2018年數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題10.3概率（講）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE32學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精專題10。3概率【最新考綱解讀】【考點深度剖析】概率均是以填空題的形式進(jìn)行考查，題目多為中低檔題，著重考查學(xué)生運算求解能力。概率一般與計數(shù)原理結(jié)合考查，也可單獨設(shè)置題目?！菊n前檢測訓(xùn)練】【判一判】判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√"或“×”)(1)事件發(fā)生頻率與概率是相同的．（)(2)隨機(jī)事件和隨機(jī)試驗是一回事．（）（3)在大量重復(fù)試驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值．()（4）兩個事件的和事件是指兩個事件都得發(fā)生．(）（5)對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件．()（6）兩互斥事件的概率和為1.（）（7)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”．(）(8）擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反"“兩個反面”,這三個結(jié)果是等可能事件．()(9）從市場上出售的標(biāo)準(zhǔn)為500±5g的袋裝食鹽中任取一袋，測其重量，屬于古典概型．（)（10）(教材改編)有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組的概率為eq\f(1，3)。()（11）從1,2，3，4，5中任取出兩個不同的數(shù)，其和為5的概率是0。2。（）(12）在古典概型中，如果事件A中基本事件構(gòu)成集合A，且集合A中的元素個數(shù)為n，所有的基本事件構(gòu)成集合I，且集合I中元素個數(shù)為m，則事件A的概率為eq\f(n,m).（)(13）在一個正方形區(qū)域內(nèi)任取一點的概率是零．()（14)幾何概型中，每一個基本事件就是從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點，該區(qū)域中的每一點被取到的機(jī)會相等．(）(15）在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形．()（16)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率．(）(17）與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān)．（）（18)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個數(shù),取到1的概率是P＝eq\f(1,9).()1?！?.×3?！?.×5?！??！?.×8.×9?！?0.√11?！?2?！?3。√14.√15?！?6?！?7?！?8?！痢揪氁痪殹?．一個人打靶時連續(xù)射擊兩次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶【答案】D2．從某班學(xué)生中任意找出一人，如果該同學(xué)的身高小于160cm的概率為0。2，該同學(xué)的身高在[160，175](單位：cm）內(nèi)的概率為0.5,那么該同學(xué)的身高超過175cm的概率為（)A．0.2B．0.3C．0。7D．0.8【答案】B【解析】因為必然事件發(fā)生的概率是1，所以該同學(xué)的身高超過175cm的概率為1－0。2－0。5＝0.3，故選B。3．我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題:糧倉開倉收糧，有人送來米1534石,驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把,數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（）A．134石 B．169石C．338石 D．1365石【答案】B【解析】因為樣品中米內(nèi)夾谷的比為eq\f（28,254）,所以這批米內(nèi)夾谷為1534×eq\f（28，254)≈169(石)．4．給出下列三個命題，其中正確的命題有________個．①有一大批產(chǎn)品，已知次品率為10％,從中任取100件,必有10件是次品；②做7次拋硬幣的試驗,結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此正面出現(xiàn)的概率是eq\f(3，7)；③隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個隨機(jī)事件發(fā)生的概率．【答案】0【解析】①錯，不一定是10件次品;②錯，eq\f（3，7）是頻率而非概率；③錯,頻率不等于概率，這是兩個不同的概念．5．袋中裝有9個白球，2個紅球，從中任取3個球，則①恰有1個紅球和全是白球；②至少有1個紅球和全是白球;③至少有1個紅球和至少有2個白球;④至少有1個白球和至少有1個紅球．在上述事件中，是對立事件的為________．【答案】②【解析】①是互斥不對立的事件,②是對立事件，③④不是互斥事件。6．從1，2，3，4中任取2個不同的數(shù)，則取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是()A。eq\f(1,2) B.eq\f(1，3）C.eq\f（1，4） D。eq\f(1,6）【答案】B7．從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為（)A。eq\f(1,5)B.eq\f(2，5)C。eq\f（3，5)D。eq\f(4，5)【答案】C【解析】取兩個點的所有情況為10種，所有距離不小于正方形邊長的情況有6種，概率為eq\f(6，10)＝eq\f（3，5)。故選C.8．如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)，從1，2,3，4,5中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A。eq\f（3,10）B.eq\f(1，5）C.eq\f（1,10）D.eq\f(1,20）【答案】C【解析】從1，2，3，4，5中任取3個不同的數(shù)共有如下10種不同的結(jié)果:（1，2，3）,(1,2，4)，(1，2，5）,（1,3，4)，(1,3,5），(1,4，5)，(2,3，4），（2,3，5)，（2,4,5），（3，4，5)，其中勾股數(shù)只有（3,4，5),所以概率為eq\f（1,10）。故選C.9.同時擲兩個骰子，向上點數(shù)不相同的概率為________．【答案】eq\f（5，6)【解析】擲兩個骰子一次,向上的點數(shù)共6×6＝36種可能的結(jié)果，其中點數(shù)相同的結(jié)果共有6個，所以點數(shù)不同的概率P＝1－eq\f(6,6×6）＝eq\f(5，6).10．從1,2，3，4,5,6這6個數(shù)字中，任取2個數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的概率是________．【答案】eq\f(2，5)11．在線段［0,3］上任投一點，則此點坐標(biāo)小于1的概率為()A.eq\f（1,2）B。eq\f（1，3）C.eq\f(1,4)D．1【答案】B【解析】坐標(biāo)小于1的區(qū)間為[0,1],長度為1,［0,3]區(qū)間長度為3，故所求概率為eq\f（1,3).12．在區(qū)間[0，2]上隨機(jī)地取一個數(shù)x,則事件“－1≤eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2）))≤1”發(fā)生的概率為()A。eq\f(3,4)B。eq\f（2,3)C.eq\f（1，3)D。eq\f（1,4)【答案】A【解析】∵由－1≤eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f（1，2）））≤1，得eq\f（1,2)≤x＋eq\f（1，2)≤2，∴0≤x≤eq\f(3，2）.∴由幾何概型的概率計算公式得所求概率P＝eq\f（\f（3，2）－0，2－0)＝eq\f(3，4).13．若將一個質(zhì)點隨機(jī)投入如圖所示的長方形ABCD中,其中AB＝2，BC＝1，則質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是（）A。eq\f(π，2）B.eq\f（π，4）C.eq\f(π，6）D。eq\f（π，8）【答案】B14．如圖，在邊長為1的正方形中隨機(jī)撒1000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計陰影部分的面積為________．【答案】0.18【解析】由題意知，這是個幾何概型問題,eq\f（S陰，S正)＝eq\f(180,1000）＝0.18，∵S正＝1，∴S陰＝0.18。15．如圖，圓中有一內(nèi)接等腰三角形．假設(shè)你在圖中隨機(jī)撒一把黃豆，則它落在陰影部分的概率為________．【答案】eq\f（1，π)【解析】設(shè)圓的半徑為R，由題意知圓內(nèi)接三角形為等腰直角三角形，其直角邊長為eq\r（2）R,則所求事件的概率為:P＝eq\f(S陰，S圓)＝eq\f(\f（1,2)×\r（2）R×\r(2)R，πR2）＝eq\f(1,π）.【題根精選精析】考點1：隨機(jī)事件的概率【1-1】【2015蘇州聯(lián)考】4張卡上分別寫有數(shù)字1，2,3,4,從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為。【答案】【解析】因為從四張卡片中任取出兩張共有6種情況，其中兩種卡片上數(shù)字和為偶數(shù)的共有2種情況。所以兩張數(shù)字為偶數(shù)的概率為.【1—2】【2015無錫模擬】抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事件A：至少有兩件次品,則A的對立事件為?！敬鸢浮恐炼嘁患纹贰窘馕觥渴录嗀不包含沒有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所以事件A的對立事件為至多一件次品.【1—3】【2015通州模擬】某射手一次射擊中，擊中環(huán)、環(huán)、環(huán)的概率分別是，則這位射手在一次射擊中不夠環(huán)的概率是。【答案】【基礎(chǔ)知識】1．隨機(jī)事件和確定事件：在一定的條件下所出現(xiàn)的某種結(jié)果叫做事件.(1)在條件下，一定會發(fā)生的事件叫做相對于條件的必然事件．（2）在條件下，一定不會發(fā)生的事件叫做相對于條件的不可能事件．(3)必然事件與不可能事件統(tǒng)稱為確定事件．(4)在條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機(jī)事件．（5)確定事件和隨機(jī)事件統(tǒng)稱為事件，一般用大寫字母表示．2．頻率與概率(1)在相同的條件下重復(fù)次試驗,觀察某一事件是否出現(xiàn)，稱次試驗中事件出現(xiàn)的次數(shù)為事件出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件出現(xiàn)的比例為事件出現(xiàn)的頻率．（2）對于給定的隨機(jī)事件，如果隨著試驗次數(shù)的增加,事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作，稱為事件的概率，簡稱為的概率．3．互斥事件與對立事件互斥事件的定義：在一次試驗中，不可能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件.即為不可能事件（），則稱事件與事件互斥,其含義是：事件與事件在任何一次試驗中不會同時發(fā)生．一般地，如果事件中的任何兩個都是互斥的，那么就說事件彼此互斥。對立事件：若不能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件；即為不可能事件，而為必然事件，那么事件與事件互為對立事件，其含義是:事件與事件在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生．互斥事件和對立事件的區(qū)別和聯(lián)系:對立事件是互斥事件，但是互斥事件不一定是對立事件.兩個事件互斥是兩個事件對立的必要非充分條件.4。事件的關(guān)系與運算定義符號表示包含關(guān)系如果事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，這時稱事件包含事件（或稱事件包含于事件）（或）相等關(guān)系若且,那么稱事件與事件相等并事件（和事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件發(fā)生或事件發(fā)生，則稱此事件為事件與事件的并事件(或和事件)(或)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件發(fā)生且事件發(fā)生，則稱此事件為事件與事件的交事件(或積事件)(或)互斥事件若為不可能事件，那么稱事件與事件互斥對立事件若為不可能事件，為必然事件,那么稱事件與事件互為對立事件且5.隨機(jī)事件的概率事件的概率：在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗時，事件發(fā)生的頻率總接近于某個常數(shù)，在它附近擺動，這時就把這個常數(shù)叫做事件的概率，記作.由定義可知，顯然必然事件的概率是，不可能事件的概率是。5．概率的幾個基本性質(zhì)（1）概率的取值范圍：。(2）必然事件的概率：。(3)不可能事件的概率:.（4）互斥事件的概率加法公式：①（互斥），且有．②（彼此互斥）．(5）對立事件的概率：．【思想方法】1.概率可看成頻率在理論上的穩(wěn)定值，它從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，它是頻率的科學(xué)抽象，當(dāng)試驗次數(shù)越來越多時頻率向概率靠近,只要次數(shù)足夠多,所得頻率就近似地當(dāng)作隨機(jī)事件的概率．2。判斷事件關(guān)系時要注意(1）利用集合觀點判斷事件關(guān)系;(2）可以寫出所有試驗結(jié)果，看所求事件包含哪幾個試驗結(jié)果，從而判斷所求事件的關(guān)系．3．對于互斥事件要抓住如下的特征進(jìn)行理解:第一，互斥事件研究的是兩個事件之間的關(guān)系;第二,所研究的兩個事件是在一次試驗中涉及的;第三，兩個事件互斥是從試驗的結(jié)果不能同時出現(xiàn)來確定的4．對立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗中有且僅有一個發(fā)生的兩個事件,事件的對立事件記作，從集合的角度來看,事件所含結(jié)果的集合正是全集中由事件所含結(jié)果組成集合的補集，即，，對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件.事件的和記作，表示事件至少有一個發(fā)生。當(dāng)為互斥事件時，事件是由“發(fā)生而不發(fā)生"以及“發(fā)生而不發(fā)生”構(gòu)成的.當(dāng)計算事件的概率比較困難時,有時計算它的對立事件的概率則要容易些,為此有。這不僅體現(xiàn)逆向思維，同時對培養(yǎng)思維的靈活性是非常有益的.求某些稍復(fù)雜的事件的概率時，通常有兩種方法：一是將所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的對立事件的概率.對于個互斥事件,其加法公式為。分類討論思想是解決互斥事件有一個發(fā)生的概率的一個重要的指導(dǎo)思想。5.對互斥事件要把握住不能同時發(fā)生，而對于對立事件除不能同時發(fā)生外，其并事件應(yīng)為必然事件，這些也可類比集合進(jìn)行理解，具體應(yīng)用時，可把所有試驗結(jié)果寫出來，看所求事件包含哪幾個試驗結(jié)果，從而斷定所給事件的關(guān)系．6。實際生活中的概率問題，在閱讀理解的基礎(chǔ)上,利用互斥事件分類，有時還借助對立事件尋求間接求解問題的捷徑,這類問題重在考查學(xué)生思維的靈活性和解決實際問題的能力．7。求解隨機(jī)事件的概率關(guān)鍵是準(zhǔn)確計算基本事件數(shù)，計算的方法有:(1)列舉法；(2）列表法；(3）利用樹狀圖列舉．求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法,將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運用互斥事件的求和公式計算．二是間接求法，先求此事件的對立事件的概率,再用公式,即運用逆向思維（正難則反），特別是“至多”,“至少"型題目，用間接求法就顯得較簡便．【溫馨提示】在概率的計算中，一般是根據(jù)隨機(jī)事件的含義，把隨機(jī)事件分成幾個互斥事件的和，每個小的事件再分為幾個相互獨立事件的乘積，然后根據(jù)相應(yīng)的概率公式進(jìn)行計算．考點2：古典概型【2-1】【2015常州聯(lián)考】有編號分別為1，2，3，4，5的5個紅球和5個黑球，從中隨機(jī)取出4個，則取出球的編號互不相同的概率為______. 【答案】【解析】從編號分別為1,2,3，4，5的5個紅球和5個黑球，從中隨機(jī)取出4個，有種不同的結(jié)果，由于是隨機(jī)取出的，所以每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的；設(shè)事件為“取出球的編號互不相同"，則事件包含了個基本事件，所以【2—2】【2015六合模擬】從2名男生和2名女生中，任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動，每天一人，則星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為______.【答案】【2-3】【2015南京模擬】從中隨機(jī)選取一個數(shù)，從中隨機(jī)選取一個數(shù),則關(guān)于的方程有兩個虛根的概率是______?！敬鸢浮俊窘馕觥窟@實質(zhì)是一個古典概型問題，首先題中選取數(shù)的總方法為，而要使方程有虛根，則，即（因為題中均為正數(shù)）,而滿足這個條件的只能取共3種，故概率為．【2-4】【2015鎮(zhèn)江模擬】由數(shù)字0,1，2,3組成一個沒有重復(fù)數(shù)字，且不被10整除的四位數(shù),則兩個偶函數(shù)不相鄰的概率是______?！敬鸢浮俊?-5】【2015海門聯(lián)考】從這個整數(shù)中任意取個不同的數(shù)作為二次函數(shù)的系數(shù),則使得的概率為．【答案】【解析】首先從這個整數(shù)中任意取個不同的數(shù)分別為，取法數(shù)為，使，即使為偶數(shù)的取法有，所概率為．【基礎(chǔ)知識】1.一次試驗連同其中可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本事件,通常此試驗中的某一事件A由幾個基本事件組成。如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個,即此試驗由n個基本事件組成,而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是。如果某個事件A包含的結(jié)果有m個，那么事件A的概率P（A）=.基本事件的特點（1）任何兩個基本事件是互斥的．(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)．2。古典概型：具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．①試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個，即有限性．②每個基本事件發(fā)生的可能性相等，即等可能性．概率公式：P(A）＝eq\f(A包含的基本事件的個數(shù),基本事件的總數(shù)）.【思想方法】1.古典概型中基本事件的探求方法(1)枚舉法：適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的．（2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求，注意在確定基本事件時(x，y）可以看成是有序的，如(1，2)與（2,1)不同．有時也可以看成是無序的，如(1，2）(2，1）相同．（3）排列組合法：在求一些較復(fù)雜的基本事件的個數(shù)時，可利用排列或組合的知識．2。計算古典概型事件的概率可分三步(1)判斷本次試驗的結(jié)果是否是等可能的,設(shè)出所求的事件為A；(2）分別計算基本事件的總個數(shù)n和所求的事件A所包含的基本事件個數(shù)m；(3)利用古典概型的概率公式P（A）＝eq\f(m,n）求出事件A的概率．3。解決與古典概型交匯命題的問題時，把相關(guān)的知識轉(zhuǎn)化為事件，列舉基本事件,求出基本事件和隨機(jī)事件的個數(shù)，然后利用古典概型的概率計算公式進(jìn)行計算.【溫馨提示】有關(guān)古典概型的概率問題,關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù),這常用到計數(shù)原理與排列、組合的相關(guān)知識．在求基本事件的個數(shù)時,要準(zhǔn)確理解基本事件的構(gòu)成，這樣才能保證所求事件所包含的基本事件數(shù)的求法與基本事件總數(shù)的求法的一致性．考點3:幾何概型【3—1】【2015如皋模擬】如圖所示，一游泳者自游泳池邊上的點，沿方向游了10米,，然后任意選擇一個方向并沿此方向繼續(xù)游，則他再游不超過10米就能夠回到游泳池邊的概率是______?！敬鸢浮俊?—2】【2015海安中學(xué)調(diào)研】已知菱形的邊長為4，，若在菱形內(nèi)任取一點,則該點到菱形的四個頂點的距離大于1的概率______?！敬鸢浮俊窘馕觥??！?—3】【2015成都模擬】已知函數(shù):，其中：,記函數(shù)滿足條件：的事件為A，則事件A發(fā)生的概率為______?！敬鸢浮俊?-4】【2015常州抽測】在1個單位長度的線段上任取一點，則點到、兩點的距離都不小于的概率為．【答案】【解析】如下圖，.當(dāng)點在線段上時，點到、兩點的距離都不小于。所以概率?！?—5】【2015無錫模擬】從中任取一個數(shù)，從中任取一個數(shù)，則使的概率為。【答案】。【解析】當(dāng)，時，，即，當(dāng),時，，即，【基礎(chǔ)知識】1．（1）隨機(jī)數(shù)的概念:隨機(jī)數(shù)是在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個范圍內(nèi)任何一個數(shù)的機(jī)會是均等的.（2)隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法①利用函數(shù)計算器可以得到0~1之間的隨機(jī)數(shù)；②在Scilab語言中，應(yīng)用不同的函數(shù)可產(chǎn)生0~1或a～b之間的隨機(jī)數(shù)。2.幾何概型（1）定義:如果某個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積等）成比例，則稱這樣的概率模型為為幾何概率模型,簡稱幾何概型．（2）特點：①無限性:在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個；②等可能性：每個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性．（3)幾何概型的解題步驟:首先是判斷事件是一維問題還是二維、三維問題（事件的結(jié)果與一個變量有關(guān)就是一維的問題,與兩個變量有關(guān)就是二維的問題,與三個變量有關(guān)就是三維的問題）;接著，如果是一維的問題，先確定試驗的全部結(jié)果和事件構(gòu)成的區(qū)域長度（角度、弧長等），最后代公式eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長度面積或體積,試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度面積或體積);如果是二維、三維的問題，先設(shè)出二維或三維變量，再列出試驗的全部結(jié)果和事件分別滿足的約束條件，作出兩個區(qū)域，最后計算兩個區(qū)域的面積或體積代公式。（4）求幾何概型時，注意首先尋找到一些重要的臨界位置,再解答.一般與線性規(guī)劃知識有聯(lián)系。3．幾種常見的幾何概型（1)設(shè)線段l是線段L的一部分，向線段L上任投一點.若落在線段l上的點數(shù)與線段L的長度成正比，而與線段l在線段l上的相對位置無關(guān),則點落在線段l上的概率為:P=l的長度/L的長度（2）設(shè)平面區(qū)域g是平面區(qū)域G的一部分,向區(qū)域G上任投一點,若落在區(qū)域g上的點數(shù)與區(qū)域g的面積成正比,而與區(qū)域g在區(qū)域G上的相對位置無關(guān)，則點落在區(qū)域g上概率為:P=g的面積/G的面積（3）設(shè)空間區(qū)域上v是空間區(qū)域V的一部分，向區(qū)域V上任投一點。若落在區(qū)域v上的點數(shù)與區(qū)域v的體積成正比，而與區(qū)域v在區(qū)域v上的相對位置無關(guān)，則點落在區(qū)域V上的概率為：P=v的體積/V的體積【思想方法】1.幾何概型的常見類型的判斷方法(1)與長度(角度)有關(guān)的幾何概型，其基本事件只與一個連續(xù)的變量有關(guān)；求與長度(角度)有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為長度(角度)．然后求解，要特別注意“長度型”與“角度型”的不同．解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事件的區(qū)域（長度、角度)．(2）與面積有關(guān)的幾何概型,其基本事件與兩個連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個變量分別作為一個點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問題；求解與面積有關(guān)的幾何概型時，關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積，以求面積，必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點的坐標(biāo)，找到全部試驗結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解．（3）與體積有關(guān)的幾何概型．對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復(fù)雜的也可利用其對立事件去求．2。幾何概型并不限于向平面(或直線、空間）投點的試驗，如果一個隨機(jī)試驗有無限多個等可能的基本結(jié)果，每個基本結(jié)果可以用平面（或直線、空間）中的一點來表示，而所有基本結(jié)果對應(yīng)于一個區(qū)域Ω，這時，與試驗有關(guān)的問題即可利用幾何概型來解決。將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點，該區(qū)域中每一