高中數(shù)學必修4三角函數(shù)知識點歸納總結(jié)【經(jīng)典】

文檔鑒賞文檔鑒賞《三角函數(shù)》【知識網(wǎng)絡】1、一、任意角的概念與弧度制將沿1、一、任意角的概念與弧度制將沿x軸正向的射線，圍繞原點旋轉(zhuǎn)所形成的圖形稱作角.逆時針旋轉(zhuǎn)為正角，順時針旋轉(zhuǎn)為負角，不旋轉(zhuǎn)為零角同終邊的角可表示為占a=p+kg360o}(kgZ)2、x軸上角：{xja=k旦80o}(kgZ)y軸上角:a=90o+kg180。}(kgZy軸上角:3、第一象限角：0+kg360。<a<90。+kg360o}(kgZ)第二象限角:90。+kg360o<a<180。+kg36O」(kgZ)第三象限角:180o+kg360o<a<270。+kg360o}(kgZ)第四象限角：270。+kg360o<a<360。+kg360o}(kgZ)4、區(qū)分第一象限角、銳角以及小于90。的角第一象限角:{x|0+kg360o<a<90。+kg360。}(kgZ)銳角:{x|0<a<90。小于90。的角:a5、若a為第二象限角，那么-為第幾象限角？兀+2k兀<a<k+2刼2k=l,^<a<k=l,^<a<迺,42k=0,<a<—,42a所以-在第一、三象限6、弧度制：弧長等于半徑時，所對的圓心角為1弧度的圓心角，記作lrad.-180°7、角度與弧度的轉(zhuǎn)化：1°=-0.017451=--57.30°=57°18'180兀8、角度與弧度對應表:角度0°30°45°60°90o120°135°150°180°360°弧度0~612兀T3兀T5兀~6兀2兀9、弧長與面積計算公式弧長：l=axR；面積:TOC\o"1-5"\h\zS=21xR=—axR2弧長：l=axR；面積:二、任意角的三角函數(shù).yxy1、正弦：sma=；余弦cosa=一；正切tana=_rrx其中(x,y)為角a終邊上任意點坐標，r=\,；X2+y2.2、三角函數(shù)值對應表:度0o30o45o60o90o120o135o150o180o270°360o弧度0冗6冗4冗3冗22兀33兀45兀6兀3兀2兀sina012邁221忑2近212010cosa1迺2至21201-22732-101

tana031無-130無03、三角函數(shù)在各象限中的符號口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦.(簡記為“'全stc”1+-1-+I1*-1-+11-+,I1'=■111'+■=4=11—?■I1■+sinatanacosa第一象限:第二象限:第三象限:第四象限:.x>0,y>0sina>0,cosa>0,tana>0,第一象限:第二象限:第三象限:第四象限:.x<0,y>0sina>0,cosa<0,tana<0,.x<0,y<0sina<0,cosa<0,tana>0,.x>0,y<0sina<0,cosa>0,tana<0,4、三角函數(shù)線設任意角a的頂點在原點O，始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交與P(x,y),過P作x軸的垂線，垂足為M；過點A(1,0)作單位圓的切線，它與角a的終邊或其反向延長線交于點T.(III)(W)(III)(W)由四個圖看出：當角a的終邊不在坐標軸上時，有向線段OM=x,MP=y，于是有yysinyysina===y=MP，r1cosa=-=-=x=OM

r1yMPAT“tana=—===AT.xOMOA我們就分別稱有向線段MP,OM,AT為正弦線、余弦線、正切線。5、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式sin2a+cos2a=1sina4tana=ntanagota=1cosa(sina+cosa)2=1+2sinacosa(sina-cosa)2=1一2sinacosa(sina+cosa，sina-cosa，sina?cosa，三式之間可以互相表示)6、誘導公式n兀+a口訣：奇變偶不變，符號看象限（所謂奇偶指的是2中整數(shù)n的奇偶性，把a看作銳角）sin((-1)2sin((-1)2sina,n為偶數(shù)n—1”，(-1)2cosa,n為奇數(shù)znK:cos(——2+a)=(-1)2cosa,n為偶數(shù)n+1(-1)2sina,n為奇數(shù)①.公式（一）：a與a+2k兀,（keZ）sin(a+2k兀)=sina；cos(a+2k兀)=cosa；tan(a+2k兀)=tana②.公式（二）：a與-asincosa.-sinasincosa.-sina.costan(-a)=-tana③.公式（三）：a與兀+asinG+a)sinG+a)=-sina；cosG+a)=-cosatan(兀+a)=tana④.公式(四)：a與兀④.公式(四)：a與兀-asin(兀-a)=sina.cosG-a)=-cosa.tan(兀-a)=-tana兀⑤.公式（五）：a與■-+a.(兀.(兀)sin—+a=cosa.12丿5).cos—+a=-sina.12丿兀⑥.公式(六)：以與—.（兀.（兀）sm—-a=cosa；12丿5）cos—-a=sina；12丿⑦.公式(七):3⑦.公式(七):3兀

a與+a2.（.（3兀）sm——+a二一cosa；I2丿（3兀）.cos——+a=sma；I2丿⑧.公式(八):?（?（3兀）sm——-a二一cosa；I2丿（3兀）.cos——-a二一sma；I2丿三、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)1、將函數(shù)y二sinx的圖象上所有的點，向左(右)平移閥個單位長度，得到函數(shù)y二sin(x+p)的圖象；再將函數(shù)y二sin(x+p)的圖象上所有點的橫坐標伸長(縮短)到原來的丄倍(縱坐標不變)，得到函數(shù)y二sin(ex+p)的圖象；再將函數(shù)y二sin(ex+p)的圖象上所有點的縱坐標伸長(縮短)到原來的A倍(橫坐標不變)，得到函數(shù)y=Asin(ex+p)的圖象。2、函數(shù)y=Asin(ex+p)(A>0,e>0)的性質(zhì)：2?！?e、①振幅：A:②周期：T=:③頻率：f==:④相位：ex+P:⑤初相：9。eT2兀3、周期函數(shù)：一般地，對于函數(shù)f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得定義域內(nèi)的每一個x值，都滿足f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，T叫做該函數(shù)的周期.TOC\o"1-5"\h\z7兀k兀+——一9兀24、（1）y=Asin（ex+9）對稱軸：令ex+9=k兀+—，得x=—2e對稱中心：ex+9=，得x=，（,0）（kgZ）；ee,k兀一9⑵y=Acos（ex+9）對稱軸：令ex+9=刼，得x=e

7兀7兀k兀+—9+——9兀2T2T對稱中心：ex+9=刼+―，得x=，(,O)(keZ)；2⑶周期公式:2兀3、9為常數(shù)，且A①函數(shù)y=A叫x+申）及y=Acos?x+9）的周期丁3、9為常數(shù)，且A工0).②函數(shù)y=Atan（?x+?）的周期T=（A、?、9為常數(shù)，且AM0）.㈣5、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)表格性質(zhì)函1ff數(shù)y=sinxy=cosxy=tanxiJIH］：N片1!|yi|i/：/：1i圖像11/:Ji4fXn22:nX1b[缸出/zI;/sf/10r7*..-「「弋0\;/s\\1J4--:-\:/:f■定fTT義RR卜x豐k兀+—,keZ}域IJ值域[-1,1][-1,1]R當x=2k兀+—(keZ)時，2當x=2k兀(keZ)時，最y=1；maxy=1；當x=2k兀+兀既無最大值也無最小值值當x=2k兀(keZ)時，max2(keZ)時，y=—1.y=—1?linnmin周期2兀2兀兀性奇偶奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)性單在兀-.兀在[-兀+2k兀,2k兀](keZ)在調(diào)—-■+2k兀，—+2k兀k?！猭兀+=22上是增函數(shù)；122丿性

(keZ)上是增函數(shù)；L22」(keZ)上是減函數(shù).在［2k兀,2k兀+兀］(keZ)上是減函數(shù).(keZ)上是增函數(shù).對稱性對稱中心(加,0)(keZ)對稱軸x=k兀+—(keZ)^2對稱中心fk兀+更,0](keZ)I2丿對稱軸x=k兀(keZ)fk兀A/、對稱中心——,0(keZ)k2丿無對稱軸.兀3兀6.五點法作y=Asin(?x+申)的簡圖，設t=+P，取0、刁、兀2、2兀來求相應x的值以及對應的y值再描點作圖。7.y=Asin(wx+p)的的圖像第一種變換:y—sinx第一種變換:y—sinx圖象向左(^?>0技或向右(爐<0)平移|串|個單檢橫坐標伸長(0<^<1)或縮短(血>1)到原來的縱坐標不變y-siii(x十卩)1y=sm(t!K+<p)縱坐標#^(A>1縱坐標#^(A>1)或縮短(0<A<l倒原來的直倍v=目齡

植坐標不變'〉，第二^變換；臀何丄*橫坐標伸長(0<血<1)或縮短(?>1)到原來的石倍v_-p叭y=smxJ-5111來橫坐標不變縱坐標不變圖象向左(^>0｝或.,y二sin(口r+e)向右(qvO)平移回個單位橫坐標不變縱坐標伸長(心1)或縮短((XA<1)到原來的A倍$=處hl(血+卩)橫坐標不變函數(shù)的變換：函數(shù)的平移變換①y二f(x)Ty二f(x土a)(a>0)將y=f(x)圖像沿x軸向左(右)平移a個單位(左加右減)②y二f(x)Ty二f(x)土b(b>0)將y=f(x)圖像沿y軸向上(下)平移b個單位(上加下減)函數(shù)的伸縮變換：y=f(x)Ty=f(wx)(w>0)將y=f(x)圖像縱坐標不變，橫坐標縮到原來的丄w倍(w>1縮短，0<w<1伸長)y=f(x)ty=Af(x)(A>0)將y=f(x)圖像橫坐標不變，縱坐標伸長到原來的人倍(A>1伸長，0<A<1縮短)函數(shù)的對稱變換：y=f(x)Ty=f(-x))將y=f(x)圖像繞y軸翻折180°(整體翻折)(對三角函數(shù)來說：圖像關(guān)于x軸對稱)y=f(x)Ty=-f(x)將y=f(x)圖像繞x軸翻折180°(整體翻折)(對三角函數(shù)來說：圖像關(guān)于y軸對稱)y=f(x)Ty=f(|x|)將y=f(x)圖像在y軸右側(cè)保留，并把右側(cè)圖像繞y軸翻折到左側(cè)(偶函數(shù)局部翻折)y=f(x)Ty=If(x)|保留y=f(x)在x軸上方圖像，x軸下方圖像繞x軸翻折上去(局部翻動)四、三角恒等變換1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：sin(a+P)=sinacosP+sinacosPsin(a-P)=sinacosP-sinacosPcosa+P)=cosacosP-sinasinPcosa-P)=cosacosP+sinasinPtan(a+P)=tana+tanPntana+tanP=tan(a+P)(l-tanatanP)1-tanatanPtan(a-P)=tanatanPntana一tanP=tan(a-P)(1+tanatanP)1+tanatanP⑺asina+bcosa='a2+b2sin(a+p)(其中，輔助角9所在象限由點(a,b)所在的象限決.bab定，sin,cos,tanQ=—a2+b2a2+b2a，該法也叫合一變形）.1+tan91-tan9兀=叫+9)1-tan9=tan(1-9)1+tan942.二倍角公式sin2a二2sinacosacos2a=cos2a-sin2a=1-2sin2a=2cos2a-1_2tanatan2a=⑶1-tan2a升冪公式升冪公式降冪公式：1+cos2acos2a=(1)24.

.1-cos2a(2)sin2a=2(1)(3)(5)-ca1+cosa=2cos2—2\o"CurrentDocument"aa1土sina=(sin土cos—)222\o"CurrentDocument"aasina=2sincos一22(2)1-cosa=2sin2-2(4)1=sin2a+cos2a95.半角公式（符號的選擇由一所在的象限確定）2(2)a(2)a1+cosacos2=±2'.a,,1—cosasin=±.(1)2'a,tan=土(3)2；1一cosa\1+cosasina1一cosa1+cosasina(1)(1)sina=2tana2_"a1+tan2-26.萬能公式:1-tan22L(2)cosa=2,,a1+tan2一2(3)tana=2tan-1-tan2-27.三角變換：三角變換是運算化簡過程中運用較多的變換，提高三角變換能力，要學會創(chuàng)設條件，靈活運用三角公式，掌握運算、化簡的方法技能。角的變換：角之間的和差、倍半、互補、互余等關(guān)系對角變換，還可作添加、刪除角的恒等變形函數(shù)名稱變換：三角變形中常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。采用公式：asin0+bcos0=Ja2+b2sin(0+p)其中cos甲=「a,sin—「bv'a2+b2\a2+b2，比y=sinx+3cosx如：y=sinx+3cosx如：=\■12+(.3)2(1<12+6/3)2sinx+V；12+(間2cosx)=2(isinx+3cosx)=2(sinxcos—+cosxsin—)=2sin(x+)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"22333⑶注意“湊角”運用：a=(a+卩)-卩，a=p-(B-a)，a=2|~(a+p)-(p-a)^3—3—12—例如：已知a、卩W(丁,兀),sin(a+卩)=_二，sin(卩—丁)=，則cosQ+丁)=?\o"CurrentDocument"454134常數(shù)代換：在三角函數(shù)運算、求值、證明中有時候需將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，特別是常數(shù)“1”可轉(zhuǎn)化為“sin2a+cos2a”幕的變換：對次數(shù)較高的三角函數(shù)式一般采用降幕處理，有時需要升幕例如：V1+cosa常用升幕化為有理式。公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應熟練掌握三角公式的順用、逆用及變形。結(jié)構(gòu)變化：在三角變換中常常對條件、結(jié)論