高中數(shù)學(xué)空間幾何體的表面積與體積

第2講空間幾何體的表面積與體積、選擇題（2015全國I卷）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3,估算出堆放的米約有（）A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛解析設(shè)米堆的底面半徑為nr尺，則2n二8,所以u16n所以米堆的體積為V=4X解析由三視圖知，該幾何體是四棱錐，底面是直角梯形，且S底=-（1+2）X2=3.—解析由三視圖知，該幾何體是四棱錐，底面是直角梯形，且S底=-（1+2）X2=3.—V=3=3，解得x=3.故堆放的米約有答案D（2017合肥模擬）一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（|答案D（2017合肥模擬）一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（答案B3TOC\o"1-5"\h\z某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是則正視圖中的x的值是（）3A.2B.993C.2D.3A.1A.1+,3B.2+3D.22C.1+D.22解析四面體的直觀圖如圖所示?側(cè)面SAC丄底面ABC，且△SAC與厶ABC均為腰長是.2的等腰直角三角形，SA=SC=AB=BC=?.2,AC=2.設(shè)AC的中點(diǎn)為O,連接SO,BO,貝USO丄AC,又SO?平面SAC,平面SACA平面ABC=AC,???SO丄平面ABC,又BO?平面ABC,/?SO丄BO.又OS=OB=1,二SB=2,1故厶SAB與厶SBC均是邊長為2的正三角形，故該四面體的表面積為2込X2X2+2^4^X（2）2=2+3.答案B（2015全國U卷）已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，/AOB=90°C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)?若三棱錐O—ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為（）A.36nB.64nC.144nD.256n解析因?yàn)椤鰽OB的面積為定值，所以當(dāng)OC垂直于平面AOB時(shí)，三棱錐O12—ABC的體積取得最大值.由3X尹2XR=36,得R=6.從而球O的表面積S=4nR2=144n.答案C（2017青島模擬）如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD為平行四邊形，NB=2PN,則三棱錐N—PAC與三棱錐D—PAC的體積比為（）A.1:2B.1:8C.1:6D.1:3解析設(shè)點(diǎn)P,N在平面ABCD內(nèi)的投影分別為點(diǎn)P；N；則PP'丄平面ABCD,一NN'2NN'丄平面ABCD，所以PP'//NN；則在△BPP'中，由BN=2PN得雨=§.V三棱錐NV三棱錐N—FAC=V三棱錐P—ABC—V三棱錐N—ABC=1尹\ABCPP'—^SsbcNN丄1&ABC(PP-NNv3s"BC?1113PP'=9SSBCPP',V三棱錐D-PAC=V三棱錐P-ACD=3&ACDPP',又工四邊形ABCD是平行四邊形，???S^abc=S^acd,V=1.故選D.V三棱錐D-PAC3答案D二、填空題現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5,高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個(gè).若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為.122122解析設(shè)新的底面半徑為r，由題意得3曲4+n8=3nX5X4+nX2X8,解得r=.7.答案.7已知底面邊長為1,側(cè)棱長為?2的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，貝U該球的體積為.解析依題意可知正四棱柱體對角線的長度等于球的直徑，可設(shè)球半徑為R,則2R=W+件（問2=2，解得r=1，所以v=4nR3=#4答案護(hù)（2017鄭州質(zhì)檢）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為側(cè)視圖側(cè)視圖解析由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面半徑為1，高為解析由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱和底面半徑為1,高為1的半圓錐拼成的組合體????11213體積7=n1X2+5X5nX1X1=n.613答案1n6三、解答題已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示.求此幾何體的表面積；如果點(diǎn)P,Q在正視圖中所示位置，P為所在線段中點(diǎn)，Q為頂點(diǎn)，求在幾何體表面上，11213體積7=n1X2+5X5nX1X1=n.613答案1n6三、解答題已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示.求此幾何體的表面積；如果點(diǎn)P,Q在正視圖中所示位置，P為所在線段中點(diǎn)，Q為頂點(diǎn)，求在幾何體表面上，從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的最短路徑的長.解(1)由三視圖知該幾何體是由一個(gè)圓錐與止覘圖Q側(cè)視圖一個(gè)圓柱組成的組合體，其表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和圓柱的一個(gè)底面積之和.S圓錐側(cè)11(2na)?,2a)=,2na2,2S圓柱側(cè)=(2n)(2a)=4na，s圓柱底=n，所以S表=■2n2+4^a2+n2=(,2+5)n2.⑵沿P點(diǎn)與Q點(diǎn)所在母線剪開圓柱側(cè)面，如圖所以從P點(diǎn)到Q點(diǎn)在側(cè)面上的最短路徑的長為a「1+n.(2015全國U卷)如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1,D1C1上,"E=D1F=4?過點(diǎn)E，F(xiàn)的平面a與此長方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形?(1)在圖中畫出這個(gè)正方形(不必說明畫法和理由);(2)求平面a把該長方體分成的兩部分體積的比值.解⑴交線圍成的正方形EHGF如圖所示.(2)如圖，作EM丄AB,垂足為M，貝UAM=A〔E=4，EB1=12，EM=1E1E視方向AAi=8.因?yàn)樗倪呅蜤HGF為正方形，所以EH=EF=BC=10.于是MH=EH2-EM2=6,AH=10,HB=6.1故S四邊形AiEHA=2X(4+10)X8=56,1S四邊形EB1BH=2X(12+6)X8=72.因?yàn)殚L方體被平面a分成兩個(gè)高為10的直棱柱，所以其體積的比值為77也正確?111若某一幾何體的正視圖與側(cè)視圖均為邊長是1的正方形，且其體積為2,則該幾何體的俯視圖可以是()abcn解析若俯視圖為A，則該幾何體為正方體，其體積為1,不滿足條件.若俯視圖為b，則該幾何體為圓柱，其體積為召了乂1=n，不滿足條件?若俯視圖為11c,則該幾何體為三棱柱，其體積為2X1X1X1=2,滿足條件?若俯視圖為d,11冗則該幾何體為圓柱的玄，體積為X1=4,不滿足條件.答案C12.(2015全國I卷)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20n貝Ur=()A.1B.2C.4D.8解析該幾何體是一個(gè)半球與一個(gè)半圓柱的組合體，球

的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，如圖.則表面積12222S=2X4n解析根據(jù)三視圖中的正視圖和俯視圖知，該幾何體是由一個(gè)半徑r=1的半球，一個(gè)底面半徑r=1、高2r=2的寸圓錐組成的,1115解析根據(jù)三視圖中的正視圖和俯視圖知，該幾何體是由一個(gè)半徑r=1的半球，一個(gè)底面半徑r=1、高2r=2的寸圓錐組成的,1115n貝U其體積為V=4^r3x-+-n^2x2rX又S=16+20n,???（5卄4）r2=16+20n,解得r=2.答案B14.四面體ABCD及其三視圖如圖所示,平行于棱AD,BC的平面分別交四面體13?圓錐被一個(gè)平面截去一部分，剩余部分再被另一個(gè)平面截去一部分后，與半球(半徑為14.四面體ABCD及其三視圖如圖所示,平行于棱AD,BC的平面分別交四面體的棱AB,BD,DC,CA于點(diǎn)E,F,G,H.IE覘圖働覘圖俯視圖IE覘圖働覘圖俯視圖(1)求四面體ABCD的體積；⑵證明：四邊形EFGH是矩形.(1)解由該四面體的三視圖可知,BD丄DC,BD丄AD,AD丄DC,BD=DC=2,AD=1,又BDADC=D,?AD丄平面BDC,112?四面體ABCD的體積V=3X2X2X2X1=3.⑵證明