黑龍江齊齊哈爾市建華區(qū)2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請按要求用筆。

3,請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（每題4分，共48分）

1.一個(gè)布袋里裝有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球和5個(gè)白球，除顏色外其它都相同.攪勻后任意摸出一個(gè)球，是黃球的概率為

)

3.如圖，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，且每個(gè)小正方形的邊長為1,貝（JtanNBAC的值為（）

4.已知反比例函數(shù)y=—的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y=ax2-2x和一次函數(shù)y=bx+a在同一平面直角坐標(biāo)系中

x

的圖象可能是（）

5.下列圖形中是中心對稱圖形的共有（）

D.4個(gè)

6.如圖，正方形ABC。中，￡為CO的中點(diǎn)，4E的垂直平分線分別交AD,及A3的延長線于點(diǎn)E,G,H,

連接“E,HC,C?,連接CO并延長交AO于點(diǎn)"，則下列結(jié)論中：①尸G=2AO；②=③。。_LCM；

④ODHHE；⑤絲=黑；?2OE2=AHDE;⑦GO+BH=HC.正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

ECMD

H

A.3B.4C.5D.6

7.反比例函數(shù)y=q圖象上的兩點(diǎn)為（％,y）,（々，%）且占<當(dāng)，則下列表達(dá)式成立的是（）

A.y<yB.y=yc.x>yD.不能確定

8.在RtAABC中,8090°,AC=4,AB=5,則sinB的值是（）

2334

A.-B.—C.-D.一

3545

11

9.關(guān)于X的一元二次方程以02+瓜+2=0有一個(gè)根是-1,若二次函數(shù).丫=以0之+法+^的圖象的頂點(diǎn)在第一象限,

設(shè)r=2a+6,貝心的取值范圍是（）

11,,11,1,1

A.-<r<-B.-l<r<-c.一一<t<-D.-i<r<-

424222

10.成語'‘水中撈月”所描述的事件是（）.

A.必然事件B.隨機(jī)事件C.不可能事件D.無法確定

11.一元二次方程2/—x=i的一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)依次是（）

A.一1和1B.一1和-1C.2和-1D.-1和3

12.下列說法：

①四邊相等的四邊形一定是菱形

②順次連接矩形各邊中點(diǎn)形成的四邊形一定是正方形

③對角線相等的四邊形一定是矩形

④經(jīng)過平行四邊形對角線交點(diǎn)的直線，一定能把平行四邊形分成面積相等的兩部分

其中正確的有（）個(gè).

A.4B.3C.2D.1

二、填空題（每題4分，共24分）

13.如圖，在AABC中，NC=90。，AC=BC=&,將AABC繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。到AAB，U的位置，連接CB,

貝JCB=

14.已知二次函數(shù)y=or2+6+c（aw0）中，函數(shù)》與自變量X的部分對應(yīng)值如下表:

X???-2-1012???

y???105212???

則當(dāng)y<5時(shí)，X的取值范圍是.

15.如圖，路燈距離地面9.6加，身高1.6帆的小明站在距離路燈底部（點(diǎn)。）20加的點(diǎn)A處，則小明在路燈下的影

子AM長為m.

16.如圖，直線a、b與4、4、匕分別相交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F.若AB=3,BC=5,DE=4,則

EF的長為.

b

17.如圖，4、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，且每個(gè)小正方形的邊長為1,則tanNA4c的值為

18.如圖，△ABC是。O的內(nèi)接三角形，AD是AABC的高，AE是。。的直徑，且AE=4,若CD=1,AD=3,則AB

的長為.

三、解答題（共78分）

19.（8分）（1）①如圖1,請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)作出。。的內(nèi)接正三角形A3C（按要求作圖，不要求寫作

法，但要保留作圖痕跡）.

②若的內(nèi)接正三角形ABC邊長為6,求0。的半徑；

（2）如圖2,。。的半徑就是（1）中所求半徑的值.點(diǎn)。在。。上，OE是。。的切線，點(diǎn)尸在射線上，且。尸=3,

點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線DE方向移動(dòng)，點(diǎn)G是。。上的點(diǎn)（不與點(diǎn)。重合），GQ是。。的

切線.設(shè)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f（秒），當(dāng)f為何值時(shí)，AGOE是直角三角形，請你求出滿足條件的所有/值.

20.（8分）如圖，直線A5和拋物線的交點(diǎn)是A（0,-3）,B（5,9）,已知拋物線的頂點(diǎn)Z）的橫坐標(biāo)是1.

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(1)在x軸上是否存在一點(diǎn)C,與A,8組成等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不在，請說明理由;

(3)在直線A3的下方拋物線上找一點(diǎn)P,連接RI,P8使得5的面積最大，并求出這個(gè)最大值.

21.(8分)解下列兩題：

a342。+3。s一

(1)已知：=一,求-------的值；

b4a

⑵已知a為銳角，且26sina=4cos30°-tan60°,求a的度數(shù).

22.(10分)某校為了豐富學(xué)生課余生活，計(jì)劃開設(shè)以下社團(tuán)：A.足球、B.機(jī)器人、C.航模、D.繪畫，學(xué)校要求

每人只能參加一個(gè)社團(tuán)小麗和小亮準(zhǔn)備隨機(jī)報(bào)名一個(gè)項(xiàng)目.

(1)求小亮選擇“機(jī)器人”社團(tuán)的概率為;

(2)請用樹狀圖或列表法求兩人至少有一人參加“航?！鄙鐖F(tuán)的概率.

23.(10分)已知關(guān)于x的一元二次方程乙2-4*+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

⑴求實(shí)數(shù)A的取值范圍；

(2)寫出滿足條件的女的最大整數(shù)值，并求此時(shí)方程的根.

24.(10分)解方程：

（1）4x2-8x4-1=0;

(2)7x(5x+2)=6(5x+2)

25.(12分)如圖，點(diǎn)P是二次函數(shù)y=—；(x—1>+1圖像上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)8(1,0)在x軸上.

y

(1)以點(diǎn)P為圓心，8P長為半徑作。。

①直線/經(jīng)過點(diǎn)C(0,2)且與x軸平行，判斷0P與直線/的位置關(guān)系，并說明理由.

②若OP與y軸相切，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；

(2)A、鳥、A是這條拋物線上的三點(diǎn)，若線段BE、BP]、BQ的長滿足5耳+笠+8"則稱鳥是片、

鳥的和諧點(diǎn)，記做T(片,《).已知《、鳥的橫坐標(biāo)分別是2,6,直接寫出了([,[)的坐標(biāo).

26.在矩形ABC。中，AB=3,AD=5,￡是射線。C上的點(diǎn)，連接4E,將A4DE沿直線4E翻折得AAFE.

(1)如圖①，點(diǎn)/恰好在BC上，求證：

(2)如圖②，點(diǎn)尸在矩形A8CD內(nèi)，連接CR,若DE=1,求AEEC的面積;

(3)若以點(diǎn)E、F、。為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，則OE的長為.

參考答案

一、選擇題(每題4分，共48分)

1、B

【分析】用黃色小球的個(gè)數(shù)除以總個(gè)數(shù)可得.

【詳解】解：攪勻后任意摸出一個(gè)球，是黃球的概率為丁彳Z

2+3+51()

故答案為B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了概率公式，解答的關(guān)鍵在于確定發(fā)生事件的總發(fā)生數(shù)和所求事件發(fā)生數(shù).

2、B

【分析】根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的特點(diǎn)，1#0,所以分k>0和kVO兩種情況討論；當(dāng)兩函數(shù)系數(shù)k取相同符號

值，兩函數(shù)圖象共存于同一坐標(biāo)系內(nèi)的即為正確答案.

【詳解】解：分兩種情況討論：

①當(dāng)k>0時(shí)，y=kx-3與y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸，過一、三、四象限，反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限；

②當(dāng)k<0時(shí)，y=kx-3與y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸，過二、三、四象限，反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，

觀察只有B選項(xiàng)符合，

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，熟練掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題.

3、B

【分析】連接BC,由網(wǎng)格求出AB,BC,AC的長，利用勾股定理的逆定理得到AABC為等腰直角三角形，即可求出

所求.

【詳解】如圖，連接BC,

由網(wǎng)格可得AB=BC=V^,AC=VW,BPAB2+BC2=AC2,

AABC為等腰直角三角形,

，NBAC=45°,

貝!)tanZBAC=L

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解直角三角形，以及勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵.

4、C

【分析】先根據(jù)拋物線y=axZ2x過原點(diǎn)排除A,再由反比例函數(shù)圖象確定ab的符號，再由a、b的符號和拋物線對稱

軸確定拋物線與直線y=bx+a的位置關(guān)系，進(jìn)而得解.

【詳解】?..當(dāng)x=0時(shí)，y=ax2-2x=0,即拋物線y=ax?-2x經(jīng)過原點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

?.?反比例函數(shù)y=弛的圖象在第一、三象限，

X

ab>0,BPa>b同號，

當(dāng)aVO時(shí)，拋物線y=ax2-2x的對稱軸對稱軸在y軸左邊，故D錯(cuò)誤；

當(dāng)a>0時(shí)，b>0,直線y=bx+a經(jīng)過第一、二、三象限，故B錯(cuò)誤；

C正確.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵,

同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想.

5、B

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么

這個(gè)圖形就叫做中心對稱圖形，進(jìn)行判斷.

【詳解】從左起第2、4個(gè)圖形是中心對稱圖形，

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了中心對稱圖形的概念，注意掌握圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后能夠與自身重合.

6、B

【分析】①作輔助線，構(gòu)建三角形全等，證明4ADEg△GKF,貝I]FG=AE,可得FG=2AO；

②設(shè)正方形ABCD的邊長為2x,貝ijAD=AB=2x,DE=EC=x,ffi^AADE^AHOA,得==處,于是

2

可求BH及HE的值，可作出判斷；

③分別表示出OD、OC,根據(jù)勾股定理逆定理可以判斷;

④證明NHEA=NAED=NODE,OE#DE,則NDOErNHEA,OD與HE不平行;

BH8%iAMx1巾BHAM

⑤由②可得大7=Z-=7,根據(jù)AR〃CD,得----二—二一,貝!I-

CEx2MD2x2CEMD2

x

AUAP

⑥證明△HAES/\ODE,可得——=——，等量代換可得OE2=AH?DE；

ODDE

⑦分別計(jì)算HC、OG、BH的長，可得結(jié)論.

【詳解】解：①如圖，過G作GK_LAD于K,

R

:.ZGKF=90°,

???四邊形ABCD是正方形，

ZADE=90°,AD=AB=GK,

jZADE=ZGKF,

VAE±FH,

工ZAOF=ZOAF+ZAFO=90°,

VZOAF+ZAED=90°,

???ZAFO=ZAED,

/.△ADE^AGKF,

AFG=AE,

??,FH是AE的中垂線，

AAE=2AO,

AFG=2AO,

故①正確；

②設(shè)正方形ABCD的邊長為2x,貝ljAD=AB=2x,DE=EC=x,

??.AE=A,AO=半，

易得△ADES2XHOA,

ADHO

,~DE~~AO

HO

,_y/Sx，

x2

HO=y/ix>

2

5x

△中，由勾股定理得：

□AHOAH=T

x

.*.BH=AH-AB=------2x=~,

22

5

VHE=AH=-X,

2

.?.HE=5BH；

故②正確；

22

③。。2=爐+(|幻2=+2,0》=(§/=#,CD=4X

"-OC2+OD2^CD2,

，OC與OD不垂直，

故③錯(cuò)誤；

④?；FH是AE的中垂線，

/.AH=EH,

.,.ZHAE=ZHEA,

VAB/7CD,

/.ZHAE=ZAED,

RtZkADE中，是AE的中點(diǎn),

1

.,.OD=-AE=OE,

2

,ZODE=ZAED,

二ZHEA=ZAED=ZODE,

當(dāng)NDOE=/HEA時(shí)，OD〃HE,

但AE>AD,即AE>CD,

.,.OE>DE,即NDOERNHEA,

.?.OD與HE不平行，

故④不正確；

⑤由②知BH=-X,

2

I

,也衛(wèi)_1,

'CE~x~2

延長CM、BA交于R,

R

VRA/7CE,

二ZARO=ZECO,

VAO=EO,NROA=NCOE,

/.△ARO^AECO,

.*.AR=CE,

VAR//CD,

.AM_AR

"HD~~DC,

.AM-x--1

"~MD~2x~2

.SHAM_I

一瓦一訪-5

故⑤正確；

⑥由①知：NHAE=NAEH=NOED=NODE,

.,.△HAE^AODE,

*_A_H___A_E_

'OD~DE

VAE=2OE,OD=OE,

/.OE*2OE=AH*DE,

.?.ZOE^AH-DE,

故⑥正確；

⑦由②知：HC=1加+團(tuán)=冬,

VAE=2AO=OH=

DEOF1

tanZEAD=——二------——

ADAO29

A0=旦,

2

VFG=AE=&，

.￡亞3亞

..OG=75x-----x=------x,

44

/.OG+BH=^H-x+-x,

42

AOG+BH^HC,

故⑦不正確；

綜上所述，本題正確的有；①②⑤⑥，共4個(gè)，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題是相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確作輔助線是

關(guān)鍵，解答時(shí)證明三角形相似是難點(diǎn).

7,D

66

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到X=一,必=一，然后分類討論：0V不V/得至當(dāng)再

XIX?

vov%2得到MV%；當(dāng)玉vx2Vo得到y(tǒng)>

【詳解】?.?反比例函數(shù)y=9圖象上的兩點(diǎn)為(%,y),(9,%)，

X

x,gy,=x2gy2=6,

當(dāng)0V再<x2,y>%；

當(dāng)占V0V%2,

當(dāng)X,<尤2<0,X>>2；

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵.

8、D

【解析】試題分析：正弦的定義：正弦=噌一

斜邊

由題意得=故選D.

AB5

考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義

點(diǎn)評：本題屬于基礎(chǔ)應(yīng)用題，只需學(xué)生熟練掌握正弦的定義，即可完成.

9、D

12/—19/4-2

【分析】二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)則。一匕+不二。，而方=勿+人，則。=——，h=——，二次函數(shù)的圖象

266

的頂點(diǎn)在第一象限，則一2＞。，＞o,即可求解.

2a24a

（詳解】：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+-=Q有一個(gè)根是-1,

2

...二次函數(shù)曠=辦2+公+5的圖象過點(diǎn)（-1,0）,

:.ci—b+—=09

2

??b=ci9t—2Q+b,

2

2r-l,2/+2

貝n!lJQ=------,b=------,

66

?.?二次函數(shù)y=ax2+bx+^的圖象的頂點(diǎn)在第一象限,

b八

?----->09

2a24。

.2/-12,+2,,mjI

將。=--—，b=-----代入上式得:

66

2f+2

-r>0,解得：

2x^12

6

（）

16->0,解得：fJ或1</<3,

2戶；)2

,,,1

故：-1</<-,

故選D.

【點(diǎn)睛】

主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)利用對稱軸的范圍求2。與6的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，

根的判別式的熟練運(yùn)用

10、C

【分析】根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念進(jìn)行解答即可.

【詳解】水中撈月是不可能事件.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念.必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件.不可能事件是指

在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.

11、B

【解析】根據(jù)一元二次方程的一般形式進(jìn)行選擇.

【詳解】解：2x2+1,

移項(xiàng)得：2x2-x-l=0,

一次項(xiàng)系數(shù)是-1,常數(shù)項(xiàng)是-1.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a,b,c是常數(shù)且存0）特別要注意a邦的條件.這是在做

題過程中容易忽視的知識點(diǎn).在一般形式中ax?叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng).其中a,b分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，

一次項(xiàng)系數(shù).

12、C

【詳解】???四邊相等的四邊形一定是菱形，，①正確；

???順次連接矩形各邊中點(diǎn)形成的四邊形一定是菱形，.?.②錯(cuò)誤；

???對角線相等的平行四邊形才是矩形，.?.③錯(cuò)誤；

???經(jīng)過平行四邊形對角線交點(diǎn)的直線，一定能把平行四邊形分成面積相等的兩部分，.?.④正確；

其中正確的有2個(gè)，故選C.

考點(diǎn)：中點(diǎn)四邊形；平行四邊形的性質(zhì)；菱形的判定；矩形的判定與性質(zhì)；正方形的判定.

二、填空題（每題4分，共24分）

13、V3-1

Bi

D

【解析】*

如圖，連接BBS

?.?△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得到AABC,

.,.AB=AB,,ZBAB,=60°,

...△ABB，是等邊三角形，

.*.AB=BB,,

在AABU和中，

AB=BB，

<AC'=B'C',

BC=BC

.?.AABC名AB'BC'（SSS）,

...NABC，=NB，BC，，

延長BC，交AB，于D,

則BD±AB%

VZC=90o,AC=BC=^,

AB=J（C）2+（血）2=2,

，BD=2x且=G，

2

CfD=-x2=l,

2

二BC，=BD-UD=6-1.

故答案為：6-1.

點(diǎn)睛：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，作輔

助線構(gòu)造出全等三角形并求出BC在等邊三角形的高上是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

14、-l<x<3

【分析】觀察表格可得：（0,2）與（2,2）在拋物線上，由此可得拋物線的對稱軸是直線x=l,頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1,1）,

且拋物線開口向上，于是可得點(diǎn)（-1,5）與（3,5）關(guān)于直線x=l對稱，進(jìn)而可得答案.

【詳解】解：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知：（0,2）與（2,2）關(guān)于直線x=l對稱，所以拋物線的對稱軸是直線x=L頂點(diǎn)

坐標(biāo)是（1,1）,且拋物線開口向上，

.,.點(diǎn)（—1,5）與（3,5）關(guān)于直線x=l對稱，

...當(dāng)丁<5時(shí)，x的取值范圍是：-l<x<3.

故答案為：-l<x<3.

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的性質(zhì)，通過觀察得出拋物線的對稱軸是直線X=l,靈活利用拋物線的對稱性是解題的關(guān)鍵.

15、4

AR

【分析】4B〃0C，k=H，從而求得40.

OM0C

【詳解】解：???A8//OC,

.AMAB

"~6M~~OC'

AM1.6

20+AM-9^6

解得AM=4.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的相似三角形的應(yīng)用.

20

16、—

3

【分析】直接根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得.

【詳解】vZ,///2///3,

ABDE

"~BC~~EFf

-.AB=3,8C=5,OE=4,

.34

*?—―-,

5EF

解得=

3

20

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線分線段成比例定理，熟記平行線分線段成比例定理是解題關(guān)鍵.

17、1

【分析】連接BC,由網(wǎng)格求出AB,BC,AC的長，利用勾股定理的逆定理得到AABC為等腰直角三角形，即可求

出所求.

【詳解】

解：連接3C,

由網(wǎng)格可得A82=BC3=I2+22=5,AC2=12+32=10.

即AB-+BC2=5+5=10=AC?,

二AABC為等腰直角三角形，

/.ABAC=45°,

則=1,

故答案為1.

【點(diǎn)睛】

此題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解直角三角形，以及勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵.

6M

108>------

5

ARAP

【分析】利用勾股定理求出AC,證明△ABEs^ADC,推出一,由此即可解決問題.

ADAC

【詳解】解：：AD是AABC的高，

AZADC=90",

：?AC=VAD2+CD2=A/32+12=Vio，

VAE是直徑，

/.ZABE=90°,

.,.ZABE=ZADC,

VZE=ZC,

/.△ABE^AADC,

.*.-A-B=-A-E,

ADAC

.4

*'3.M)

…6所

..AB=------,

5

6710

故答案為:

5

【點(diǎn)睛】

本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理、圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題.

三、解答題（共78分）

19、（1）①見解析；②2VL（2）t=23-4,t=2,t=2瓜t=6.

【分析】（1）①作半徑OO的垂直平分線與圓交于A、B,再取AC=AB,則-ABC即為正三角形；

②連接A。，設(shè)。。半徑為R,利用勾股定理即可求得答案；

（2）分當(dāng)NQG/=90°,NQRG=90。且點(diǎn)。在點(diǎn)尸左側(cè)或右側(cè)，NGQ/=90°時(shí)四種情況討論，當(dāng)NQGb=90°

時(shí)，在Rt，QFG中利用勾股定理求解即可；當(dāng)NQEG=90。且點(diǎn)。在點(diǎn)尸左側(cè)或右側(cè)時(shí)，構(gòu)造矩形和直角三角形,

利用解直角三角形即可求解；當(dāng)NGQE=90。時(shí)，構(gòu)造正方形和直角三角形即可求解.

【詳解】（1）①等邊一ABC如圖所示；

②連接AO,如圖，設(shè)。。半徑為R,

由作圖知：。"=’。。=‘，OHLOD,

22

AAH=-AB=-=3,

22

在放AAOH中,

OA1=OH2+AH2,即尺2=圖+32,

解得：R=2y/3

(2)當(dāng)NQG產(chǎn)=9()。時(shí)，連接。G,如圖,

???QG是。。的切線，

:.ZQGO=90°,

-ZQGF=90°,

.?.0、G、F三點(diǎn)共線，

又；DF是。。的切線，

：.DQ=QG,

設(shè)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/（秒），

:.DQ=t,

在H/AQD/7中，0D=26，DF=3,

二OF=y]OD2+DF2=“2百『+3?=e,

在Rt?QFG中，QF=3-f,GF=舊-2日QG=DQ=t,

...QF2=GF2+DG2,即（3-r）2=（e-2^+t2,

解得：t=23一4；

當(dāng)NQFG=90。，且點(diǎn)。在點(diǎn)F左側(cè)時(shí)，連接0G,過點(diǎn)G作GM_LO。于如圖,

,/OE是。。的切線，

：.ZODF=90°,

，四邊形DFGM為矩形，

:.GM=DF=3,

在RfOGM中，OG=2。GM=3,

?”3_V3

??cosOGM==—f=——9

OG2g2

A

Vcos30°=—,

2

NOGM=30。，

：QG是。。的切線，四邊形DFGM為矩形,

NOGQ=NFGM=90°,

:.NFGQ=/OGM=30°,

在RteQPG中，QF=3-r,QG=t,/FGQ=30°,

:.sinNFGQ="，即七，

QGt2

解得：r=2；

當(dāng)NGQR=90。時(shí)，連接。G,如圖,

V。歹是。。的切線，QG是。。的切線，

/.GQ=DQ,ZOGQ=ZODQ=ZGQF=90°,

???四邊形ODQG為正方形，

:.DQ=OG=2x/3,

t=2G;

當(dāng)NQFG=90。，且點(diǎn)。在點(diǎn)F左側(cè)時(shí)，連接OG,過點(diǎn)。作ONd.FG于N,如圖,

V。廠是。。的切線，

.'.NODE=90°,

二四邊形DFNO為矩形,

:,ON=DF=3,

在Rt-OGM中，OG=20,ON=3,

：."3=變=；力,

OG2732

Vcos300=—

2

.../GON=30。，

NOGN=60°,GN=OG?sin300=2+、=布,

2

???GF=GN+OD=G+2逐=36，

TQG是。。的切線，

NOGQ=90。,

：.NQGF=ZOGQ-NOGN=30°,

A

二QF=DF^tan30。=3百x4=3，

二OQ=OF+QF=3+3=6,

/?/=6；

綜上：當(dāng)y26一4、t=2、t=2也、f=6時(shí)，AGQF是直角三角形.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓的綜合題，涉及到的知識有：簡單作圖，勾股定理，切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和

性質(zhì)，解直角三角形，構(gòu)造合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.

20->(1)y=—----x—3,頂點(diǎn)O(1,------)；(1)C(±4A/T^,0)或(5±2J22，0)或(—，0);(2)-

555102

【解析】(1)拋物線的頂點(diǎn)。的橫坐標(biāo)是L則犬=-2=1,拋物線過4(0,-2),貝！J：函數(shù)的表達(dá)式為：產(chǎn)N+bx

2a

-2,把8點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，即可求解；

(1)分股AC、AB-BC.AOBC,三種情況求解即可；

(2)由SAPAB=—?P呼XB，即可求解.

2

h_

【詳解】(1)拋物線的頂點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)是L貝口刀二-丁=1①，拋物線過4(0,-2),貝！)：函數(shù)的表達(dá)式為：尸加+法

2a

]24X

-2,把8點(diǎn)坐標(biāo)代入上式得：9=15956-2②，聯(lián)立①、②解得：a=y,6=-y,k-2,.?.拋物線的解析式為：

12?48

y=-x----x-2.

55

當(dāng)戶1時(shí)，,即頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,-y);

(1)A(0,-2),8(5,9),則心12,設(shè)點(diǎn)。坐標(biāo)(m,0),分三種情況討論：

①當(dāng)屬4c時(shí)，貝！J：(加4(-2)解得：如土4而，即點(diǎn)。坐標(biāo)為：(4加，0)或(-4加，0)；

②當(dāng)小況時(shí)，貝!|：(5-?)i+9』2)解得：m5±2夜，即：點(diǎn)C坐標(biāo)為(5+2工，0)或(5-1夜，0)；

③當(dāng)4/況1時(shí)，貝!I：5-ZB)'+9'=(M'+(-2)解得：爐而，則點(diǎn)。坐標(biāo)為(丁，0).

97

綜上所述：存在，點(diǎn)C的坐標(biāo)為：(±4jid，0)或(5±2夜，0)或(記，0)；

12

(2)過點(diǎn)尸作y軸的平行線交四于點(diǎn)及設(shè)直線四的表達(dá)式為廣府-2,把點(diǎn)8坐標(biāo)代入上式，9=5A-2,則〃=三，

1212481215

故函數(shù)的表達(dá)式為：y——x-2,設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(J?,—nf----m-2),則點(diǎn)〃坐標(biāo)為(而，—m-2),S^PAB——*PH*XB——

555522

12575575

(---H+11/)=-6H+20/ZF—6(/?7—)~H----,當(dāng)獷一時(shí)，見函取得最大值為：—.

52222

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合題.主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要會(huì)利用數(shù)形結(jié)

合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系.

21、⑴6；⑵銳角a=30。

【分析】(1)根據(jù)等式,=二,設(shè)a=3Kb=4k,代入所求代數(shù)式化簡求值即可；

b4

(2)由cos3(r=3，tan60*g,化簡即可得出simx的值，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得.

2

【詳解】解：=7,

b4

???設(shè)b=4k,

.2a+3b6女+12女

??==6,

a3k

故答案為：6；

(2)V2sina=4cos300-tan60°=4x—―-6二G,

1

.*.sina=—，

2

...銳角a=30°,

故答案為：30。.

【點(diǎn)睛】

本題考查了化簡求值，特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，掌握化簡求值的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

、17

22、(1)—；(2)—；

416

【分析】(1)屬于求簡單事件的概率，根據(jù)概率公式計(jì)算可得；

(2)用列表格法列出所有的等可能結(jié)果，從中確定符合事件的結(jié)果，根據(jù)概率公式計(jì)算可得.

【詳解】解：(1)小亮隨機(jī)報(bào)名一個(gè)項(xiàng)目共有4種等可能結(jié)果，分別為A.足球、B.機(jī)器人、C.航模、D.繪畫，其中選

擇“機(jī)器人”的有1種，為B.機(jī)器人，所以選擇“機(jī)器人”的概率為「='.

(2)用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如圖:

、小克

ABcD

A(A,A)(A,B)(A,C)(A,D)

B(B,A)(B,B)(B,C)(B,D)

C(C,A)(C,B)(C,C)(C,D)

D(D,A)(D,B)(D.C)(D,D)

從表格可以看出，總共有16種結(jié)果，每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中至少有一人參加“航模”社團(tuán)有7種，分別為

_7

(A,C),(B,C),(C,A),(C,B),(C,C),(C,D),(D,C),所以兩人至少有一人參加“航模”社團(tuán)的概率P=—.

16

【點(diǎn)睛】

本題考查的是求簡單事件的概率和兩步操作事件的概率，用表格或樹狀圖表示總結(jié)果數(shù)是解答此類問題的關(guān)鍵.

23、(1)k<2且M0；(2)汨=2+&,及=2-丘.

【解析】(1)利用一元二次方程的定義和判別式的意義得到原0且A=42-4A?2>0,然后求出兩不等式的公共部分即

可；

(2)先確定k的最大整數(shù)值得到方程x2-4x+2=0,然后利用因式分解法解方程即可.

【詳解】解：(1)由題意得，

b2-4ac>0

即42-4*?2>0

k<2,

又；一元二次方程分0

.,/<2且時(shí)0；

（2）..味<2且《取最大整數(shù)

當(dāng)A=1時(shí)，x2-4x+2=0

解得，xi=2+yp2,?X2~2-?

【點(diǎn)睛】

本題考查了根的判別式：一元二次方程”/+歷：+0=0（“#））的根與△=/）?-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)

不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=（）時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)AVO時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.也考查了一元二次方

程的定義.

24、（1）r=1+>x=1-；（2）玉=---,X-,=—.

12225'7

【分析】（1）運(yùn)用公式法解方程即可；

（2）運(yùn)用因式分解法解方程即可.

【詳解】（1）?.?/=加一4。。=（-8『-4x4x1=48>0,

.—h+yJ~A—（-8）+V488±4^/32±百

??X=------=------------=-------=------，

2a2x482

.一一GG

??X,=1H--,=1----；

12-2

（2）移項(xiàng)，得：7x（5x+2）-6（5x+2）=0,

提公因式得：（5x+2）（7x-6）=0,

，5x+2=0或7x—6=0,

【點(diǎn)睛】

本題主要考查解一元二次方程-公式法和因式分解法，能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵.

25、（1）①0P與直線相切.理由見解析；②P（l,l）或尸（5,-3）；（2）（巫+1,4）或（-

【分析】（1）①作直線/的垂線，利用兩點(diǎn)之間的距離公式及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征證明線段相等即可;

②利用兩點(diǎn)之間的距離公式及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征構(gòu)建方程即可求得答案.

（2）利用兩點(diǎn)之間的距離公式分別求得各線段的長，根據(jù)“和諧點(diǎn)”的定義及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征構(gòu)建方程即可

求得答案.

【詳解】（1）①0P與直線相切.

如圖，過戶作PQJ?直線/,垂足為Q,設(shè)尸（小,〃）.

則P3?=（利一1丫+〃2,PQ2=（2_〃）2

Qn=—^-（m-1）2+1,即：（m—1）'=4—4n

PBr=（m-1）。"："?*=（2f）2=9

PB=PQ

.,.eP與直線/相切.

②當(dāng)OP與y軸相切時(shí)PO=P8=PQ

m2=（2—n）,

.'-\rr^=2—n,即：n=2+m

代人一=4-4n

化簡得：加2_6m+5=0或加2+2利+5=o.

解得：叫=1,加2=5.

.?.尸。,1）或「（5,-3）.

（2）已知6、6的橫坐標(biāo)分別是2,6,代入二次函數(shù)的解析式得:

設(shè)巴（根，〃）,

?.?點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),(m—1)2=4-4〃

BP2=+(〃_0)-=J4-4/Z+/=|?-2|>

依題意得：%+竽+3=紀(jì),即28鳥=84+8呂,

2|〃_2|=：+?，即：|〃一2|=?

工〃=，25（不合題意，舍去）或〃=一91,

44

99

把〃=-“代入（機(jī)-1）-二4-4〃得：

(w-1)2=13

直接開平方解得：町=廂+1,〃4=一屈+1,

...T（［，A）的坐標(biāo)為：（屈+或（―+

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了兩點(diǎn)之間的距離公式二次函數(shù)的性質(zhì)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特