2022北京豐臺(tái)高三二模數(shù)學(xué)（教師版）

21/212022北京豐臺(tái)高三二模數(shù)學(xué)2022．04第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.2.“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.函數(shù)是（）A.最小正周期為π奇函數(shù) B.最小正周期為π的偶函數(shù)C.最小正周期為2π的奇函數(shù) D.最小正周期為2π的偶函數(shù)4.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為A. B. C.60 D.2405.已知兩條不同的直線l，m與兩個(gè)不同的平面，，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則6.小王每天在6：30至6：50出發(fā)去上班，其中在6：30至6：40出發(fā)的概率為0.3，在該時(shí)間段出發(fā)上班遲到的概率為0.1；在6：40至6：50出發(fā)的概率為0.7，在該時(shí)間段出發(fā)上班遲到的概率為0.2，則小王某天在6：30至6：50出發(fā)上班遲到的概率為（）A.0.13 B.0.17 C.0.21 D.0.37.已知，，，則（）A. B.C. D.8.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.9.已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．若，則x的取值范圍是（）A. B.C. D.10.已知雙曲線C：（，）的左、右頂點(diǎn)分別為，，左、右焦點(diǎn)分別為，．以線段為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于點(diǎn)M，且點(diǎn)M在第一象限，與另一條漸近線平行．若，則的面積是（）A. B. C. D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.已知向量，．若，則______．12.已知拋物線C：，則拋物線C的準(zhǔn)線方程為______．13.在中，，，，則______．14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)N滿足，記d為點(diǎn)N到直線l：的距離．當(dāng)m變化時(shí)，直線l所過定點(diǎn)的坐標(biāo)為______；d的最大值為______．15.如圖，某荷塘里浮萍的面積y（單位：）與時(shí)間t（單位：月）滿足關(guān)系式：（a為常數(shù)），記（）．給出下列四個(gè)結(jié)論：①設(shè)，則數(shù)列是等比數(shù)列；②存在唯一的實(shí)數(shù)，使得成立，其中是的導(dǎo)函數(shù)；③常數(shù)；④記浮萍蔓延到，，所經(jīng)過時(shí)間分別為，，，則．其中所有正確結(jié)論序號(hào)是______．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.如圖，在正三棱柱中，，D為BC的中點(diǎn)，平面平面．（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值．17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，在條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若對(duì)任意，不等式恒成立，求m的最小值．條件①：且；條件②：；條件③：．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18.某商家為了促銷，規(guī)定每位消費(fèi)者均可免費(fèi)參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：在一不透明紙箱中有8張相同的卡片，其中4張卡片上印有“幸”字，另外4張卡片上印有“運(yùn)”字．消費(fèi)者從該紙箱中不放回地隨機(jī)抽取4張卡片，若抽到的4張卡片上都印有同一個(gè)字，則獲得一張10元代金券；若抽到的4張卡片中恰有3張卡片上印有同一個(gè)字，則獲得一張5元代金券；若抽到的4張卡片是其他情況，則不獲得任何獎(jiǎng)勵(lì)．（1）求某位消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中抽到的4張卡片上都印有“幸”字的概率；（2）記隨機(jī)變量X為某位消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中獲得代金券金額數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）該商家規(guī)定，消費(fèi)者若想再次參加該項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，則每抽獎(jiǎng)一次需支付3元．若你消費(fèi)者，是否愿意再次參加該項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)？請(qǐng)說明理由．19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）當(dāng)時(shí)，求證：；（3）直接寫出a的一個(gè)取值范圍，使得恒成立．20.已知橢圓C：經(jīng)過點(diǎn)，P到橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)，R為PQ的中點(diǎn)，作PQ的平行線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，直線AQ與橢圓C交于另一點(diǎn)M，直線BQ與橢圓C交于另一點(diǎn)N，求證：M，N，R三點(diǎn)共線．21.設(shè)，，…，，，是個(gè)互不相同的閉區(qū)間，若存在實(shí)數(shù)使得，則稱這個(gè)閉區(qū)間為聚合區(qū)間，為該聚合區(qū)間的聚合點(diǎn)．（1）已知，為聚合區(qū)間，求t的值；（2）已知，，…，，為聚合區(qū)間．（?。┰O(shè)，是該聚合區(qū)間的兩個(gè)不同的聚合點(diǎn)．求證：存在k，，使得；（ⅱ）若對(duì)任意p，q（且p，），都有，互不包含．求證：存在不同的i，，使得．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，可直接求得復(fù)數(shù)，再利用共軛復(fù)數(shù)的概念求解.【詳解】由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，可得，故，故選：A.2.“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】直接利用充分條件和必要條件的判斷方法，判斷即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)椤啊蹦芡瞥觥啊?，而“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.函數(shù)是（）A.最小正周期為π的奇函數(shù) B.最小正周期為π的偶函數(shù)C.最小正周期為2π的奇函數(shù) D.最小正周期為2π的偶函數(shù)【答案】B【解析】【分析】由倍角公式可得，可求周期；再由可得奇偶性.【詳解】由倍角公式可得，所以周期為.又是偶函數(shù).故選：.【點(diǎn)睛】本題考查倍角公式的逆用和函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.4.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為A. B. C.60 D.240【答案】D【解析】【分析】寫出展開式的通項(xiàng)，整理后令的指數(shù)為，得到項(xiàng)數(shù)，然后計(jì)算出常數(shù)項(xiàng)，得到答案.【詳解】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為其常數(shù)項(xiàng)為，令得即故選D項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，求二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)，屬于簡(jiǎn)單題.5.已知兩條不同的直線l，m與兩個(gè)不同的平面，，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間中線面、面面的判定定理與性質(zhì)定理一一判斷即可；【詳解】解：由兩條不同的直線，與兩個(gè)不同的平面，，知：對(duì)于A，若，，則與平行或或與相交或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則由面面垂直的判定定理得，故B正確；對(duì)于C，若，，則或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，則或，故D錯(cuò)誤．故選：B．6.小王每天在6：30至6：50出發(fā)去上班，其中在6：30至6：40出發(fā)的概率為0.3，在該時(shí)間段出發(fā)上班遲到的概率為0.1；在6：40至6：50出發(fā)的概率為0.7，在該時(shí)間段出發(fā)上班遲到的概率為0.2，則小王某天在6：30至6：50出發(fā)上班遲到的概率為（）A.0.13 B.0.17 C.0.21 D.0.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全概率公式計(jì)算即可得解.【詳解】解：由題意在6：30至6：50出發(fā)上班遲到的概率為.故選：B.7.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將a，b，c與0或1比較，分析即可得答案.【詳解】由題意得，，所以，又，所以.故選：A8.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，可得，，從而可判斷AB，舉出反例即可判斷C，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合基本不等式即可判斷D.【詳解】解：因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；，所以，則公差，故B錯(cuò)誤；所以等差數(shù)列為遞增數(shù)列，則，，則，所以，所以，故D正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，。此時(shí)，故C錯(cuò)誤.故選：D.9.已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．若，則x的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性得到在區(qū)間上單調(diào)遞增，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可；【詳解】解：偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；則等價(jià)于，即，即，解得，即原不等式的解集為；故選：C10.已知雙曲線C：（，）的左、右頂點(diǎn)分別為，，左、右焦點(diǎn)分別為，．以線段為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于點(diǎn)M，且點(diǎn)M在第一象限，與另一條漸近線平行．若，則的面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求得以線段為直徑的圓的方程為，與漸近線聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)與另一條漸近線平行可求出的關(guān)系，然后根據(jù)，即可求出的值，從而可得出答案.【詳解】解：由題意，，則以線段為直徑的圓的方程為，聯(lián)立，解得或，又因點(diǎn)M在第一象限，所以，因?yàn)榕c直線平行，所以，即，所以，則，因?yàn)?，所以，即，所以，則，所以，，所以.故選：C.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.已知向量，．若，則______．【答案】【解析】【分析】依題意可得，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可；【詳解】解：因?yàn)?，且，所以，解得；故答案為?2.已知拋物線C：，則拋物線C的準(zhǔn)線方程為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線的方程求出的值，進(jìn)一步得出答案.【詳解】因?yàn)閽佄锞€，所以，∴所以的準(zhǔn)線方程為.故答案為：13.在中，，，，則______．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理結(jié)合二倍角的正弦公式即可得解.【詳解】解：在中，由正弦定理可得，即，即，所以.

故答案為：.14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)N滿足，記d為點(diǎn)N到直線l：的距離．當(dāng)m變化時(shí)，直線l所過定點(diǎn)的坐標(biāo)為______；d的最大值為______．【答案】①.②.6【解析】【分析】對(duì)直線方程變形可求出直線l所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，由題意可得動(dòng)點(diǎn)N在以為圓心，1為半徑為圓上，所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)N到直線l的距離最大，最大值為【詳解】由，得，則，得，所以直線l所過定點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)N滿足，所以動(dòng)點(diǎn)N在以為圓心，1為半徑為圓上，所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)N到直線l的距離最大，所以d的最大值為，故答案為：，615.如圖，某荷塘里浮萍的面積y（單位：）與時(shí)間t（單位：月）滿足關(guān)系式：（a為常數(shù)），記（）．給出下列四個(gè)結(jié)論：①設(shè)，則數(shù)列是等比數(shù)列；②存在唯一的實(shí)數(shù)，使得成立，其中是的導(dǎo)函數(shù)；③常數(shù)；④記浮萍蔓延到，，所經(jīng)過的時(shí)間分別為，，，則．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．【答案】①②④【解析】【分析】根據(jù)、求出的取值范圍，即可判斷③，再根據(jù)等比數(shù)列的定義判斷①，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷②，根據(jù)指數(shù)對(duì)數(shù)的關(guān)系及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷④；【詳解】解：依題意，因?yàn)椋郧遥?，所以，所以，即，令，，則，則在上單調(diào)遞增，又，所以，故③錯(cuò)誤；由已知可得，則，，所以，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故①正確；令，則，，，令，則，，因?yàn)?，所以，即，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，，，令，，則，所以，在上單調(diào)遞減，且，即，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，所以，，故存上，，故②正確；依題意、、，所以，所以，則，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，即，故④正確；故答案為：①②④三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.如圖，在正三棱柱中，，D為BC的中點(diǎn)，平面平面．（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用面面平行證明線線平行；（2）建立空間直角系，分別求出平面與平面的法向量，利用求出答案.【小問1詳解】連接，平面∥平面，∵平面平面，平面平面，∴∥.【小問2詳解】設(shè)=2m以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸，CD為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,∴，，，設(shè)平面的法向量為，聯(lián)立方程解得：，∴同理求得平面的法向量∴平面與平面夾角的余弦值的余弦值為.17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，在條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若對(duì)任意，不等式恒成立，求m的最小值．條件①：且；條件②：；條件③：．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）選條件①：由等比數(shù)列通項(xiàng)公式直接可得；選條件②：利用與的關(guān)系可得；選條件③：先由與的關(guān)系先得遞推公式，然后由等比數(shù)列通項(xiàng)公式直接可得.（2）由等比數(shù)列求和公式求和后可得.【小問1詳解】選條件①：因?yàn)?，且，即所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列所以.選條件②：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，上式也成立，所以.選條件③：因?yàn)?，得?dāng)時(shí)，，得當(dāng)時(shí)，整理得所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比等比數(shù)列所以.【小問2詳解】由（1）知，，記因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列所以所以m的最小值為2.18.某商家為了促銷，規(guī)定每位消費(fèi)者均可免費(fèi)參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：在一不透明紙箱中有8張相同的卡片，其中4張卡片上印有“幸”字，另外4張卡片上印有“運(yùn)”字．消費(fèi)者從該紙箱中不放回地隨機(jī)抽取4張卡片，若抽到的4張卡片上都印有同一個(gè)字，則獲得一張10元代金券；若抽到的4張卡片中恰有3張卡片上印有同一個(gè)字，則獲得一張5元代金券；若抽到的4張卡片是其他情況，則不獲得任何獎(jiǎng)勵(lì)．（1）求某位消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中抽到的4張卡片上都印有“幸”字的概率；（2）記隨機(jī)變量X為某位消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中獲得代金券的金額數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）該商家規(guī)定，消費(fèi)者若想再次參加該項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，則每抽獎(jiǎng)一次需支付3元．若你是消費(fèi)者，是否愿意再次參加該項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）不愿意，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得；（2）依題意的可能取值為、、，求出所對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列，即可求出數(shù)學(xué)期望；（3）記隨機(jī)變量為消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中的收益，則，根據(jù)期望的性質(zhì)求出，即可判斷；【小問1詳解】解：記“某位消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中抽到4張卡片上都印有“幸”字”為事件，則，所以某位消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中抽到的4張卡片上都印有“幸”字的概率為；【小問2詳解】解：依題意隨機(jī)變量的所有可能取值為、、；則，，，所以的分布列為：所以【小問3詳解】解：記隨機(jī)變量為消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中的收益，則，所以，所以我不愿意再次參加該項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)；19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）當(dāng)時(shí)，求證：；（3）直接寫出a的一個(gè)取值范圍，使得恒成立．【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，在處取得極大值，且極大值為1；（2）證明見解析；（3）答案不唯一，見解析.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求出極值；（2）構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最大值即可得出結(jié)論；（3）將變形為，分別證得與恒非負(fù)，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，令，即，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；因此在處取得極大值，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，在處取得極大值，且極大值為1；【小問2詳解】要證，即證，因此設(shè)，則，令，則，因?yàn)?，所以，因此單調(diào)遞減，且，所以時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值也是最大值，且，故.【小問3詳解】要證，即證，也即是，即證，令，則，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減；所以，故，令，則令，則，，則所以和時(shí)，，則單調(diào)遞增，時(shí)，，則單調(diào)遞減，且，，，因此時(shí)，，即，所以單調(diào)遞減，時(shí)，，即，所以單調(diào)遞增，所以，即因此當(dāng)時(shí)，恒成立.【點(diǎn)睛】恒成立問題解題思路：（1）參變量分離：（2）構(gòu)造函數(shù)：①構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，解不等式即可；②構(gòu)造函數(shù)后，研究函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式，轉(zhuǎn)化之后參數(shù)分離即可解決問題.20.已知橢圓C：經(jīng)過點(diǎn)，P到橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)，R為PQ中點(diǎn)，作PQ的平行線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，直線AQ與橢圓C交于另一點(diǎn)M，直線BQ與橢圓C交于另一點(diǎn)N，求證：M，N，R三點(diǎn)共線．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓定義，可求得a值，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入，即可求得，即可得答案.（2）由題意可得R點(diǎn)坐