向量的加減法（原卷版）

9.2.1向量的加減法一、向量的加法運(yùn)算1、定義：求兩個向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法。2、三角形法則：已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作AB＝a，BC＝b，再作向量AC，向量AC叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC3、平行四邊形法則：已知不共線的兩個向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個已知向量a，b為鄰邊作?OACB，對角線OC就是a與b的和【規(guī)定】零向量與任一向量a的和都有a＋0eq\a\vs4\al(＝)0＋a＝eq\a\vs4\al(a).【注意】（1）在使用向量加法的三角形法則時，要注意“首尾相接”，即第一個向量的終點(diǎn)與第二個向量的起點(diǎn)重合，則以第一個向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，并以第二個向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量即兩向量的和；（2）平行四邊形法則的應(yīng)用前提是“共起點(diǎn)”，即兩個向量是從同一點(diǎn)出發(fā)的不共線向量．4、向量加法的運(yùn)算律結(jié)合律：a＋b＝b＋a交換律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)二、向量的減法1、相反向量：與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.（1）規(guī)定：零向量的相反向量仍是仍是零向量；（2）－(－a)＝a；（3）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；（4）若a與b互為相反向量，則a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.【注意】相反向量與相等向量一樣，從“長度”和“方向”兩方面定義，相反向量必為平行向量．2、向量的減法（1）定義：a－b＝a＋(－b)，即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量.（2）幾何意義：以O(shè)為起點(diǎn)，作向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up7(→))＝a－b，如圖所示，即a－b可表示從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量．【注意】在用三角形法則作向量減法時，只要記住“連接向量終點(diǎn)，箭頭指向被減向量”即可．題型一向量的加法法則及應(yīng)用【例1】（2022秋·高一）已知用向量加法的三角形法則作出.（1）；（2）.【變式1-1】（2022·高一）如圖，請?jiān)趫D中直接標(biāo)出：（1）＋．（2）＋＋＋．【變式1-2】（2022·高一課時練習(xí)）（多選）如圖，在平行四邊形ABCD中，下列計算正確的是（）A．B．C．D．【變式1-3】（2022秋·高一課時練習(xí)）如圖，O為正六邊形ABCDEF的中心，作出下列向量：（1）；（2）（3）．題型二向量的減法法則及應(yīng)用【例2】（2022·高一課時練習(xí)）如圖，已知向量，，求作向量．【變式2-1】（2022·高一）在中，分別是的中點(diǎn)，則_________.【變式2-2】（2022秋·甘肅張掖·高一高臺縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）如圖，D，E，F(xiàn)分別是的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則等于（）A．B．C．D．【變式2-3】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）化簡下列式子：（1）；（2）；題型三向量加減法運(yùn)算化簡【例3】（2022秋·重慶江北·高一?？茧A段練習(xí)）化簡：（?）A．B．C．D．【變式3-1】（2022·高一課時練習(xí)）化簡（1）；（2）.【變式3-2】（2022·高一課時練習(xí)）化簡：（1）；（2）.【變式3-3】（2022·全國·高一專題練習(xí)）化簡下列各式：①；②；③；④.其中結(jié)果為的個數(shù)是（）A．1B．2C．3D．4題型四利用向量加減法證明等式【例4】（2021·高一課時練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)、、分別是三邊、、的中點(diǎn)，求證：.【變式4-1】（2022·高一課時練習(xí)）如圖，已知D，E，F(xiàn)分別為的三邊，，的中點(diǎn)，求證：．【變式4-2】（2022·高一課時練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于O點(diǎn)，P為平面內(nèi)任意一點(diǎn).求證：＋＋＋＝4.【變式4-3】（2021·高一課時練習(xí)）已知、、分別是的邊、、的中點(diǎn)，是平面內(nèi)任意一點(diǎn)．求證：．題型五向量加減法在幾何中的應(yīng)用【例5】（2022秋·廣東梅州·高一梅州市梅江區(qū)嘉應(yīng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在四邊形中，＝，則四邊形為（）A．矩形B．正方形C．平行四邊形D．菱形【變式5-1】（2022秋·高一課時練習(xí)）在中，若，則的形狀為（）A．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【變式5-2】（2022·高一課時練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，，則必有（）A．四邊形ABCD是矩形B．＝或＝C．＝D．四邊形ABCD是正方形【變式5-3】（2022秋·山東威?！じ咭蝗樯绞械谝恢袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）P為四邊形ABCD所在平面上一點(diǎn)，，則P為（）．A．四邊形ABCD對角線交點(diǎn)B．AC中點(diǎn)C．BD中點(diǎn)D．CD邊上一點(diǎn)題型六向量加減法在實(shí)際中的應(yīng)用【例6】（2022·高一課時練習(xí)）有一條東西向的小河，小船以20km/h的靜水速度按北偏西方向行駛，同時河水的流速為向東10km/h，則小船實(shí)際航行速度的大小和方向？【變式6-1】（2022·全國·高一專題練習(xí)）一艘船在水中航行，水流速度與船在靜水中航行的速度均為.如果此船實(shí)際向南偏西方向行駛，然后又向西行駛，你知道此船在整個過程中的位移嗎?【變式6-2】（2022·高一單元測試）2020年10月27日，在距離長江口南支航道0.7海里的風(fēng)機(jī)塔上，東海航海保障中心上海航標(biāo)處順利完成臨港海上風(fēng)電場AIS（船舶自動識別系統(tǒng)）基站的新建工作，中國首個海上風(fēng)機(jī)塔AIS基站宣告建成.已知風(fēng)機(jī)的每個轉(zhuǎn)子葉片的長度為20米，每兩個葉片之間的夾角相同，風(fēng)機(jī)塔（桿）的長度為60米，葉片隨風(fēng)轉(zhuǎn)動，假設(shè)葉片與風(fēng)機(jī)塔在同一平面內(nèi)，如下圖所示，則的最小值為（）A．