=1x|OF|x|2^|=c|y|,

當(dāng)3最大時(shí)，AWAB的面積最大，

由圖象可知，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)的面積最大，

22

又由工+乙=1,可得橢圓的上下頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-5),(0,5),

16925

所以△"的面積的最大值為s=cb=立萬x5=60.

故選：D.

X

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì)，以及三角形面積公式的應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及化

歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

9.D

【解析】

由三視圖可知該幾何體的直觀圖是軸截面在水平面上的半個(gè)圓錐，表面積為

及+,萬22+,%26=8及+8萬,故選口.

222

10.B

【解析】

先求出雙曲線的漸近線方程，可得則直線bx—ay+2a=0與直線bx—ay=O的距離d,根據(jù)圓

（*一*0）2+。一丫0『=1與雙曲線。的右支沒有公共點(diǎn)，可得dNl,解得即可.

【詳解】

22卜

由題意，雙曲線C:「—4=1年>0力〉0）的一條漸近線方程為丫=一*,即bx-ay=（）,

aba

P（x0,y0）是直線bx-ay+4a=0上任意一點(diǎn)，

4a4a

則直線bx—ay+4a=0與直線bx—ay=O的距離d=/,,=—,

，a,+b~c

?圓（x—x0）2+（y—y0）2=l與雙曲線。的右支沒有公共點(diǎn)，則d21,

4。c

A—>1,即e=-W4,又e>l

ca

故c的取值范圍為（1,4],

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了直線和雙曲線的位置關(guān)系，以及兩平行線間的距離公式，其中解答中根據(jù)圓與雙曲線。的右支沒有公

共點(diǎn)得出dNl是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.D

【解析】

a+1

n+l

--------=4

試題分析：因?yàn)?4%+3,所以，+/+/=4。+〃，即a,,+1,所以數(shù)列〃是以4+/=4為首項(xiàng)，

ii-lfi2H2U2H

公比為4的等比數(shù)列，所以%=4*4=4=2,即與=2-1,所以數(shù)列口)的通項(xiàng)公式是%=2--1,故選D

考點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式.

12.C

【解析】

由題可知，設(shè)函數(shù).f(x)=aln(x+l),g(x)=V一2/,根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出g(x)的極值點(diǎn)，得出單調(diào)性，根據(jù)

?ln(x+l)-x3+>0在區(qū)間(0,+8)內(nèi)的解集中有且僅有三個(gè)整數(shù)，轉(zhuǎn)化為/(x)>g(x)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)的解集

中有且僅有三個(gè)整數(shù)，結(jié)合圖象，可求出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

設(shè)函數(shù)/(x)=aln(x+l),g(x)=x3-2x2,

因?yàn)間'(x)=3--4x,

所以g'(x)=0,

-4

x=0X=9

3

4

因?yàn)?<冗〈一時(shí)，g\x)<0,

3

4

或x<0時(shí)，g'(x)>0,g(0)=g(2)=0,其圖象如下：

/(3)>g(3)

當(dāng)。>0時(shí)，/(x)>g(x)在(0,+8)內(nèi)的解集中僅有三個(gè)整數(shù)，只需

,/(4)?g(4)

?ln4>33-2x32

"aln5?43-2X42'

932

所以-------<------?

21n2In5

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查不等式的解法和應(yīng)用問題，還涉及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)圖象，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合思想和解題能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.

【解析】

由題意畫出圖形，補(bǔ)形為長方體，求其對角線長，可得四面體外接球的半徑，則表面積可求.

【詳解】

解：如圖，在四面體中，45_L底面BCD,AB=BD=ACB=CD=\,

可得N3CD=9()。，補(bǔ)形為長方體，則過一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長分別為1,1,0,

則長方體的對角線長為"+『+(揚(yáng)2=2,則三棱錐A-BCD的外接球的半徑為1.

其表面積為4萬*1?=4萬.

故答案為：4萬.

【點(diǎn)睛】

本題考查多面體外接球表面積的求法，補(bǔ)形是關(guān)鍵，屬于中檔題.

1

14.-

4

【解析】

先分析非負(fù)數(shù)對應(yīng)的區(qū)間長度，然后根據(jù)幾何概型中的長度模型，即可求解出“玉,恰好為非負(fù)數(shù)”的概率.

【詳解】

當(dāng)毛是非負(fù)數(shù)時(shí)，/€[0,2],區(qū)間長度是2-0=2,

又因?yàn)閇-6,2]對應(yīng)的區(qū)間長度是2-(-6)=8,

所以“X。恰好為非負(fù)數(shù)”的概率是尸=(=%

故答案為：—.

4

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何概型中的長度模型，難度較易.解答問題的關(guān)鍵是能判斷出目標(biāo)事件對應(yīng)的區(qū)間長度.

15.

6

【解析】

因?yàn)?2+1)+(不?-c)所以/一。=:一(。+工)?因?yàn)槎?。,兀)，所以二十1￡(工，-2-)，又sing+工)=一彳＜。，所

6124124666663

以。+^￡(兀?)，所以

o6

,冗\(yùn)/1..7T、r兀/兀兀z兀、兀./兀、

costa+—)=-J1-(——)=-----.cos(----a)=cos[(a+—)]=cos—cos(a+—)+sin—sm(a+—)

6V3312464646

20夜IT-a

-2X(3)+TX(-5)-6,

16.60

【解析】

利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可求/的系數(shù).

【詳解】

6r

(2x-1)的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+}=C；(2x)~(-l),

令6f=2,故廠=4,故/的系數(shù)為(T)4C：X22=60.

故答案為：60.

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)的系數(shù)，注意利用通項(xiàng)公式來計(jì)算，本題屬于容易題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)〃x)=2sin(2x+2］；(2)見解析.

【解析】

(1)根據(jù)函數(shù)y=/(x)的最小正周期可求出。的值，由該函數(shù)的最大值可得出A的值，再由=結(jié)合。的

取值范圍可求得。的值，由此可得出函數(shù)y=/(x)的解析式；

(2)由xe［0,%］計(jì)算出2x+工的取值范圍，據(jù)此列表、描點(diǎn)、連線可得出函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［0,句上的圖象.

【詳解】

(1)因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)的最小正周期是萬，所以啰=2￡=2.

冗

又因?yàn)楫?dāng)x=￡時(shí)，函數(shù)y=/(x)取得最大值2,所以A=2,

同時(shí)2x三+0=2%?+工化eZ),得(p=2k兀+三(kwZ),

626

A/(x)=2sin|^2x+^；

因?yàn)橐?＜夕＜5，所以e=w，所c

7t137r

(2)因?yàn)閤e［0,4),所以+一%干上

列表如下：

71713413%

2x+-712兀

66~2T~6~

兀5424Ibr

X071

6T~12

小)120-201

描點(diǎn)、連線得圖象:

I

—

L

I

I

市31

石!/Iij-x

_——---

I1/III

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦函數(shù)解析式的求解，同時(shí)也考查了利用五點(diǎn)作圖法作圖，考查分析問題與解決問題的能力，屬于中等題.

丫

18.(I)—+^-2=1；(II)詳見解析.

43

【解析】

(I)由橢圓的定義可得，APQ居周長取最大值時(shí)，線段PQ過點(diǎn)片，可求出4,從而求出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)設(shè)直線/：y=%(x-1)(左。0),直線江y=T：(x+。，4(無“yj,8(與,必)，”(七,%)，'(4%).把

直線，”與直線/的方程分別代入橢圓E的方程，利用韋達(dá)定理和弦長公式求出慳甘和,根據(jù)|MN「=4|AB|求

出t的值.最后直線m與直線/的方程聯(lián)立，求兩直線的交點(diǎn)即得結(jié)論.

【詳解】

(I)設(shè)APQK的周長為L,

則乙=|尸弱|+依閭+歸。=24—?dú)w國+2”—|0用+歸0=4〃一(歸用+依用)+歸0

<4a-\PQ\+\PQ\=4a,當(dāng)且僅當(dāng)線段PQ過點(diǎn)F］時(shí)“=”成立.

4a=8,a=2,又c=1,b=百>

?2

，橢圓￡的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+匕=1.

43

(II)若直線/的斜率不存在，則直線加的斜率也不存在，這與直線)與直線/相交于點(diǎn)T矛盾，所以直線/的斜率存

在.

設(shè)/:y=Z(x-l)(%H0),m:y=-k(x+t),4(%,y),B(x,,y2),M(x3,y3),N(x4,y4).

將直線機(jī)的方程代入橢圓方程得：(3+4公)/+8左2次+492產(chǎn)—3)=0.

8kzt4（后2_3）

..X,+xX-X=------i，

43+4Q33443+4公

l2/,\16（12%2-3后2+9）

\MN\~=（l+k2）?—------------5——L

111；（3+4巧2,

4灰花12（1+的

問理,|=Ji+/

3+4公―3+4公

由|MN「=4|A同得/=0,此時(shí)△=64二/一16（3+4公）（公『_^>0

/.直線m:y=-kx,

f11A

聯(lián)立直線機(jī)與直線/的方程得T\---k

即點(diǎn)T在定直線》='.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于難題.

A

19.（1）見解析；（2）巴

3

【解析】

（1）取CO的中點(diǎn)"，連接"M,SM,由SE=S3=2,進(jìn)而由SC=SD,得SM_LCD.進(jìn)而

平面SHM,進(jìn)而結(jié)論可得證（2）（方法一）過〃點(diǎn)作CO的平行線GH交8C于點(diǎn)G,以點(diǎn)”為坐標(biāo)原點(diǎn)，

所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系“一沖2,求得平面SBC,平面S8E的

法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取BS的中點(diǎn)N,8C上的點(diǎn)P,使BP=2PC,連接HN,PN,PH,得

HN±BS,HPLBE,得二面角C—S3—￡的平面角為ZPNH,再求解即可

【詳解】

（1）證明：取8的中點(diǎn)M，連接HM,SM,由已知得AE=AB=2,所以SE=SB=2,又點(diǎn)”是BE的中

點(diǎn)，所以

因?yàn)镾C=SD,點(diǎn)M是線段CD的中點(diǎn)，

所以SN

又因?yàn)樗浴?0_!CD,從而CD_L平面S”M,

所以CDJ.S”，又C。，8E不平行，

所以SHL平面BCDE.

（2）（方法一）由（1）知，過，點(diǎn)作。。的平行線G"交BC于點(diǎn)G,以點(diǎn)〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線

分別為X軸、）'軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz,則點(diǎn)3（1,—LO）,C（l,2,0）,￡（-1,1,0）,

S（0,0,72）,

X

所以就=（0,3,0）,SE=（-2,2,0）,壽=（-1,1,3）.

設(shè)平面SBE的法向量為沅=（%，x，zj,

由加?絲一,,得西，令x=i,得沅=（i1,0）.

[fn-BS=Q[-x,+J.+V2Z,=0'7

同理，設(shè)平面SBC的法向量為八=（/,%，Z2），

「萬?品=0J%=0

由《一—.，得〈1-,

n-BS=01一9+%+V2Z2-0

令Z2=l,得力=（四,0,1）.

/TiFt\/213

所以二面角C—SB—E的余弦值為cos〈瓶n）=在篙=.廣廠=—.

\m\\n\V2xV33

（方法二）取的中點(diǎn)N,BC上的點(diǎn)尸，使3P=2PC,連接HN,PN,PH,易知HNLBS，HP±BE.

BpC

由(1)得陽，HP,所以"PL平面BSE,所以“P_LSB,

又HNLBS,所以8S_L平面PHN,

所以二面角。一56-￡的平面角為NPN”.

又計(jì)算得M7=l,PH=五，PN=6

所以cosNPNH=」=走.

括3

【點(diǎn)睛】

本題考查線面垂直的判定，考查空間向量求二面角，考查空間想象及計(jì)算能力，是中檔題

22

20.(1)—+-^-=1(2)最大值2?

【解析】

(1)根據(jù)通徑空=3五和,=后即可求

(2)設(shè)直線MN方程為x=my+2,聯(lián)立橢圓，利用S四邊形0四外，=5屹加+5Q四，用含團(tuán)的式子表示出

S四邊形OMAN=S^OAM+S&OAN?用/=13加2+2換元，

86873

可得與

皿。77r名，最后用均值不等式求解.

【詳解】

解：(D依題意有°=&,a=26b=瓜,所以橢圓的方程為1+4=1.

86

片+匚1

(2)設(shè)直線MN的方程為％=沖+2,聯(lián)立〈86，得（3加2+4）y?+12my-12=0.

x=my+2

-12771-12

所以y+%=-——‘y%=-；——

3m2+423m2+4

X=

所以S四邊形四入'=S△。人“+SQAN=-2>/2||+-X2^2|y21夜|必一%|

2

"-128舊3/+2

==I-4

可。而石、3m2+43川+4

令，=/3加+2，貝卜之近，

_8yfit8\/3o__

所以3四邊形OMAN=Q2=—2,因.2夜，則，+—220,所以s四邊形0MAN42n，當(dāng)且僅當(dāng).=&,即/〃=0

tHt

t

時(shí)取得等號，

即四邊形OMAN面積的最大值2底.

【點(diǎn)睛】

考查橢圓方程的求法和橢圓中四邊形面積最大值的求法，是難題.

21.(1)(―OO,-1)D(2,+8)(2)(0,4)

【解析】

(1)當(dāng)。=2時(shí)，不等式為k+z<%2.

若x2—2,則％+2<犬2，解得x>2或x<—1,結(jié)合x>-"2得x>2或?-2Wx<—1.

若工<-2,則—%—2<f,不等式恒成立，結(jié)合》<-2得x<-2.

綜上所述,不等式解集為(f，-1)u(2,+8).

2x-\,x>a+\

(II)g(x)=|.r+fl|+|.r-a-1|=<2a+1,—<2<x<a+\

-2x+1,xW—ci

則g(x)的圖象與直線y=u所圍成的四邊形為梯形，

令2x-1=11,得x=6,令-2x+1=11,得x=-5,

則梯形上底為2。+1,下底為11,高為11一(2°+1)=10-2a

ril+(2a+l)l.、

S=i=————^(10-2a)>20.

化簡得—20<0,解得-5<a<4,結(jié)合。>0,得"的取值范圍為