2021年湘豫名校聯(lián)盟高考數(shù)學聯(lián)考試卷(4月份)

222222222021湘豫名校聯(lián)盟高數(shù)學聯(lián)考試（文科（4月份）一、單選題（本大題共12小題共60.0分）已集，1，，，(

，

B.

C.

D.

已知復數(shù)z滿足，???，

??

B.

C.

D.

??

橢圓C：

的心率

B.

C.

D.

開始省試行“普通高考新模式語文數(shù)、外語門選目外，考生再從物理、歷史中選門從化學、生物、地理、政治中選2門作為選考科目．為了幫助學生合理選科，某中將高一每個學生的六門科目綜合成績按比例均縮放成5分制繪制成雷達圖．甲同學的成績雷達圖如圖所示，下面敘述一定不正確的(B.C.D.

甲的物理成績領先年級平均分最多甲有2個科目的成績低于年級平均分甲的成績從高到低的前個目依次是地理化學、歷史對甲而言，物理、化學、地理是比較理想的一種選科結果

已知，B.

，，

D.

已知是奇函數(shù)，當時其e為然對數(shù)的底，則

B.

C.

D.

已知正方體

中EF分是它們所在線段的中點，則滿

平的形個數(shù)為

B.

C.

D.

若，(

B.

C.

或

D.

或

設曲線??與(

有一條斜率為公切線，則

B.

C.

D.

已雙曲線C：16

的焦點為F原點O的線與雙曲線交于兩，則的積第1頁，共頁

????

B.

C.

√

D.

某開設了素描、攝影、剪紙、書法四門選修課，要求每位同學都要選擇其中兩門課程．已知甲同學選了素描，乙與甲沒有相同的課程，丙與甲恰有一門課程相同，丁與丙沒有相同課程．則以說法錯誤的C.

丙有可能沒有選素描乙丁可能兩門課都相同

B.D.

丁有可能沒有選素描這四個人里恰有2個選素描如B，DP是O上點為方形，球心O在面內(nèi)，，則PA與CD所角的余值B.C.D.

10二、單空題（本大題共4小題，20.0分已均單位向量，|?，則的角______．?若數(shù)x，滿足約束條件2則的最大值為______已的內(nèi)角A，C的對邊分別，，若，，角C大小為______．如數(shù)??的圖象與坐標軸交于點A直交(的象于點D坐標原點eq\o\ac(△,)的心三條邊中線的交點，中eq\o\ac(△,)??的積為______．三、解答題（本大題共7小題，82.0分已是差數(shù)列，，，且，??，是等比數(shù)的．求，的項公式；數(shù)是由數(shù)的刪數(shù)的后仍按照原來的順序構成的新數(shù)列列的前20項的和．第2頁，共頁

?????如，在邊長為菱形中，eq\o\ac(△,)??沿AC邊折eq\o\ac(△,)??的置．求；求棱體積的最大值．某險公司有一款保險產(chǎn)品的歷史收益收率利潤保費收的率分布直方圖如圖所示：Ⅰ試計平均收益率；Ⅱ根經(jīng)驗，若每份保單的保費在元基礎上每增元對應的銷量(萬有較強線性相關關系，從歷史銷售記錄中抽樣得到如下5組與y的應數(shù)據(jù)：元

45銷售萬據(jù)此計算出的回歸方程為求數(shù)b的計值；若回歸方程

．當作y與的性關系，用Ⅰ中出的平均收率估計此產(chǎn)品的收益率，每份保單的保費定為多少元時此產(chǎn)品可獲得最大收益，并求出該最大收益．第3頁，共頁

????????????已拋物線C：

的焦點為F，F(xiàn)的所有弦中，最短弦長為4．求物線C的程；在物線C上異于頂點的兩點A分做C的線記兩條切線交于點Q連QF，，證

?．已函

，對于，恒立．求數(shù)a的取值范圍；證：時，

．在面直角坐標系中知是曲上動點OP繞順針旋轉得到，點的跡為曲以坐標原點O極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．求的坐標方程；在坐標系中，，線與線，分別相交于異于極點O的，點，求的積．已函|

，其中．若任恒有

，求的小值；在的件下，的最小值為t，若正數(shù)mn滿，求的小值．第4頁，共頁

第5頁，共頁

2222答案和解析1.

【答案D【解析】解集0，，，{??，??．故選：D．求出集合A，B，由此能求．本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．2.

【答案C【解析】解：設，依題意得，解得，，所以故選：．

．設，題意得，

，得a，即可得出．本題考查了復數(shù)的運算法則、共軛復數(shù)的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．3.【答案C【解析】解：橢圓C

，，，，所以橢圓的離心率為．故選：．利用橢圓方程，求解a，，推出c，然后求解離心率即可．本題考查橢圓的簡單性質的應用，考查離心率的求法，是基礎題．4.

【答案C【解析】【分析】本題考查對圖表數(shù)據(jù)的分析，進行判斷，屬于基礎題．根據(jù)圖表進行選項判斷，可知C錯誤．【解答】解：甲的成績從高到低的前個科目依次是地理、化學、生物物理，C選錯，故選：．5.

【答案【解析】解，0，0.30，，0，故選：A．

0

，0，第6頁，共頁

????????????2利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調性，通過與中間量和比較即可．本題考查三個數(shù)的大小的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性的合理運用．6.

【答案【解析】解

2是函數(shù)，當時，

，則

????22故選：A．由(是函數(shù)可，

，代入已知求2本題主要考查了利用奇函數(shù)的性質求解函數(shù)的函數(shù)值，屬于基礎試題7.

【答案【解析】解中，平至，可知與只一個交點，則與面不行；中由，而平面BDE平，故?平面；中平至，與只有一個交，則與不行；故選：B．平移直線

，斷平移后的直線：在平上平面，平于一點則不平行，即可得解．本題主要考查了線面平行的判定，考查了數(shù)形結合思想和推理論證能力，屬于中檔題．8.

【答案D【解析】【分析】本題考查三角恒等變換等基礎知識，意在考查邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)．利用誘導公式，同角三角函數(shù)基本關系式化簡已知等式，進而根據(jù)二倍角公式即可求解．【解答】解：由題設得cos??

??，所以????，????．2所以??2??2????

??，或??2??2??

2

??

．2第7頁，共頁

2|121111∴?1112|121111∴?11122eq\o\ac(△,??)eq\o\ac(△,)故選：D．9.

【答案【解析】解：設與曲相的切點，的數(shù)′

，由切線的斜率為1，可得則切點為，切線的方程，

，，與

2

聯(lián)立，可得

2

(2

2

，由eq\o\ac(△,)(2

2，

3

，故選：B．設與曲線相的切點為得的數(shù)得切線的斜率和切點而到切線方程，與聯(lián)，運用相切的條件，解方程可得所求值．本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程，考查方程思想和運算能力，屬于基礎題．10.

【答案C【解析】解：設雙曲線的左焦點，連接，，由雙曲線的定義知，?2，2由雙曲線的對稱性知，，即，，，在

中由余弦定理知，

2211|

2

+2||2|??

2

，|2|?|，

，的積eq\o\ac(△,??)eq\o\ac(△,)

?||?12??120°3．故選：．設雙曲線的左焦點為，，雙曲線的對稱性，可，eq\o\ac(△,)??中結合雙曲線的定義和余弦定理，推|?，后由，得解．1本題考查雙曲線的定義與幾何性質，還運用了余弦定理，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于檔題．第8頁，共頁

2224??2??22224??2??211.

【答案C【解析】解：因為甲選擇了素描，所以乙必定沒選素描．那么假設丙選擇了素描，則丁一定沒選素描；若丙沒選素描，則丁必定選擇了素描．綜上，必定有且只有2人擇素描，選，B，判正確不妨設甲另一門選修為攝影，則乙素描與攝影均不選修，則對于素描與攝影可能出現(xiàn)如下兩種情況：情形一：甲

乙

丙

丁素描攝影

情形二：甲

乙

丙

丁素描攝影

由上表可知，乙與丁必有一門課程不相同，因此C不確．故選：．甲選擇了素描，乙必定沒選素描．假設丙選擇了素描，則丁一定沒選素描；丙沒選素描，則丁定選擇了素描．綜上，必定有且只有人選擇素描；不妨設甲另一門選修為攝影，則乙素描與攝影均不選修，則對于素描與攝影可能出現(xiàn)如下兩種情況，列表討論可知，乙與丁必有一門課程不相同．本題考查命題真假的判斷，考查創(chuàng)新意識，意在考查邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng)，考查推理論證力，是中檔題．12.

【答案D【解析】解ABCD為方形，故，即為所求異面直線所成角，設球O的徑為R，由題意可得

2

2

2

，又2，可得，2，，所以故選：D．

2252?2√5

10

．由可即所求異面直線所成角O的徑為根據(jù)球的性質可求eq\o\ac(△,)??三的，利用余弦定理即可求解．本題主要考查異面直線及其所成的角，考查球的性質，屬于中檔題．13.

【答案】

3【解析】解：根據(jù)題意，的角，均單位向，|，則|2

|2，2變形可得：

2

，又由??，則

2??3

，第9頁，共頁

2??222????，因為，以2??222????，因為，以，??3??故答案為：．3根據(jù)題意設的角，數(shù)量積的運行性質可||3變形可得范圍分析可得答案．本題考查向量數(shù)量積的計算，涉及向量夾角的計算，

，結的214.

【答案】4【解析】解：作出可行域如圖所示，則當直線過時直線的截距最大z取大值．由

?23；?2，z最大值：×2．故答案為：4．作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用的何意義，利數(shù)形結合，即可得到結論．本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題等基礎知識，意在考查直觀想象與數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．15.

【答案】

6【解析】解：因，以??，所以????，以，因為，????，所以??，則，以，又

??

2????

，則

????2

．故答案為：．6利用正弦定理、和差公式、誘導公式即可得出．本題主要考查正弦定理差式導公式在考查邏輯推理學運算觀想象等數(shù)學核心素養(yǎng)于中檔題．16.

【答案】2【解析】解：因為Oeq\o\ac(△,)??的心，??,，所以所以

2332

，??，所以

??2

,，第10頁，共15頁

所以222??2??22??22??3??46226所以222??2??22??22??3??46226??3????2

，??=．3因為3

??)????，所以??，3又??，所以，3所以，33于是，33故面積2

3??22

3

3??2

．故答案為：．2根據(jù)三角函數(shù)的對稱性以及重心性質，求出C的標，結合五點對應法求的，可得函數(shù)解析式，求解OB值，利用三角形的面積公式即可求解．本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質，考查了重心性質和三角形的面積公式在解三角形中的應，考查了函數(shù)思想，屬于中檔題．17.【案】解設差數(shù)列的公差為d由，，得3，得3則3；且，，是等比數(shù)的前3項可得，即有3，得，則等比數(shù)列

的公比為

21

4，則4；由可3，4，當取數(shù)列的前項時，包含數(shù)的，此時中含20項所以數(shù)列．

的前20的和為424×23364)2【解析設差數(shù)

的差為，由等差數(shù)列的項公式，解方程可得，進而得

；再由等比數(shù)列的中項性質和等比數(shù)列的通項公式，可；由意可得當取數(shù)的24時，包含數(shù)的4項再由等差數(shù)列的求和公式，計算可得所求和．本題等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查方程思想和運算能力、推理能力屬于中檔題．18.

【答案證：如圖第11頁，共15頁

則則取AC的點為O連接PO，由菱形特點易得，??，又??，、平面POB平面POB，又平POB，解在邊長為的形ABCD中，則，，eq\o\ac(△,??)eq\o\ac(△,)

·??·∠

，

???eq\o\ac(△,??)eq\o\ac(△,)

，當時，的最大值為．【解析】本題考查直線與直線垂直的證明，三棱錐的體積的最值問題，屬于基礎題．取AC的點為，連接POOB證，推平POB然后得到．利用結三角形的面積公式求解即可．19.【案】解Ⅰ區(qū)間中值依次為，，，，，，取值概率依次為，，，，平均收益率+

4

．Ⅱ

，

所以

38

設份保單的保費元則銷量為則保費收入元，+

??

當元時，保費收入最大為萬元，保險公司預計獲利為萬元．【解析】Ⅰ求區(qū)間中值，取值概率，即可估計平均收益率；Ⅱ利用公式，求參數(shù)b的計值；設份保單的保費元量為費收入萬，8

，即可得出結論．本題考查回歸方程，考查概率的計算，考查學生利用數(shù)學知識解決實際問題的能力，屬于中檔．第12頁，共15頁

22，2??2??22244222222，12,1)22，22，2??2??22244222222，12,1)22，2222222224420.

【答案】解當?shù)木€的斜率不存在時，此時弦長為p當過F直線的斜率存在時，設直線的方程

??2

，拋物線的方

2

2??聯(lián)，可得

2

2

??(2

2)

??4

，可得弦長????????2??2??所以最短弦長為??，即??，所以拋物線的方程為

2

4；證：可1,??2,2

，過A切線的程為

14

，與

2

4聯(lián)，可得4

211，4由114

，解得2，所以切線的程

212

，同理可得切線的程為

22

，聯(lián)立可得Q的標

44于是|

12，442122121212+1244444所以

2

?|．【解析分討論當過F直線的斜率不存在和存在時，設出直線方程與拋物線的方程，聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，可得最短弦長，解得，得拋物線的方程；可設1,，2??，出A的線的程，與拋物線的方程聯(lián)立，由判別式為0，可得切線的2斜率，進而得到切線的方程，同理可得切線BQ的程，聯(lián)立，求得Q的坐標，再由兩點的距離公式和拋物線的定義，即可得證．本題考查拋物線的定義、方程和性質，以及直線和拋物線的位置關系，考查方程思想和運算能，屬于中檔題．21.

【答案】解由

成立，

對恒立，令(

，，當，，單遞增，當，，單減，故所求實數(shù)取值范圍；

??????

，證：得

．欲證??

，只需證??????即，第13頁，共15頁

2??????????2????2222????2到射線的距離??，2??????????2????2222????2到射線的距離??，分2????22，|2222|令，

???coscoscos

2

??????+sincos

2

，令(sin

，易在

單調遞增，且

，故存在

)

，使得；當??

時，單遞減，當

,]

時，，單遞增，又，

2

，，????故