人教版高中數(shù)學(xué)必修二教材用書直線與方程3.1-2兩條直線平行與垂直的判定word版含答案2

08/807/8/3．1.2兩條直線平行與垂直的判定兩條直線平行[提出問題]平面幾何中，兩條直線平行，同位角相等．問題1：在平面直角坐標(biāo)中，若l1∥l2，則它們的傾斜角α1與α2有什么關(guān)系？提示：相等．問題2：若l1∥l2，則l1，l2的斜率相等嗎？提示：不一定，可能相等，也可能都不存在．問題3：若l1與l2的斜率相等，則l1與l2一定平行嗎？提示：不一定．可能平行也可能重合．[導(dǎo)入新知]對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.[化解疑難]對(duì)兩條直線平行與斜率的關(guān)系要注意以下幾點(diǎn)(1)l1∥l2?k1＝k2成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②l1與l2不重合．(2)當(dāng)兩條直線不重合且斜率都不存在時(shí)，l1與l2的傾斜角都是90°，則l1∥l2.(3)兩條不重合直線平行的判定的一般結(jié)論是：l1∥l2?k1＝k2或l1，l2斜率都不存在．兩條直線垂直[提出問題]已知兩條直線l1，l2，若l1的傾斜角為30°，l1⊥l2.問題1：上述問題中，l1，l2的斜率是多少？提示：k1＝eq\f(\r(3),3)，k2＝－eq\r(3).問題2：上述問題中兩直線l1，l2的斜率有何關(guān)系？提示：k1k2＝－1.問題3：若兩條直線垂直且都有斜率，它們的斜率之積一定為－1嗎？提示：一定．[導(dǎo)入新知]如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于－1；反之，如果它們的斜率之積等于－1，那么它們互相垂直，即l1⊥l2?k1k2＝－1.[化解疑難]對(duì)兩條直線垂直與斜率的關(guān)系要注意以下幾點(diǎn)(1)l1⊥l2?k1·k2＝－1成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0.(2)兩條直線中，一條直線的斜率不存在，同時(shí)另一條直線的斜率等于零，則兩條直線垂直．(3)判定兩條直線垂直的一般結(jié)論為：l1⊥l2?k1·k2＝－1，或一條直線的斜率不存在，同時(shí)另一條直線的斜率等于零．兩條直線平行的判定[例1]根據(jù)下列給定的條件，判斷直線l1與直線l2是否平行．(1)l1經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)，B(－3,5)，l2經(jīng)過點(diǎn)C(3，－3)，D(8，－7)；(2)l1經(jīng)過點(diǎn)E(0,1)，F(xiàn)(－2，－1)，l2經(jīng)過點(diǎn)G(3,4)，H(2,3)；(3)l1的傾斜角為60°，l2經(jīng)過點(diǎn)M(1，eq\r(3))，N(－2，－2eq\r(3))；(4)l1平行于y軸，l2經(jīng)過點(diǎn)P(0，－2)，Q(0,5)．[解](1)由題意知，k1＝eq\f(5－1,－3－2)＝－eq\f(4,5)，k2＝eq\f(－7＋3,8－3)＝－eq\f(4,5)，所以直線l1與直線l2平行或重合，又kBC＝eq\f(5－?－3?,－3－3)＝－eq\f(4,3)≠－eq\f(4,5)，故l1∥l2.(2)由題意知，k1＝eq\f(－1－1,－2－0)＝1，k2＝eq\f(3－4,2－3)＝1，所以直線l1與直線l2平行或重合，kFG＝eq\f(4－?－1?,3－?－2?)＝1，故直線l1與直線l2重合．(3)由題意知，k1＝tan60°＝eq\r(3)，k2＝eq\f(－2\r(3)－\r(3),－2－1)＝eq\r(3)，k1＝k2，所以直線l1與直線l2平行或重合．(4)由題意知l1的斜率不存在，且不是y軸，l2的斜率也不存在，恰好是y軸，所以l1∥l2.[類題通法]判斷兩條不重合直線是否平行的步驟[活學(xué)活用]求證：順次連接A(2，－3)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，－\f(7,2)))，C(2,3)，D(－4,4)四點(diǎn)所得的四邊形是梯形(如圖所示)．證明：因?yàn)閗AB＝eq\f(－\f(7,2)－?－3?,5－2)＝－eq\f(1,6)，kCD＝eq\f(4－3,－4－2)＝－eq\f(1,6)，所以kAB＝kCD，從而AB∥CD.因?yàn)閗BC＝eq\f(3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2))),2－5)＝－eq\f(13,6)，kDA＝eq\f(－3－4,2－?－4?)＝－eq\f(7,6)，所以kBC≠kDA，從而直線BC與DA不平行．因此，四邊形ABCD是梯形．兩條直線垂直的問題[例2]已知直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(3，a)，B(a－2，－3)，直線l2經(jīng)過點(diǎn)C(2,3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，求a的值．[解]設(shè)直線l1，l2的斜率分別為k1，k2.∵直線l2經(jīng)過點(diǎn)C(2,3)，D(－1，a－2)，且2≠－1，∴l(xiāng)2的斜率存在．當(dāng)k2＝0時(shí)，a－2＝3，則a＝5，此時(shí)k1不存在，符合題意．當(dāng)k2≠0時(shí)，即a≠5，此時(shí)k1≠0，由k1·k2＝－1，得eq\f(－3－a,a－2－3)·eq\f(a－2－3,－1－2)＝－1，解得a＝－6.綜上可知，a的值為5或－6.[類題通法]使用斜率公式判定兩直線垂直的步驟(1)一看：就是看所給兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等，若相等，則直線的斜率不存在，若不相等，則進(jìn)行第一步．(2)二用：就是將點(diǎn)的坐標(biāo)代入斜率公式．(3)求值：計(jì)算斜率的值，進(jìn)行判斷．尤其是點(diǎn)的坐標(biāo)中含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)用斜率公式時(shí)要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論．總之，l1與l2一個(gè)斜率為0，另一個(gè)斜率不存在時(shí)，l1⊥l2；l1與l2斜率都存在時(shí)，滿足k1·k2＝－1.[活學(xué)活用]已知定點(diǎn)A(－1,3)，B(4,2)，以AB為直徑作圓，與x軸有交點(diǎn)C，則交點(diǎn)C的坐標(biāo)是________．答案：(1,0)或(2,0)平行與垂直的綜合應(yīng)用[例3]已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四點(diǎn)，若順次連接A，B，C，D四點(diǎn)，試判定四邊形ABCD的形狀．[解]由題意知A，B，C，D四點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置，如圖所示，由斜率公式可得kAB＝eq\f(5－3,2－?－4?)＝eq\f(1,3)，kCD＝eq\f(0－3,－3－6)＝eq\f(1,3)，kAD＝eq\f(0－3,－3－?－4?)＝－3，kBC＝eq\f(3－5,6－2)＝－eq\f(1,2).所以kAB＝kCD，由圖可知AB與CD不重合，所以AB∥CD.由kAD≠kBC，所以AD與BC不平行．又因?yàn)閗AB·kAD＝eq\f(1,3)×(－3)＝－1，所以AB⊥AD，故四邊形ABCD為直角梯形．[類題通法]1．在頂點(diǎn)確定的情況下，確定多邊形形狀時(shí)，要先畫出圖形，由圖形猜測其形狀，為下面證明提供明確目標(biāo)．2．證明兩直線平行時(shí)，僅有k1＝k2是不夠的，注意排除兩直線重合的情況．[活學(xué)活用]已知A(1,0)，B(3,2)，C(0,4)，點(diǎn)D滿足AB⊥CD，且AD∥BC，試求點(diǎn)D的坐標(biāo)．解：設(shè)D(x，y)，則kAB＝eq\f(2,3－1)＝1，kBC＝eq\f(4－2,0－3)＝－eq\f(2,3)，kCD＝eq\f(y－4,x)，kDA＝eq\f(y,x－1).因?yàn)锳B⊥CD，AD∥BC，所以，kAB·kCD＝－1，kDA＝kBC，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1×\f(y－4,x)＝－1，,\f(y,x－1)＝－\f(2,3).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝－6.))即D(10，－6)．eq\a\vs4\al(,,8.利用平行或垂直確定參數(shù)值)[典例](12分)已知直線l1經(jīng)過A(3，m)，B(m－1,2)，直線l2經(jīng)過點(diǎn)C(1,2)，D(－2，m＋2)．(1)若l1∥l2，求m的值；(2)若l1⊥l2，求m的值．[解題流程][規(guī)范解答][名師批注]①處易漏掉而直接利用兩直線平行或垂直所具備的條件來求m值，解答過程不嚴(yán)謹(jǐn)．②①處易漏掉而直接利用兩直線平行或垂直所具備的條件來求m值，解答過程不嚴(yán)謹(jǐn)．②處討論k2＝0和k2≠0兩種情況．③此處易漏掉檢驗(yàn)，做解答題要注意解題的規(guī)范．且k2＝eq\f(2－?m＋2?,1－?－2?)＝－eq\f(m,3)①.(2分)(1)若l1∥l2，則直線l1的斜率也存在，由k1＝k2，得eq\f(2－m,m－4)＝－eq\f(m,3)，解得m＝1或m＝6，(4分)經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)m＝1或m＝6時(shí)，l1∥leq\o\al(③,2).(6分)(2)若l1⊥l2，當(dāng)k2＝0②時(shí)，此時(shí)m＝0，l1斜率存在，不符合題意；(8分)當(dāng)k2≠0②時(shí)，直線l2的斜率存在且不為0，則直線l1的斜率也存在，且k1·k2＝－1，即－eq\f(m,3)·eq\f(2－m,m－4)＝－1，解得m＝3或m＝－4，(10分)所以m＝3或m＝－4時(shí)，l1⊥leq\o\al(③,2).(12分)[活學(xué)活用]已知A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)，D(3,3m＋2)，若直線AB⊥CD，求解：因?yàn)锳，B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)不等，所以AB與x軸不平行．因?yàn)锳B⊥CD，所以CD與x軸不垂直，故m≠－3.當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1，而m＝－1時(shí)，C，D縱坐標(biāo)均為－1，所以CD∥x軸，此時(shí)AB⊥CD當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，由斜率公式得kAB＝eq\f(4－2,－2m－4－?－m－3?)＝eq\f(2,－?m＋1?)，kCD＝eq\f(3m＋2－m,3－?－m?)＝eq\f(2?m＋1?,m＋3).因?yàn)锳B⊥CD，所以kAB·kCD＝－1，解得m＝1.綜上，m的值為1或－1.[隨堂即時(shí)演練]1．下列說法正確的有()①若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線平行；②若l1∥l2，則k1＝k2；③若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線垂直；④若兩條直線的斜率都不存在且兩直線不重合，則這兩條直線平行．A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)答案：A2．直線l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的兩根，則l1與l2的位置關(guān)系是()A．平行 B．重合C．相交但不垂直 D．垂直答案：D3．已知直線l1的傾斜角α1為30°，l2⊥l1，則l2的斜率k2＝________，l2的傾斜角α2＝________.答案：－eq\r(3)120°4．經(jīng)過點(diǎn)(m,3)和(2，m)的直線l與斜率為－4的直線互相垂直，則m的值是________．答案：eq\f(14,5)5．判斷下列各小題中的直線l1與l2的位置關(guān)系．(1)l1的斜率為－10，l2經(jīng)過點(diǎn)A(10,2)，B(20,3)；(2)l1過點(diǎn)A(3,4)，B(3,100)，l2過點(diǎn)M(－10,40)，N(10,40)；(3)l1過點(diǎn)A(0,1)，B(1,0)，l2過點(diǎn)M(－1,3)，N(2,0)；(4)l1過點(diǎn)A(－3,2)，B(－3,10)，l2過點(diǎn)M(5，－2)，N(5,5)．答案：(1)l1⊥l2(2)l1⊥l2(3)l1∥l2(4)l1∥l2[課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測]一、選擇題1．已知過點(diǎn)P(3,2m)和點(diǎn)Q(m,2)的直線與過點(diǎn)M(2，－1)和點(diǎn)N(－3,4)的直線平行，則mA．1 B．－1C．2 D．－2答案：B2．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)為頂點(diǎn)的三角形是()A．銳角三角形B．鈍角三角形C．以A點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形D．以B點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形答案：C3．已知點(diǎn)A(－2，－5)，B(6,6)，點(diǎn)P在y軸上，且∠APB＝90°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(0，－6) B．(0,7)C．(0，－6)或(0,7) D．(－6,0)或(7,0)答案：C4．若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，則下面四個(gè)結(jié)論：①AB∥CD；②AB⊥AD；③AC∥BD；④AC⊥BD中正確的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4答案：C5．已知點(diǎn)A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，則以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是()A．梯形 B．平行四邊形C．菱形 D．矩形答案：B二、填空題6．l1過點(diǎn)A(m,1)，B(－3,4)，l2過點(diǎn)C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，則m＝________.答案：07．已知直線l1的傾斜角為45°，直線l2∥l1，且l2過點(diǎn)A(－2，－1)和B(3，a)，則a的值為________．答案：48．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，點(diǎn)D在x軸上，則當(dāng)點(diǎn)D坐標(biāo)為________時(shí)，AB⊥CD.答案：(－9,0)三、解答題9．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(－1,0)，B(1,1)，C(0,2)，試分別求△ABC三條邊上的高所在直線的斜率．解：設(shè)邊AB，AC，BC上的高所在直線的斜率分別為k1，k2，k3.因?yàn)閗AB＝eq\f(1－0,1－?－1?)＝eq\f(1,2)，所以由kAB·k1＝－1，可得k1＝－2；因?yàn)閗AC＝eq\f(2－0,0－?－1?)＝2，所以由kAC·k2＝－1，可得k2＝－eq\f(1,2)；因?yàn)閗BC＝eq\f(2－1,0－1)＝－1，所以由kBC·k3＝－1，可得k3＝1.綜上可得，邊AB，AC，BC上的高所在直線的斜率分別為－2，－eq\f(1,2)，1.10．直線l1