高考數(shù)學(xué)（理）一輪精選教師用書人教通用第8章3第3講空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系

第3講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1．四個公理公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面．公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．公理2的三個推論：推論1：經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．2．空間直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)))(2)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．(3)等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)．3．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系(1)空間中直線和平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點(diǎn)直線a在平面α內(nèi)a?α有無數(shù)個公共點(diǎn)直線在平面外直線a與平面α平行a∥α沒有公共點(diǎn)直線a與平面α斜交a∩α＝A有且只有一個公共點(diǎn)直線a與平面α垂直a⊥α(2)空間中兩個平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點(diǎn)兩平面平行α∥β沒有公共點(diǎn)兩平面相交斜交α∩β＝l有一條公共直線垂直α⊥β且α∩β＝a判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)如果兩個不重合的平面α，β有一條公共直線a，就說平面α，β相交，并記作α∩β＝a.()(2)兩個平面α，β有一個公共點(diǎn)A，就說α，β相交于過A點(diǎn)的任意一條直線．()(3)兩個平面ABC與DBC相交于線段BC.()(4)沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(教材習(xí)題改編)下列命題正確的是()A．經(jīng)過三點(diǎn)確定一個平面B．經(jīng)過一條直線和一個點(diǎn)確定一個平面C．四邊形確定一個平面D．兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個平面解析：選選項(xiàng)考查公理2，即三點(diǎn)必須不在同一條直線上，才能確定一個平面；B選項(xiàng)如果點(diǎn)在直線上，則該直線和這個點(diǎn)不能確定一個平面；C選項(xiàng)中的四邊形有可能是空間四邊形，只有D是正確的．(教材習(xí)題改編)已知空間四邊形的兩條對角線相互垂直，順次連接四邊中點(diǎn)的四邊形一定是()A．空間四邊形 B．矩形C．菱形 D．正方形解析：選B.如圖所示，易證四邊形EFGH為平行四邊形．因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以EF∥AC.又FG∥BD，所以∠EFG或其補(bǔ)角為AC與BD所成的角．而AC與BD所成的角為90°，所以∠EFG＝90°，故四邊形EFGH為矩形．(教材習(xí)題改編)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為________．解析：連接B1D1，D1C，則B1D1∥EF，故∠D1B1C為所求，又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.答案：60°在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別為側(cè)棱PC，PB的中點(diǎn)，則EF與平面PAD的位置關(guān)系為________，平面AEF與平面ABCD的交線是________．解析：由題易知EF∥BC，BC∥AD，所以EF∥AD，故EF∥平面PAD，因?yàn)镋F∥AD，所以E，F(xiàn)，A，D四點(diǎn)共面，所以AD為平面AEF與平面ABCD的交線．答案：平行AD平面的基本性質(zhì)[典例引領(lǐng)]如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)．求證：E、C、D1、F四點(diǎn)共面．【證明】如圖所示，連接CD1、EF、A1B，因?yàn)镋、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)，所以EF∥A1B且EF＝eq\f(1,2)A1B.又因?yàn)锳1D1綊BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以EF與CD1確定一個平面α，所以E、F、C、D1∈α，即E、C、D1、F四點(diǎn)共面．若本例條件不變，如何證明“CE，D1F，DA交于一點(diǎn)”？證明：如圖，由本例知EF∥CD1，且EF＝eq\f(1,2)CD1，所以四邊形CD1FE是梯形，所以CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則P∈CE，且P∈D1F，又CE?平面ABCD，且D1F?平面A1ADD1，所以P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD，所以CE、D1F、DA三線交于一點(diǎn)．eq\a\vs4\al()共面、共線、共點(diǎn)問題的證明方法(1)證明點(diǎn)或線共面，①首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．(2)證明點(diǎn)共線，①先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；②直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定的直線上．(3)證明線共點(diǎn)，先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)．[提醒]點(diǎn)共線、線共點(diǎn)等都是應(yīng)用公理3，證明點(diǎn)為兩平面的公共點(diǎn)，即證明點(diǎn)在交線上．如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線．證明：(1)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，所以EF∥BD.在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，所以GH∥BD，所以EF∥GH.所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)因?yàn)镋G∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.所以P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn)．又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三點(diǎn)共線．空間兩直線的位置關(guān)系[典例引領(lǐng)](構(gòu)造法)若m，n為兩條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面，則下列命題中正確的是()①若直線m，n都平行于平面α，則m，n一定不是相交直線；②若直線m，n都垂直于平面α，則m，n一定是平行直線；③已知平面α，β互相垂直，且直線m，n也互相垂直，若m⊥α，則n⊥β；④若直線m，n在平面α內(nèi)的射影互相垂直，則m⊥n.A．② B．②③C．①③ D．②④【解析】對于①，m與n可能平行，可能相交，也可能異面，①錯誤；對于②，由線面垂直的性質(zhì)定理可知，m與n一定平行，故②正確；對于③，還有可能n∥β或n與β相交，③錯誤；對于④，把m，n放入正方體中，如圖，取A1B為m，B1C為n，平面ABCD為平面α，則m與n在α內(nèi)的射影分別為AB與BC，且AB⊥BC.而m與n所成的角為60°，故④錯誤．因此選A.【答案】Aeq\a\vs4\al()(1)異面直線的判定方法(2)構(gòu)造法判斷空間兩直線的位置關(guān)系對于線面、面面平行、垂直的位置關(guān)系的判定，可構(gòu)造長方體或正方體化抽象為直觀去判斷，可避免因考慮不全面而導(dǎo)致錯誤，構(gòu)造法實(shí)質(zhì)上是結(jié)合題意構(gòu)造符合題意的直觀模型，然后將問題利用模型直觀地作出判斷，這樣減少了抽象性．[通關(guān)練習(xí)]1．已知空間三條直線l，m，n，若l與m異面，且l與n異面，則()A．m與n異面B．m與n相交C．m與n平行D．m與n異面、相交、平行均有可能解析：選D.在如圖所示的長方體中，m，n1與l都異面，但是m∥n1，所以A，B錯誤；m，n2與l都異面，且m，n2也異面，所以C錯誤．故選D.2．在圖中，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________(填上所有正確答案的序號)．解析：圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面．所以在圖②④中GH與MN異面．答案：②④異面直線所成的角(高頻考點(diǎn))從近幾年的高考試題來看，異面直線所成的角是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題又有填空題，也有解答題，難度為中低檔題．高考對異面直線所成的角的考查主要有以下兩個命題角度：(1)求異面直線所成的角或其三角函數(shù)值；(2)由異面直線所成角求其他量．[典例引領(lǐng)]角度一求異面直線所成的角或其三角函數(shù)值(2017·高考全國卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eqB.eq\f(\r(15),5)C.eq\f(\r(10),5) D.eq\f(\r(3),3)【解析】如圖所示，將直三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，連接AD1，B1D1，則AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其補(bǔ)角為異面直線AB1與BC1所成的角．因?yàn)椤螦BC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AB1＝eq\r(5)，AD1＝eq\r(2).在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°，B1C1＝1，D1C1＝2，所以B1D1＝eq\r(12＋22－2×1×2×cos60°)＝eq\r(3)，所以cos∠B1AD1＝eq\f(5＋2－3,2×\r(5)×\r(2))＝eq\f(\r(10),5)，選擇C.【答案】C角度二由異面直線所成角求其他量四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)．若BD，AC所成的角為60°，且BD＝AC＝1，則EF的長為________．【解析】如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接OE，OF，因?yàn)镺E∥AC，OF∥BD，所以O(shè)E與OF所成的銳角(或直角)即為AC與BD所成的角，而AC，BD所成角為60°，所以∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.當(dāng)∠EOF＝60°時，EF＝OE＝OF＝eq\f(1,2).當(dāng)∠EOF＝120°時，取EF的中點(diǎn)M，則OM⊥EF，EF＝2EM＝2×eq\f(\r(3),4)＝eq\f(\r(3),2).【答案】eq\f(1,2)或eq\f(\r(3),2)eq\a\vs4\al()[通關(guān)練習(xí)]1．如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(包括底面邊長)都是2，E，F(xiàn)分別是AB，A1C1的中點(diǎn)，則EF與側(cè)棱C1C所成的角的余弦值是()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(1,2) D．2解析：選B.如圖，取AC中點(diǎn)G，連接FG，EG，則FG∥C1C，F(xiàn)G＝C1C；EG∥BC，EG＝eq\f(1,2)BC，故∠EFG即為EF與C1C所成的角，在Rt△EFG中，cos∠EFG＝eq\f(FG,FE)＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).2．(2018·安徽安慶模擬)正四面體ABCD中，E、F分別為AB、BD的中點(diǎn)，則異面直線AF、CE所成角的余弦值為________．解析：取BF的中點(diǎn)G，連接CG，EG，易知EG∥AF，所以異面直線AF、CE所成的角即為∠GEC(或其補(bǔ)角)．不妨設(shè)正四面體棱長為2，易求得CE＝eq\r(3)，EG＝eq\f(\r(3),2)，CG＝eq\f(\r(13),2)，由余弦定理得cos∠GEC＝eq\f(EG2＋CE2－CG2,2EG·CE)＝eq\f(\f(3,4)＋3－\f(13,4),2×\f(\r(3),2)×\r(3))＝eq\f(1,6)，所以異面直線AF、CE所成角的余弦值為eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)eq\a\vs4\al()三個公理的作用公理1是判斷一條直線是否在某個平面的依據(jù)，公理2及其推論是判斷或證明點(diǎn)、線共面的依據(jù)，公理3是證明三線共點(diǎn)或三點(diǎn)共線的依據(jù)．要能夠熟練用文字語言、符號語言、圖形語言來表示公理．求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角，體現(xiàn)了化歸思想．易錯防范(1)正確理解異面直線“不同在任何一個平面內(nèi)”的含義，不要理解成“不在同一個平面內(nèi)”．(2)不共線的三點(diǎn)確定一個平面，一定不能丟掉“不共線”的條件．(3)兩條異面直線所成角的范圍是(0°，90°]．1．已知異面直線a，b分別在平面α，β內(nèi)，且α∩β＝c，那么直線c一定()A．與a，b都相交B．只能與a，b中的一條相交C．至少與a，b中的一條相交D．與a，b都平行解析：選C.若c與a，b都不相交，則c與a，b都平行，根據(jù)公理4，知a∥b，與a，b異面矛盾．2．(2018·贛州四校聯(lián)考)若平面α∥平面β，點(diǎn)A，C∈α，B，D∈β，則直線AC∥直線BD的充要條件是()A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB與CD相交 D．A，B，C，D四點(diǎn)共面解析：選D.因?yàn)槠矫姒痢纹矫姒?，要使直線AC∥直線BD，則直線AC與BD是共面直線，即A，B，C，D四點(diǎn)必須共面．3.如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是()A．直線ACB．直線ABC．直線CDD．直線BC解析：選C.由題意知，D∈l，l?β，所以D∈β，又因?yàn)镈∈AB，所以D∈平面ABC，所以點(diǎn)D在平面ABC與平面β的交線上．又因?yàn)镃∈平面ABC，C∈β，所以點(diǎn)C在平面β與平面ABC的交線上，所以平面ABC∩平面β＝CD.4.如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝2，BC＝1，D為AB的中點(diǎn)，則異面直線CD與A1C1所成的角的大小為()A．90° B．60°C．45° D．30°解析：選D.因?yàn)锳C∥A1C1，所以異面直線CD與A1C1所成的角的平面角為∠ACD.由∠ACB＝90°，AB＝2，BC＝1，D為AB的中點(diǎn)，可知，∠CAD＝∠ACD＝30°.5.(2018·河北邯鄲調(diào)研)如圖，在三棱錐S-ABC中，G1，G2分別是△SAB和△SAC的重心，則直線G1G2與BC的位置關(guān)系是()A．相交B．平行C．異面D．以上都有可能解析：選B.連接SG1并延長交AB于M，連接SG2并延長交AC于N，連接MN.由題意知SM為△SAB的中線，且SG1＝eq\f(2,3)SM，SN為△SAC的中線，且SG2＝eq\f(2,3)SN，所以在△SMN中，eq\f(SG1,SM)＝eq\f(SG2,SN)，所以G1G2∥MN，易知MN是△ABC的中位線，所以MN∥BC，因此可得G1G2∥BC，即直線G1G2與BC的位置關(guān)系是平行．故選B.6．給出下列四個命題：①平面外的一條直線與這個平面最多有一個公共點(diǎn)；②若平面α內(nèi)的一條直線a與平面β內(nèi)的一條直線b相交，則α與β相交；③若一條直線和兩條平行線都相交，則這三條直線共面；④若三條直線兩兩相交，則這三條直線共面．其中真命題的序號是________．解析：①正確，因?yàn)橹本€在平面外即直線與平面相交或直線平行于平面，所以最多有一個公共點(diǎn)．②正確，a，b有交點(diǎn)，則兩平面有公共點(diǎn)，則兩平面相交．③正確，兩平行直線可確定一個平面，又直線與兩平行直線的兩交點(diǎn)在這兩平行直線上，所以過這兩交點(diǎn)的直線也在平面內(nèi)，即三線共面．④錯誤，這三條直線可以交于同一點(diǎn)，但不在同一平面內(nèi)．答案：①②③7.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，有以下四個結(jié)論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結(jié)論為________(注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號都填上)．解析：直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，故①②錯誤．答案：③④8.如圖所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中點(diǎn)，AA1∶AB＝eq\r(2)∶1，則異面直線AB1與BD所成的角為________．解析：如圖，取A1C1的中點(diǎn)D1，連接B1D1，因?yàn)辄c(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，所以B1D1∥BD，所以∠AB1D1即為異面直線AB1與BD所成的角．連接AD1，設(shè)AB＝a，則AA1＝eq\r(2)a，所以AB1＝eq\r(3)a，B1D1＝eq\f(\r(3),2)a，AD1＝eq\r(\f(1,4)a2＋2a2)＝eq\f(3,2)a.所以，在△AB1D1中，由余弦定理得，cos∠AB1D1＝eq\f(ABeq\o\al(2,1)＋B1Deq\o\al(2,1)－ADeq\o\al(2,1),2AB1·B1D1)＝eq\f(3a2＋\f(3,4)a2－\f(9,4)a2,2×\r(3)a×\f(\r(3),2)a)＝eq\f(1,2)，所以∠AB1D1＝60°.答案：60°9．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，(1)求AC與A1D所成角的大??；(2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大小．解：(1)如圖，連接B1C，AB1，由ABCD-A1B1C1D1是正方體，易知A1D∥B1C，從而B1C與AC所成的角就是AC與A1D所成的角．因?yàn)锳B1＝AC＝B1C，所以∠B1CA＝60°.即A1D與AC所成的角為60°.(2)連接BD，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，所以EF∥BD，所以EF⊥AC.所以EF⊥A1C1.即A1C1與EF所成的角為90°.10.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點(diǎn)．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱錐P-ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．解：(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱錐P-ABC的體積為V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4\r(3),3).(2)如圖，取PB的中點(diǎn)E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故異面直線BC與AD所成角的余弦值為eq\f(3,4).1．(2018·河南百校聯(lián)盟質(zhì)檢)在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是DD1和AB的中點(diǎn)，平面B1EF交棱AD于點(diǎn)P，則PE＝()A.eq\f(\r(15),6) B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(13),6)解析：選D.過點(diǎn)C1作C1G∥B1F，交直線CD于點(diǎn)G，過點(diǎn)E作HQ∥C1G，交CD、C1D1于點(diǎn)H、Q，連接B1Q，HF交AD于點(diǎn)P，HQ∥B1F，所以Q、H、F、B1四點(diǎn)共面，易求得HD＝D1Q＝eq\f(1,4)，由△PDH∽△PAF可得eq\f(AP,PD)＝eq\f(AF,HD)＝2，則PD＝eq\f(1,3)，在Rt△PED中，PE＝eq\r(\f(1,9)＋\f(1,4))＝eq\f(\r(13),6)，故選D.2．已知三棱錐A-BCD中，AB＝CD，且直線AB與CD所成的角為60°，點(diǎn)M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，則直線AB和MN所成的角為________．解析：如圖，取AC的中點(diǎn)P，連接PM，PN，則PM∥AB，且PM＝eq\f(1,2)AB，PN∥CD，且PN＝eq\f(1,2)CD，所以∠MPN為AB與CD所成的角(或其補(bǔ)角)，則∠MPN＝60°或∠MPN＝120°.因?yàn)镻M∥AB，所以∠PMN是AB與MN所成的角(或其補(bǔ)角)．①若∠MPN＝60°，因?yàn)锳B＝CD，所以PM＝PN，則△PMN是等邊三角形，所以∠PMN＝60°，即AB與MN所成的角為60°.②若∠MPN＝120°，則易知△PMN是等腰三角形，所以∠PMN＝30°，即AB與MN所成的角為30°.綜上，直線AB和MN所成的角為60°或30°.答案：60°或30°3．(2017·高考全國卷Ⅲ)a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成30°角；②當(dāng)直線AB與a成60°角時，AB與b成60°角；③直線AB與a所成角的最小值為45°；④直線AB與a所成角的最大值為60°；其中正確的是________．(填寫所有正確結(jié)論的編號)解析：由題意知，a，b，AC三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖．不妨設(shè)圖中所示正方體的棱長為1，則AC＝1，AB＝eq\r(2)，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，則A點(diǎn)保持不變，B點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓．以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以eq\o(CD,\s\up6(→))的方向?yàn)閤軸正方向，eq\o(CB,\s\up6(→))的方向?yàn)閥軸正方向，eq\o(CA,\s\up6(→))的方向?yàn)閦軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．則D(1，0，0)，A(0，0，1)，直線a的單位方向向量a＝(0，1，0)，|a|＝1.B點(diǎn)起始坐標(biāo)為(0，1，0)，直線b的單位方向向量b＝(1，0，0)，|b|＝1.設(shè)B點(diǎn)在運(yùn)動過程中的坐標(biāo)B′(cosθ，sinθ，0)，其中θ為eq\o(CB′,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))的夾角，θ∈[0，2π)．那么AB′在運(yùn)動過程中的向量eq\o(AB′,\s\up6(→))＝(cosθ，sinθ，－1)，|eq\o(AB′,\s\up6(→))|＝eq\r(2).設(shè)直線AB′與a所成的夾角為α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，cosα＝eq\f(|（cosθ，sinθ，－1）·（0，1，0）|,\a\vs4\al(|a||\o(AB′,\s\up6(→))|))＝eq\f(\r(2),2)|sinθ|∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))).故α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以③正確，④錯誤．設(shè)直線AB′與b所成的夾角為β，則β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，cosβ＝eq\f(|\o(AB′,\s\up6(→))·b|,\a\vs4\al(|b||\o(AB′,\s\up6(→))|))＝eq\f(|（cosθ，sinθ，－1）·（1，0，0）|,\a\vs4\al(|b||\o(AB′,\s\up6(→))|))＝eq\f(\r(2),2)|cosθ|.當(dāng)AB′與a成60°角時，α＝eq\f(π,3)，|sinθ|＝eq\r(2)cosα＝eq\r(2)coseq\f(π,3)＝eq\r(2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2).因?yàn)閏os2θ＋sin2θ＝1，所以|cosθ|＝eq\f(\r(2),2).所以cosβ＝eq\f(\r(2),2)|cosθ|＝eq\f(1,2).因?yàn)棣隆蔱q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以β＝eq\f(π,3)，此時AB′與b成60°角．所以②正確，①錯誤．答案：②③4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1、CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線有______