高等數(shù)學(xué)第一章函數(shù)與極限試題

fff(x)fff(x)一選題設(shè)f(x)是N必有

"N"

M〔A〕F(x)是偶函數(shù)

f(x)是數(shù)〔B〕f(x)是偶函.〔C〕F(x)是f(x)是周期函數(shù).〔F(x)

f(x)是單調(diào)

f()

x

（A）x=0,x=1都是f(x)的第一類間斷點(diǎn)（B）x=0,x=1都是f(x)的第二類間斷點(diǎn)（C）是f(x)，是點(diǎn)（x=0f(x)，是點(diǎn)x

(x)=

x

x≠0,1,則[

]=()A〕xB〕

11

C〕

1

D〕x()A

lim

1+)x

B

lim

1x

)

C

limx

－)x

x

D〕

limx

1+

x

)

52xxsinx52xxsinxx已lim(x，a)。xxA.1；B.ln3

ln36極限：A.1；7極限：A.1；8極限：A.0；

lim(xlimxlimx

x)x)xC.B.；=〔〕B.〔〕CB.；

1

e

2

2極限：lim(x)=〔〕xA.0；

B.；

C.2；

D.

1

2極限:A.0；

limx

sinxB.；

=〔〕C.1

；

16二填空題limxsin.xx2arctanx12.limx0x13.14.15.

假設(shè)y(x)x連續(xù)，則lim[(x)f(x)]lim；xx2lim(1)n_________________n

=_______________；16.

假設(shè)函數(shù)y

x

2

x

，則它的間斷點(diǎn)是___________________17.

絕值數(shù)

f()

0;0,x0;

x

x,

其定義域是

,域是18.

符函

fx

x19.

其定義域是，值域是三個(gè)點(diǎn)的集合無(wú)小是20.

函數(shù)

f()

在點(diǎn)x0連，要求函數(shù)yf(x)滿足的三個(gè)條件是三計(jì)算題

1).1x設(shè)

)=3x-2,求中23.lim

;x2

xx.l();25.lxx

tan2(x

)

已lim(

xx

)

，a的值

lim(1n

n

n

)

1n

xx

f

xx

lg

判f(x)2

x2xg(x)＝1

f(x)

xx

g()

f)f

()x()x2

s＝at30.已函f(x)＝x

-1，求、f(f(x))、f(f(3)+2)

31.求

lim

3n6

n

32.求

n

2n

lim(n

n)求lim

n3nnn判⑴

y

xxx,x

x

⑵

x,0,x

x0

.

limx

1x

limx3

xx2

limx0

1x求x

y

x3x3

求x

y

xx3

41.

limx0

sinxx

limx0

1x

n

n

limn

1n

2

1lim)

.

limx

1x

x

00

0研xxx＝0f()x1,49.指以下函數(shù)在指定點(diǎn)是否間斷果間斷指是哪類間斷點(diǎn)。

fx)

1x

,x＝150.指以下函數(shù)在指定點(diǎn)是否間斷，如果間斷，指出是哪類間斷點(diǎn)。f(x

x0

，x＝0,0指出是哪類間斷點(diǎn)。fx)1,

x

52.證f(x)＝2

53.

limx

)x

54.

limxx155.試程2x3－3x2＋3＝在區(qū)間[56.

limx0

sinx57.

試證正弦函數(shù)x在(-∞內(nèi)連續(xù)。

x；x；sin，；x58.

函數(shù)f()=

在點(diǎn)x=處否連續(xù)？59.

函數(shù)

f(

=

0

是否在點(diǎn)連？60.

求極限lim.x

ft)ft)dtF)1x答：1.A分案詳解】

F

f()dt

Ff(xF(x)

F(()

F

f(()

f((x)

見f(x)f(x)

f()dt

見(A)為正確選項(xiàng)

f(x)=1,則F(x)=x+1,除(B)(C);f(x)=x,則取F(x)=2

((【評(píng)注函f(x)與其原函數(shù)F(x).請(qǐng)f(x)與其原F(x)的?D【析顯然x=0,x=1為間詳由于數(shù)f(x)在點(diǎn).

limf(x)x

以x=0limf(x)0x1

limf(x)x1

以x=1為第一類間斷點(diǎn)，故應(yīng)(D).【評(píng)注：lim

xx

，1x

xlimex1

xlimex

0.

C

121121

AC

CAC∵x→∞時(shí)，分母極限為令，不直接用商的極限法則。先恒等變形，將函數(shù)“有理化原式=

lim

(lim(x

.〔有化〕解

DC原式

tanx(1x)(2)

x▌8x16注等無(wú)窮小替換僅適用于求乘積或商的極限能在代數(shù)和的情形中使用如上例中假設(shè)對(duì)分子的每項(xiàng)作等價(jià)替換，則

錯(cuò)誤！原式

(x)

.11.212.113..

.

16..

x

==18.

{,1}..

在某一極限過(guò)程中，以0為極的變量，稱為該極限過(guò)程中窮量①函yf(x)在x0定義；②x時(shí)極

limfx)x

存在；③極值與函數(shù)值相等，即三

limf()f().【析

"

詳

1xx)0x

=

limx0

x2x

=

limx0

3limxx222.

f

x＞0

e

16ln

;.解由＋2解得x≥-2由－１≠０解得由－２x得x＜｛x｜＞x且x≠1｝或表示2.5,1∪〕.

2323解：f(x+1)＝(x+1)2-1+2x＝f(x

2-1)＝(x

24-2x

2＝f(3

2＝99.

limn

25n2n477

limn

2

1lim3limnnn21lim6limlimnnn2

n(.

1nn2limlimn2n2n2.解limnn

)limn

(n)(nn

)limn

1n

limn

1nnn

1limnnlimlimnnn

.

limn

2n2nn

limn

2()32()3

nn

2lim()n1n2lim()nlimn3n

00.解

limy

limylimyx2

x2

22

函因

limysin0lim0，limylimx00

lim22211224()2111lim1lim22211224()2111lim1函

limy00.

11x3x3xx6x3x.

limx3

xx2

limx3

x116.

limx0

1x

(1lim0x((

x0

12.

lim

2x21x1

lim

112xx311x2x3

limlimxxxx21lim1limxxx2xx

limx

2x3

x

21x11x3.

limx

1limlimxxx2xx31lim1limxxx2x3sin3x3limx0x

lim0

1xx

lim0

x2sinlimx2x22.=

lim(1)nnlim(1)nn

n3

e

lim

n

.

lim

121

lim

lim0

48.解f()limxx0而f)f(0)0f()f(0)x函數(shù)在0處連續(xù)。

x

.在間在x＝0.

limf()x

但f(0)＝證∈(＋∞)0limf(limx2lim)xxxxx

0

2

，f(x)=x0

20f(x)f(x)因此，函數(shù)f(x)是連續(xù)函數(shù)。

:

limx0

)x

lim(1)xx00

ln.

解:

xx1

limx1.證設(shè)＝2x3

2

＋2x－3，則f(x)在，f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0∈(1,2)使f(ξ)＝0，則x＝ξ就是方程的根。.

原式

tanxx)

x

證(∞+，給一增，對(duì)應(yīng)的有函數(shù)y的量

MaaaaMaaaaΔysin(x+Δx)-sinx

sin)

.∵02

2

，由夾逼準(zhǔn)則知

y→〔Δ→0由x的意性知正弦函數(shù)y=在定義域(∞+上處處連續(xù)，即它是連續(xù)函數(shù)。.

解

注意f(x)分段函數(shù)，且點(diǎn)

x

兩側(cè)f表式不一致。解1∵(00)=

lim()0

，f(0+0=

limx00

，∴l(xiāng)imf()x

.又)=，∴函數(shù)f(x)處續(xù)〔圖1—解2

∵limf(lim(f，∴函數(shù)在點(diǎn)左續(xù)；